FREGE Y KANT: LOS FUNDAMENTOS DE LA ARITMÉTICA, de Gottlob Frege (y Parte 2)

FREGE Y KANT

KANT Y FREGE: LOS FUNDAMENTOS DE LA ARITMÉTICA, de Gottlob Frege (Parte 1)

 

La aritmética de Euclides

Por Francisco Manuel Saurí-Mercader

 

Los libros aritméticos de Los elementos de Euclides (libros VII, VIII y IX) pueden considerarse una fundamentación de la aritmética de manera parecida a como el libro I fundamenta la geometría (Mueller, 1981). Sin embargo, no hay axiomas específicos para la aritmética ni en esos libros, ni en ningún otro lugar de la obra de Euclides. El principio del libro VII contiene 23 definiciones.

De la 3 a la 23, define diversos tipos de números de entre los que ahora llamaríamos naturales (define número par, impar, primo, etc.) para lo que también define la multiplicación (definición 16). Pero no define y da por entendida la expresión «medir a» aplicada a dos naturales y que por el contexto se ve que es equivalente a nuestro «dividir a«.

La segunda definición que presenta Euclides es digna de mención: Definición 2.

Un número es una pluralidad compuesta de unidades.

 

 

El interés de esta definición es que tiene la consecuencia de que el 0 y 1 no son números. Y se pueden encontrar demostraciones distintas de la misma proposición en los libros aritméticos que nos ocupan para 1 y para los otros números, aunque otras veces Euclides ignora la distinción (el 0 no se considera). Conviene tener esto presente cuando abordemos el capítulo III de Los fundamentos.

Pero hay más peculiaridades en la aritmética griega. En términos actuales, si partimos del 1 aplicamos reiteradamente la operación sucesor para ir obteniendo el 2, el 3, etc. Pero nada de esto hay en Euclides. Para él hay indefinidamente muchas unidades que se pueden combinar indefinidamente de muchas maneras.

Por tanto, no hay un único 2, 3 o 4, etc. Cualquier par de unidades será un 2, no existe «el 2«, cualquier trío de unidades será un 3 y no existe «el 3» etc. (y esto no es trivial, según veremos que señala Frege).

Así pues, Euclides da por sentado que hay muchas «unidades» y que ello hace que podamos encontrar una selección finita (en nuestros términos, un número natural) que cumple ciertas condiciones. En consecuencia, Euclides da por supuesto un axioma que afirma tres cosas: (a) la existencia de una multiplicidad o agregado que contiene una unidad sola; (b) para cada número natural k, la existencia de otro natural l que contiene todas las unidades de k más al menos una más; (c) cualquier n unidades constituyen un número natural, digamos k.

El anterior axioma implícito sirve para justificar, por ejemplo, la existencia del resultado de k multiplicado por l; recordemos que Euclides define nuestro equivalente a la multiplicación en la definición 16. Pero cuidado, porque si somos formalmente cuidadosos aquí no existe lo que entendemos por operación de multiplicación en nuestro sentido. Dado que no existe el 2, el 3, el 4 etc., como ya se ha dicho antes.

Y esto está ligado al punto más relevante que diferencia la aritmética de Euclides de la nuestra: que no hay Principio de inducción que juegue un papel «estructural«. Euclides no tiene una concepción de los números naturales como un conjunto con una estructura de orden, dado que el concepto de sucesor no juega ningún papel en los números de los libros aritméticos de Euclides, como hemos visto más arriba, ni tampoco el Principio de inducción matemática, que aunque se usa implícitamente, no es constitutivo del conjunto de los números naturales como conjunto.

 

Euclides no tiene una concepción de los números naturales como un conjunto con una estructura de orden, dado que el concepto de sucesor no juega ningún papel en los números de los libros aritméticos de Euclides

 

*******

«Los fundamentos de la aritmética», de Gottlob Frege

Por Francisco Manuel Saurí-Mercader

 

KANT Y FREGE (Final)

Juicios a priori y juicios a posteriori

La distinción semántica entre juicios analíticos y juicios sintéticos la inventa Kant ligada a una distinción epistemológica ya existente. Se trata de la distinción entre juicios a priori y juicios a posteriori.

Recordemos que, en una posible interpretación de los textos de Platón, este mantenía que nuestro mundo físico, conocido mediante la experiencia sensible, era una copia imperfecta de otro mundo de donde procede el alma humana y los modelos de las cosas del mundo físico, a los cuales denomina ideas o formas (cuidado: no hay que confundir «idea» en el sentido de Platón, con el sentido mental de «idea«, usado por nosotros y por los filósofos modernos).

Nuestra alma porta con ella el conocimiento de las ideas que son olvidadas en el nacimiento, por lo que conocer es recordar ese conocimiento que, aunque olvidado, permanece en nuestra alma.

Evidentemente, Platón no está queriendo decir que la percepción, la experiencia sensible, no nos informe de nada. Lo que está queriendo decir es que la estructura auténtica de la realidad, sus leyes, las verdades necesarias que podemos decir de ella, no las vamos a encontrar en la experiencia sensible como quien encuentra una piedra, sino en las ideas o formas. Son estas las que explican porqué el mundo físico es como es.

 

Para Platón, la estructura auténtica de la realidad, sus leyes, las verdades necesarias que podemos decir de ella, no las vamos a encontrar en la experiencia sensible como quien encuentra una piedra, sino en las ideas o formas. Son estas las que explican porqué el mundo físico es como es.

La forma de círculo ha de existir, no en el mundo físico, sino en el mundo de las formas.

 

Las matemáticas proporcionan un argumento en favor de esa posición. Un círculo, por ejemplo, se define en geometría como una figura plana compuesta por puntos que equidistan de uno dado. Pero nadie ha visto en realidad esa figura ni se podrá ver jamás.

La forma circular exacta de los geómetras no se encuentra entre los objetos sensibles. Lo que vemos con frecuencia son figuras –un plato, una rueda, la luna llena–, objetos materiales que también llamamos círculos y que resultan ser, en la forma, aproximaciones al círculo definido en geometría, pero no ese círculo mismo.

 

 

Podemos interpretar que Platón extrae entonces la conclusión de que la forma de círculo ha de existir, no en el mundo físico, sino en el mundo de las formas.

De esta manera, Platón introduciría una distinción epistemológica entre dos tipos de juicios. Se trata de una distinción platónica cuya terminología, sin embargo, no procede de Platón sino de la Edad Media.

Un juicio cuya verdad o falsedad sólo se puede conocer a partir de la experiencia sensible es un juicio cuya verdad se conoce a posteriori: a posteriori de la experiencia, es decir, después de la experiencia; para abreviar el juicio se conoce a posteriori o, simplemente, es un juicio a posteriori.

 

Un juicio cuya verdad o falsedad sólo se puede conocer a partir de la experiencia sensible es un juicio cuya verdad se conoce a posteriori: a posteriori de la experiencia.

Un juicio cuya verdad puede obtenerse independientemente de la experiencia sensible, de la percepción, se dice que es un juicio a priori.

La distinción, tal como acaba de formularse, no nos habla de cómo de hecho hemos llegado a saber la verdad de un juicio o proposición sino cómo se puede justificar su verdad.

 

Un juicio cuya verdad puede obtenerse independientemente de la experiencia sensible, de la percepción, se dice que es un juicio a priori. Obsérvese que la distinción, tal como acaba de formularse, no nos habla de cómo de hecho hemos llegado a saber la verdad de un juicio o proposición sino cómo se puede justificar su verdad.

Si yo llego a la conclusión de que tres y dos son cinco contando canicas (a posteriori) no quita para que se pueda demostrar matemáticamente que tres y dos son cinco. Si acepto esto último el juicio «tres y dos son cinco» es a priori.

 

En cualquier caso, el conocimiento a priori no ha sido aceptado por todos los filósofos. Así, para Aristóteles, no hay juicios a priori que puedan suministrar conocimiento sobre el mundo físico, el cual solo nos proporciona la experiencia sensible.

El conocimiento parte de la experiencia y se desarrolla por un proceso que podemos denominar de “maduración”: gracias a la experiencia sensible, hay juicios que se llegan a saber de forma inmediata merced a nuestra capacidad natural.

 

Gracias a la experiencia sensible, hay juicios que se llegan a saber de forma inmediata merced a nuestra capacidad natural

 

Es algo que compartimos con los animales y que Aristóteles llama (trasliterado del griego) «Epagogé«, palabra traducida, habitualmente, por «inducción» pero que en él no significa lo mismo que en los textos actuales de filosofía de la ciencia. «Epagogé» denomina la capacidad de percibir que produce sensaciones que perduran un tanto y cuya repetición constante lleva a superponerlas y a sistematizarlas en la memoria.

 

Aristóteles denomina «Epagogé»  a la capacidad de percibir que produce sensaciones que perduran un tanto y cuya repetición constante lleva a superponerlas y a sistematizarlas en la memoria.

De ahí se formulan ciertos juicios sobre las cosas, llamados primeros principios o axiomas, y el resto del conocimiento se desarrolla deductivamente a partir de ellos.

 

De ahí se formulan ciertos juicios sobre las cosas, llamados primeros principios o axiomas, y el resto del conocimiento se desarrolla deductivamente a partir de ellos.

Durante el siglo XVII y principios del XVIII, los filósofos reprodujeron la fractura platónico aristotélica. Los filósofos racionalistas (Descartes, Spinoza, Leibniz) pensaban que ciertos conocimientos básicos eran juicios a priori. Muchos filósofos racionalistas que si no eran cristianos, sí eran teístas, suponían que los juicios a priori dependían de ideas innatas que Dios ponía en nuestra mente.

 

Para los filósofos Racionalistas, nuestra razón contiene ideas innatas y de ellas se pueden hacer ciertos juicios que se constituyen como principios o axiomas.

Por el contrario, los filósofos empiristas pensaban que los primeros principios se basaban en la experiencia y la razón sólo era la capacidad de razonar; y rechazaban la existencia de ideas innatas porque no era posible ofrecer pruebas de su existencia.

 

 

Nuestra razón contiene ideas innatas y de ellas se pueden hacer ciertos juicios que se constituyen como principios o axiomas. De este modo, la razón, para estos autores, era la capacidad de razonar sumada a esas ideas innatas.

Por el contrario, los filósofos empiristas (Bacon, Locke, Berkeley, Hume) pensaban, como Aristóteles, que los primeros principios se basaban en la experiencia y la razón sólo era la capacidad de razonar; y rechazaban la existencia de ideas innatas porque no era posible ofrecer pruebas de su existencia.

Podemos dar por sentado que todos los juicios analíticos verdaderos son a priori, si damos por supuesto que conocemos la articulación verdadera de los conceptos. Si eso es así, no necesitamos acudir a la experiencia sensible para hacer juicios analíticos y, por tanto, éstos son a priori. Hasta aquí, racionalistas y empiristas coincidirían.

Sin embargo, el empirismo sometió a feroz crítica la doctrina de las ideas innatas y, por consiguiente, la posibilidad de conocimiento de la articulación verdadera de los conceptos. Para el empirista, los juicios analíticos no son más que trivialidades lingüísticas.

 

El empirismo sometió a feroz crítica la doctrina de las ideas innatas y, por consiguiente, la posibilidad de conocimiento de la articulación verdadera de los conceptos.

Para el empirista, los juicios analíticos no son más que trivialidades lingüísticas.

 

Por su parte, el empirismo se enfrentaba a dificultades a la hora de explicar el conocimiento científico como el propio Kant destacó. La primera dificultad se pueden formular en términos de la concepción de las leyes científicas, y se encuentra en las consecuencias que Hume sacó del empirismo desde una postura irreprochablemente coherente.

Pensemos en lo que se ha dicho más arriba sobre la distinción entre las regularidades nómicas (las leyes de la naturaleza) y las regularidades accidentales.

¿Qué distingue la “fuerza” de la verdad del juicio sobre la esfera de uranio (ejemplo 22) de la “fuerza” de la verdad del juicio sobre la esfera de oro (ejemplo 23)?

 

Si, como Hume, aceptamos un empirismo sin concesiones, entonces no hay nada empírico, nada observable que permita establecer la diferencia entre una regularidad necesaria y otra contingente: de este modo, se pierde la distinción necesario – contingente en la Naturaleza y con ella la distinción entre leyes y accidentes.

 

Si, como Hume, aceptamos un empirismo sin concesiones, entonces se pierde la distinción necesario – contingente en la Naturaleza y con ella la distinción entre leyes y accidentes

 

Así, la única necesidad sería la conceptual, la propia de los juicios analíticos. Pero cualquier científico diría que es absurdo no hacer la distinción entre leyes y accidentes.

 

Los racionalistas resolvían el problema acudiendo a los juicios a priori: son los juicios a priori los que nos proporcionan los juicios necesarios

 

Los racionalistas resolvían el problema acudiendo a los juicios a priori: son los juicios a priori los que nos proporcionan los juicios necesarios. Nuestra razón puede acceder, cuando está bien constituida y adecuadamente guiada, a las ideas innatas que contienen las esencias o naturalezas de las cosas. Postular ideas innatas tiene sus propios problemas que criticaron los empiristas, como se ha dicho.

 

Para los Racionalistas, la razón puede acceder, cuando está bien constituida y adecuadamente guiada, a las ideas innatas que contienen las esencias o naturalezas de las cosas.

Por tanto, para un empirista radical como Hume, no hay conocimiento de la estructura necesaria del mundo, solo hay necesidad conceptual en el sentido explicado

 

Así, y usando la terminología de Kant, Hume rechaza los juicios a priori si no son analíticos. Por tanto, para un empirista radical como Hume, no hay conocimiento de la estructura necesaria del mundo, solo hay necesidad conceptual en el sentido explicado.

Y, por consiguiente, la postura del empirismo radical de Hume trae unas consecuencias que, en opinión de Kant, indican que el empirismo no explica la ciencia correctamente. Este sería para Kant, el primer error del empirismo.

 

 

Pero además, según Kant, el empirismo comete un segundo grave error en su análisis de la ciencia física. Kant mantiene que si analizamos el proceder de los físicos, podemos llegar a la conclusión de que suponen una estructura necesaria en el mundo de la experiencia sensible.

 

Kant mantiene que si analizamos el proceder de los físicos, podemos llegar a la conclusión de que suponen una estructura necesaria en el mundo de la experiencia sensible.

Kant mantiene que ha dado con esa estructura porque su propuesta es la única que permite explicar cómo funciona la ciencia.

 

Kant mantiene que ha dado con esa estructura porque su propuesta es la única que permite explicar cómo funciona la ciencia. El conocimiento de dicha estructura necesaria del mundo de la experiencia sensible se puede resumir así:

1-El mundo está contenido en el espacio y el tiempo.

Kant entiende el primero como un contenedor en el que las cosas individuales se distinguen unas de otras por su posición en él.

El tiempo es entendido en el sentido tradicional de línea temporal en una única dirección que permite caracterizar el proceso de cambio de una cosa individual.

2- Los fenómenos que ocurren en el mundo se pueden medir (son magnitudes) y el mundo está formado por un conjunto de objetos que interactúan causalmente con arreglo a patrones permanentes.

 

Por tanto, Kant estaría más cerca de Platón y Descartes que de Hume en las ciencias empíricas. Igualmente ocurre con las matemáticas.

La matemática siempre ha sido el candidato preferido de los filósofos para encontrar ejemplos de juicios a priori. Recordemos el caso de Platón.

Un círculo, por ejemplo, se define en geometría como una figura plana compuesta por puntos que equidistan de uno dado. Pero nadie ha visto en realidad esa figura ni se podrá ver jamás. La forma circular exacta de los geómetras no se encuentra entre los objetos sensibles.

Lo que vemos con frecuencia son figuras –un plato, una rueda, la luna llena–, objetos materiales que también llamamos círculos y que resultan ser, en la forma, aproximaciones al círculo definido en geometría, pero no ese círculo mismo.

Podemos extraer entonces la conclusión de que la forma de círculo ha de existir, no en el mundo físico, sino en el mundo de las formas, sea eso lo que sea.

 

Una versión de platonismo matemático que nos interesa es la de los filósofos pertenecientes al racionalismo moderno clásico (s. XVII) que es tributaria de un platonismo cristianizado.

 

Una versión de platonismo matemático que nos interesa es la de los filósofos pertenecientes al racionalismo moderno clásico (s. XVII) que es tributaria de un platonismo cristianizado

 

 

Un ejemplo de racionalista clásico es René Descartes. A grandes rasgos, para Descartes, como para los racionalistas clásicos en general, el mundo de las ideas de Platón se imagina como la mente de Dios y nuestra alma es creada por éste con ciertas ideas innatas que nosotros podemos encontrar en nuestra mente con el debido entrenamiento.

Un racionalista diría que la idea de círculo, de número o de triángulo son ideas innatas, puestas por Dios en nuestra mente, y que lo que hacemos es analizarlas para obtener los axiomas y de ahí deducir teoremas.

Precisamente podemos encontrar una justificación de la conclusión platónica acudiendo a Descartes. En la «Sexta meditación» de sus Meditaciones metafísicas afirma que

«cuando imagino un triángulo, aun no existiendo acaso una tal figura en ningún lugar, fuera de mi pensamiento, y aun cuando jamás la haya habido, no deja por ello de haber cierta naturaleza, o forma, o esencia de esa figura, la cual es inmutable y eterna, no ha sido inventada por mí y no depende en modo alguno de mi espíritu; y ello es patente porque pueden demostrarse diversas propiedades de dicho triángulo«.

 

E insiste en que

«Y nada valdría objetar en este punto que acaso dicha idea del triángulo haya entrado en mi espíritu por mediación de los sentidos, a causa de haber visto yo alguna vez cuerpo de figura triangular; puesto que yo puedo formar en mi espíritu infinidad de otras figuras, de las que no quepa sospechar ni lo más mínimo que hayan sido objeto de mis sentidos, y no por ello dejo de poder demostrar ciertas propiedades que atañen a su naturaleza«.

 

 

Descartes, por tanto, apunta a dos características que hacen que el saber matemático sea peculiar. En primer lugar, que no puede ser producto de la actividad de mi mente, pero tampoco, en segundo lugar, producto del mundo físico percibido. La razón es, para lo primero, el carácter demostrativo de las matemáticas complementado con la autoevidencia de los axiomas de partida. Para lo segundo, la creatividad matemática que supera lo que el mundo de los sentidos me pueden ofrecer.

 

Descartes, apunta a dos características que hacen que el saber matemático sea peculiar.

En primer lugar, que no puede ser producto de la actividad de mi mente.

Pero tampoco, en segundo lugar, producto del mundo físico percibido

 

Así pues, como característica general, el platonismo en matemáticas, también denominado realismo matemático, sostiene básicamente dos cosas: primera, que las matemáticas son independientes de la mente humana por lo cual los seres humanos no inventan las matemáticas, sino que las descubren; segunda, que ese descubrimiento no se hace mediante la experiencia sensible sino mediante otra forma de contacto con los entes matemáticos. El resultado son juicios a priori.

El empirismo moderno, como era de esperar, fue epistemológicamente más aristotélico. En su Tratado de la Naturaleza Humana (Libro I, Parte II), Hume mantiene que nuestros sentidos dan lugar a las impresiones que son copiadas por nuestras ideas, las cuales son reorganizadas por nuestra actividad mental dando lugar a ideas complejas.

 

Hume mantiene que nuestros sentidos dan lugar a las impresiones que son copiadas por nuestras ideas, las cuales son reorganizadas por nuestra actividad mental dando lugar a ideas complejas

 

Un tipo de idea compleja son las relaciones y dentro de ellas Hume destaca aquellas que dependen enteramente de la comparación de ideas: la semejanza, los grados de cualidad y las proporciones de cantidad. De ellas tratan las matemáticas que, para Hume, son básicamente la geometría y la aritmética.

Sin embargo, dicha reorganización que da lugar a las ideas complejas hace que éstas no sean una fiel reproducción de las impresiones recibidas. Hume introduce cierta creatividad de la mente mediante la imaginación a la hora de producir las ideas complejas de las matemáticas, las figuras y los números.

Para Hume, ambos se originan a partir de lo inexacto de la percepción sensible (Tratado SB 45 y ss.) mediante el mismo proceso que conduce a que creamos en la existencia continua de los cuerpos (Tratado SB 198). Para Hume, por tanto, las ideas matemáticas son producto, en buena medida, de nuestra actividad mental y pueden estar muy alejadas de ser una representación fiel de la experiencia que las motivó.

 

Para Hume, por tanto, las ideas matemáticas son producto, en buena medida, de nuestra actividad mental y pueden estar muy alejadas de ser una representación fiel de la experiencia que las motivó

 

Aunque conviene no olvidar que para Hume las matemáticas conservan su carácter deductivo; lo dicho se refiere al origen de los axiomas desde los que se deducen el resto de proposiciones matemáticas. Si se recuerdan las objeciones de Descartes está claro que este planteamiento de Hume se arriesga a caer en ellas.

Las matemáticas poseen un carácter demostrativo (recuérdese también el origen autoevidente de la verdad de los axiomas), y por tanto objetivo, del que carecerían nuestros inventos mentales. Si los juicios matemáticos estuviesen basados en nuestra inventiva, en nuestra imaginación, nada garantiza su objetividad, porque está claro que, si las ideas no son fieles copias de la realidad según Hume, entonces las conclusiones que saquemos a partir de ellos tampoco lo serán.

 

Si los juicios matemáticos estuviesen basados en nuestra inventiva, en nuestra imaginación, nada garantiza su objetividad, porque está claro que, si las ideas no son fieles copias de la realidad según Hume, entonces las conclusiones que saquemos a partir de ellos tampoco lo serán

 

 

Para el racionalista, el empirismo no permite explicar el conocimiento ni empírico ni matemático

 

Evidentemente es una conclusión que se puede discutir. Pero está claro que para el racionalista el empirismo no permite explicar el conocimiento ni empírico ni matemático. Por otra parte, como hemos visto, el racionalismo se muestra incapaz de explicar los juicios aritméticos en términos analíticos y el resto de conocimientos se basa en la doctrina de las ideas innatas desacreditada por las críticas empiristas.

Kant ofrece unos juicios que supuestamente superan tanto las dificultades empiristas (son a priori), como racionalistas (son sintéticos): los juicios sintéticos a priori.

Así, Kant cree que puede recuperar la objetividad de las matemáticas (y de las ciencias, pero ahora no es nuestro asunto) manteniendo la experiencia como fuente fundamental del conocimiento. Recordemos que, para Kant, la intuición es el resultado de captar un particular y eso ocurre siempre en la experiencia sensible.

Por tanto, todas nuestras intuiciones son sensibles, son intuiciones empíricas. Pero para Kant, toda intuición tiene dos partes: la forma de la intuición y la materia de la intuición.

La forma de la intuición la constituye el espacio y el tiempo.

El espacio es el marco en el cual situamos los particulares que intuimos y a la vez el conjunto de las relaciones espaciales que guardan entre ellos.

Con el tiempo pasa algo parecido; en él situamos los acontecimientos: unas cosas ocurren antes y otras después. (Kant señala que sólo podemos representarnos el tiempo espacialmente, por lo cual lo que digamos del espacio podemos extenderlo al tiempo.)

Conviene precisar que el espacio y el tiempo ni son meras relaciones, ni son cosas independientes en el sentido habitual. Se puede hablar de relaciones espaciales y temporales, pero el espacio y el tiempo no se reducen a ellas porque constituyen dos totalidades: hay un solo espacio y hay un solo tiempo, son particulares.

 

Se puede hablar de relaciones espaciales y temporales, pero el espacio y el tiempo no se reducen a ellas porque constituyen dos totalidades: hay un solo espacio y hay un solo tiempo, son particulares

 

Pero además, el espacio y el tiempo no pueden presentarse como dos cosas independientes al lado de los entes físicos. El espacio y el tiempo aparecen con las cosas físicas, con los particulares y éstos siempre aparecen en el espacio y el tiempo.

 

El espacio y el tiempo aparecen con las cosas físicas, con los particulares y éstos siempre aparecen en el espacio y el tiempo

 

El espacio y el tiempo hacen posible la objetividad en cada intuición. Si queremos decir algo objetivo de un hecho de la experiencia concreto, sólo podemos hablar de las relaciones que las cosas mantienen en el espacio y el tiempo. Así, las relaciones de posición (por ejemplo, esta mesa está delante de mí) o temporales (esto ocurrió antes que lo otro) son objetivas.

Por el contrario, forman parte de la materia todos los aspectos de la intuición que no tienen un carácter espacial o temporal: los colores, los olores o los sabores; la materia de la intuición no puede ser objetiva. Para Kant, toda intuición tiene su forma, y la forma de una intuición no puede no estar y todas las intuiciones tienen su forma.

 

Para Kant, toda intuición tiene su forma, y la forma de una intuición no puede no estar y todas las intuiciones tienen su forma

 

 

Para contextualizar las afirmaciones de Kant sobre el lugar en su filosofía del espacio y el tiempo, conviene no perder de vista que la epistemología kantiana está condicionada por los logros de la física matemática de Newton en la que el espacio es el contenedor universal y, junto al tiempo, son las dos magnitudes que permiten explicar la física (tanto la cinemática como la dinámica). Y que parte del enfoque de Kant es justificar racionalmente el éxito de tal física.

 

La epistemología kantiana está condicionada por los logros de la física matemática de Newton en la que el espacio es el contenedor universal y, junto al tiempo, son las dos magnitudes que permiten explicar la física (tanto la cinemática como la dinámica)

 

La otra parte es proporcionar alternativa a la fallida manera de explicar el conocimiento matemático de Wolff y el papel de los juicios sintéticos a priori en ambos proyectos.

Volvamos al conocimiento según Kant. Para que haya conocimiento, científico o matemático, hacen falta juicios y para estos hacen falta conceptos. Para Kant los conceptos pueden proceder del entendimiento o de la sensibilidad aunque los genera siempre el entendimiento. En el primer caso se extraen del propio entendimiento, en el segundo de intuiciones.

 

Para que haya conocimiento, científico o matemático, hacen falta juicios y para estos hacen falta conceptos.

Para Kant los conceptos pueden proceder del entendimiento o de la sensibilidad aunque los genera siempre el entendimiento.

En el primer caso se extraen del propio entendimiento, en el segundo de intuiciones.

 

Nuestro concepto del espacio y nuestro concepto del tiempo son conceptos (conceptos de unos particulares) que se extraen de la sensibilidad, en concreto de la parte pura de la sensibilidad, del espacio y el tiempo.

Kant no se entretiene en describir el concepto de espacio y el concepto de tiempo. Pero todo juicio que se haga exclusivamente sobre el espacio o sobre el tiempo será sintético porque el espacio y el tiempo son intuiciones, esto es, algo individual.

Y también a priori porque hay juicios sobre el espacio o sobre el tiempo que son necesarios y universales y para Kant, la necesidad y la universalidad son señales de aprioridad.

Por tanto, tenemos que las dos formas de la intuición, el espacio y el tiempo, son los dos individuos que permite hacer, respectivamente, juicios espaciales y temporales. El entendimiento extrae del espacio y el tiempo una serie de conceptos. Y cuando nuestros juicios se refieren a esa espacialidad y temporalidad exclusivamente, estamos haciendo juicios sintéticos (se basan en algo individual: el espacio y el tiempo) y a priori (son universales y necesarios).

Son también juicios sintéticos a priori el principio de causalidad, el principio de inducción o el que los fenómenos físicos se organicen en objetos o sean magnitudes (se puedan medir). No es este nuestro tema, por lo que pasamos directamente a la aritmética.

«En relación con el sentido externo, el espacio constituye la imagen pura de todas las magnitudes, mientras que el tiempo lo es de todos los objetos de los sentidos. […]

El número no es […] otra cosa que la unidad de síntesis de lo diverso de una intuición homogénea en general, unidad obtenida al producir yo el tiempo mismo en la aprehensión de la intuición» (A142-A143=B182)

 

Veamos una posible interpretación. Consideremos una serie de objetos diferentes numéricamente pero iguales en lo demás, pongamos que una serie de barras, donde el primer miembro de la serie es la unidad y cada miembro subsiguiente se construye por concatenación de una unidad adicional que sea una copia del miembro previo.

Por ejemplo |||||||. Si tenemos la serie anterior podemos verla como que contiene otra, digamos |||||.

Pero ese «contener a» se da de manera muy diferente al como el concepto <mamífero> contiene. <Mamífero> contiene como uno de sus caracteres o marcas, esto es, los mamíferos son una especie de animales.

Por el contrario, «|||||||» contierne «|||||» como una parte propia. «|||||||» no es un tipo de «|||||». Las barras tienen identidad específica y mantienen su diferencia numérica. Y eso permite representar las igualdades aritméticas.

Por ejemplo, «|||||||+|||||=||||||||||||», podemos leer «||||||||||||» como construida mediante un grupo de 7 barras y de 5 barras de acuerdo con la regla de la adición.

La regla nos dice que pongamos en la serie de la derecha del igual una barra por cada barra de todas las que están a la izquierda.

Asi, la suma sirve como una regla de construcción de las doce barras.

 

 

Cabe preguntarse si hacían falta tantas alforjas para este viaje. Lo que dice Kant sobre la aritmética no parece ser muy prometedor. En realidad, Kant se centra más en la geometría porque era la parte de la matemática que funcionaba como fundamento del resto de las matemáticas de su época y Wolff, consiguientemente, había centrado sus esfuerzos para formular la matemática en juicios analíticos en la geometría.

El resultado de su propuesta de juicios sintéticos para la geometría (Anderson, RL 2015) es bastante más jugosa que lo que se acaba de decir sobre la aritmética y se puede considerar que ofrece una alternativa viable a la analiticidad de la geometría sostenida por Wolff.

Pero recordemos que nos interesa todo esto para entender Los fundamentos de Frege y que Frege, como casi todos en su época, se expresa en el marco kantiano, de ahí la necesidad de profundizar en ello.

Desde un punto de vista estrictamente lógico, se ha señalado (ver Hintikka, 1973) que la forma de la intuición en Kant, el espacio y el tiempo, funciona como una alternativa a la inexistencia de la regla de instanciación existencial en la lógica de Kant. Recordemos que hay que esperar a Frege para que esa regla, fundamental en muchas demostraciones matemáticas, fuese incorporada a la lógica, pues no podía ser justificada mediante la silogística.

 

la forma de la intuición en Kant, el espacio y el tiempo, funciona como una alternativa a la inexistencia de la regla de instanciación existencial en la lógica de Kant.

Recordemos que hay que esperar a Frege para que esa regla, fundamental en muchas demostraciones matemáticas, fuese incorporada a la lógica, pues no podía ser justificada mediante la silogística.

 

A este respecto, se puede considerar la filosofía de la geometría de Kant como una epistemología de Los elementos de Euclides. Sin embargo, las afirmaciones de Kant sobre la espacialidad y la temporalidad (en la «Estética trascendental«) son independientes de la geometría euclídea.

 

 

En cualquier caso, Kant no nos ofrece en aritmética mucho con lo que trabajar. Además, aunque las críticas de Kant al enfoque de Wolff son históricamente valiosas, desde el momento en que aparece la lógica matemática con Frege, desaparece la necesidad de la intuición del espacio y el tiempo para justificar las demostraciones con instanciaciones existenciales.

 

Desde el momento en que aparece la lógica matemática con Frege, desaparece la necesidad de la intuición del espacio y el tiempo para justificar las demostraciones con instanciaciones existenciales

 

Dicho de otra manera, la cuestión del carácter sintético de los juicios matemáticos se convierte en una cuestión irrelevante más allá del establecimiento de la historia del asunto (otra cosa es que estudiemos el quehacer matemático diagramático que la geometría de Euclides supone y del que se puede considerar una epistemología la filosofía de Kant).

Por otra parte, el carácter a priori de los juicios matemáticos, no es establecido por Kant, independientemente de que esa sea una posición corriente sobre el tema. Kant mantiene que los juicios matemáticos son necesarios y universales y por lo tanto, son a priori. Esta afirmación, Kant no la argumenta.

Y aquí hay que tener presente que no es lo mismo, por un lado, que un análisis digamos, fenomenológico, nos invite a considerar la espacialidad y la temporalidad como horizontes irrebasables de la experiencia humana y, por otro lado, que consideremos epistemológicamente que los juicios matemáticos son a priori. Son dos cosas distintas y para establecer lo último, Kant no sirve de ayuda.

 

Y aquí hay que tener presente que no es lo mismo, por un lado, que un análisis digamos, fenomenológico, nos invite a considerar la espacialidad y la temporalidad como horizontes irrebasables de la experiencia humana y, por otro lado, que consideremos epistemológicamente que los juicios matemáticos son a priori.

Son dos cosas distintas y para establecer lo último, Kant no sirve de ayuda.

 

*******

FREGE Y KANT

 

Como ya hemos visto, Frege cita a Kant por primera vez en la sección 3 de Los fundamentos:

«Su objetivo [el de la pregunta por cuál es la razón última en que está basada la justificación de tener un enunciado por verdadero], pues, es encontrar la prueba y retrotraerla hasta las verdades originarias. Si por este camino se llega a leyes lógicas generales y a definiciones, entonces se tiene una verdad analítica, para lo cual se presupone que también se toman en consideración los enunciados en los que se basa la admisibilidad de una definición.

Si, por el contrario, no es posible llevar a término la demostración sin utilizar verdades que no son de naturaleza lógica general, sino que están relacionadas con un campo particular del saber, entonces el enunciado será sintético.

Para que una verdad sea a posteriori se exige que su prueba no pueda ser validada sin alguna apelación a los hechos; es decir, a verdades indemostrables y sin universalidad, que contienen aseveraciones sobre objetos particulares. Si, por el contrario, es posible llevar a cabo la prueba partiendo de leyes generales únicamente, que no pueden ni precisan ser demostradas, entonces la verdad es a priori.»

 

Frege establece la distinción entre los dos pares de tipos de proposición en términos de demostración, esto es, deducción. Interpretando lo que dice Frege tenemos:

Proposiciones a priori: se deducen de proposiciones autoevidentes (no precisan ser demostradas) y universales. Las proposiciones a priori se deducen de proposiciones que se caracterizan pues, por un rasgo epistemológico, muestran su verdad por ellas mismas y otro lógico, son proposiciones universales.

Proposiciones a posteriori: se deducen de proposiciones cuya verdad depende de los hechos y desde el punto de vista lógico, son proposiciones singulares.

Proposiciones analíticas: se deducen de leyes lógicas generales y definiciones

Proposiciones sintéticas: se deducen de verdades que se refieren a un campo particular del saber.

 

Frege no habla de las características de las proposiciones que actúan como premisas. Además, su caracterización no es lo suficientemente extensa para establecer firmemente su posible posición al respecto. Habitualmente se interpreta que una proposición es analítica en sentido fregeano si es una ley lógica o se deduce de ellas con las definiciones que se necesiten.

Las leyes lógicas exigen distinguir en el lenguaje la forma lógica de las proposiciones: recordemos lo dicho la hablar de la Conceptografía.

Había una serie de partes de la oración cuyo significado jugaba un papel especial a la hora de usar la oración para expresar la verdad: los operadores lógicos, los cuantificadores, etc. Y ello nos permitía dar con la forma lógica de una proposición de la manera que vimos.

La anterior definición de analiticidad es la que se suele dar por sentado en Frege y en la primera filosofía analítica sin entrar en más detalles epistemológicos.

 

 

Por otra parte, hasta Kripke, era usual aceptar sin discusión el criterio kantiano para las proposiciones a priori: si las proposiciones son universales y necesarias, entonces son a priori. Pero la necesidad puede ser conocida a posteriori, por ejemplo que el agua es H2O.

Si a ello unimos, lo dicho antes sobre la interpretación de Hintikka de los juicios sintéticos a priori, los dos pares de distinciones parecen colapsar en uno solo: proposiciones cuya verdad depende del mundo (a posteriori, sintético) y proposiciones cuya verdad depende de la «articulación del lenguaje» (a priori, analítico).

Esta caracterización, mayoritaria en la primera filosofía analítica, enfrenta sus problemas tanto debido a la pregunta qué sea la forma lógica, como el estatuto de las definiciones que suponen los conceptos de significado y sinonimia con sus propias cuitas.

Por otra parte, otros autores pueden señalar que los juicios sintéticos a priori se pueden mantener despojándolos de todo el aparato lógico y semántico kantiano que los apoya y quedando como mera etiqueta para señalar análisis fenomenológicos de estructuras básicas de la realidad como las que nos ofrecen la Estética y Analítica Trascendentales y que se formularían en proposiciones que son verdades sobre el mundo que no establecemos con medios empíricos.

En cualquier caso, Frege reconoce que se aleja más de Kant de lo que declara al principio de Los fundamentos, como se puede comprobar por lo que dice en la sección 87, segunda de la «Conclusión» al hablar de las definiciones:

«Parece que Kant cree que el concepto viene definido por las características que se le asocian; pero éste es uno de los modos menos fructíferos de formar conceptos. Si se echa una ojeada a las definiciones dadas más arriba, apenas se hallará ninguna de este tipo.»

 

 

El principio de los axiomas de la intuición es que todas las intuiciones son magnitudes extensivas, es decir, que a todas las intuiciones se les pueden aplicar conceptos métricos.

Por su parte, los Axiomas de la intuición son los axiomas de la geometría y niega que la aritmética los tenga.

 

En la sección 5, ya dentro del capítulo I, Frege comenta el pasaje de Kant donde este introduce los «Axiomas de la intuición» (A162=B202 y ss). El principio de los axiomas de la intuición es que todas las intuiciones son magnitudes extensivas. Dicho en términos actuales, a todas las intuiciones se les pueden aplicar conceptos métricos. Por su parte, los Axiomas de la intuición son los axiomas de la geometría y niega que la aritmética los tenga.

Pero luego Kant se refiere a las igualdades aritméticas, lo que Frege y Kant llaman fórmulas numéricas, como «proposiciones evidentes de la relación numérica» que son sintéticas pero al no ser universales sino singulares, no se pueden considerar a priori porque la marca del a priori es la necesidad y la universalidad; por lo tanto no pueden ser axiomas.

Estas fórmulas numéricas son casos de juicios sintéticos para Kant y las utiliza para justificar el carácter sintético de los juicios matemáticos, aunque de manera poco clara.

Además Kant dice que las fórmulas numéricas son «evidentes«. Frege señala entonces:

«Y, por lo demás, ¿es acaso evidente que 135.664+37.863=173.527.

¡No!

Y es precisamente esto lo que lleva a Kant a sostener el carácter sintético de estos enunciados.»

 

Frege se refiere a B16 de la Crítica de la razón pura y la sección 2 apartado (a) de los Prolegómenos a toda metafísica del porvenir que haya de poder presentarse como una ciencia. Partiendo del mismo ejemplo (7+5=12), Kant afirma que

«la proposición aritmética es siempre sintética, lo cual se apreciará más claramente si se toman números algo mayores.«

 

En la medida en que, como hemos visto, Kant intenta desacreditar que todos los juicios aritméticos sean analíticos, parece que es más lógico interpretar que Kant piensa que números algo mayores permitan visualizar que no hay descomposición del concepto para hallar la suma.

Entonces, Frege atribuiría a Kant un razonamiento que no hace, pero cuya conclusión le interesa para establecer el carácter deducido de las fórmulas numéricas.

Aunque pertenece a otro ámbito, no deja de ser relevante señalar que la discrepancia de Frege con Kant es más profunda de lo que Frege declara. En el capítulo III, en la sección 40 dice Frege:

«El tiempo es solamente una necesidad psicológica para poder contar, pero no tiene nada que ver con el concepto de número.

Si se utilizan puntos espaciales o temporales para representar objetos no espaciales o atemporales, esto puede ser quizá ventajoso para el proceso de contar; pero, en lo fundamental, en ello se presupone la aplicabilidad del concepto de número a lo no espacial y también, a lo atemporal.»

 

Frege termina de medirse con Kant en el último apartado del capítulo I, que titula «¿Son las leyes de la aritmética sintéticas «a priori» o analíticas?», para responder, contra Kant, que son analíticas.

Frege está de acuerdo con Kant en que son a priori, pero no que sean sintéticas. Para ello, previamente ha rechazado la posición de Mill que representa la posición de quienes creen que son a posteriori. Lo dicho más arriba puede servir para entender el texto de Frege en la sección 12 del citado apartado. Al final de esta afirma:

«Pero en este sentido [captar un particular], la intuición no puede servir como fundamentación de las leyes aritméticas».

 

En la sección 13, justifica tal afirmación: la geometría y la aritmética no se pueden comparar epistemológicamente porque los puntos y los números son distintos. Todos los puntos son iguales, pero cada número es diferente. Este argumento lo ha presentado antes al criticar a Mill por lo que insistiremos en él al tratar del autor empirista.

 

Todos los puntos son iguales, pero cada número es diferente

 

 

En esta sección 13 se hacen referencias al número como magnitud que retomaremos al hablar de la sección 19 del capítulo II de Los fundamentos. En la sección 14, puede comprobarse cómo Frege interpreta a su manera el concepto de juicio sintético de Kant (que definió en la sección 3).

«Para el pensamiento conceptual se puede aceptar siempre el opuesto de este o aquel axioma sin que uno entre en contradicciones consigo mismo, cuando saca conclusiones de tales hipótesis contrarias a la intuición [en geometría].

Esta posibilidad muestra que los axiomas geométricos son independientes entre sí y de las lógicas primitivas; o sea, que son sintéticos.»

 

Ya sabemos que ese no es el concepto de juicio sintético de Kant. Resumiendo, la postura de Kant es que existe un ámbito objetivo de conceptos que es posible investigar y conocer.

La silogística y la teoría de la definición aristotélicas ofrecen las articulaciones más generales. Especialmente, no hay que perder de vista que los conceptos están organizados dicotómicamente y por un lado terminan en las especies más concretas (bajo las que caerían los individuos o particulares) y por otro en los géneros supremos.

 

Los conceptos están organizados dicotómicamente y por un lado terminan en las especies más concretas (bajo las que caerían los individuos o particulares) y por otro en los géneros supremos

 

La silogística no tiene medios para explicar la mayor parte de las inferencias matemáticas (por ejemplo, las que involucran relaciones), pero Kant da una alternativa epistemológica parcial a este problema lógico mediante los juicios sintéticos a priori; estos permiten salvar epistemológicamente algunas inferencias que involucran una instanciación existencial.

Frege descarta la organización de los conceptos tal como la veían Kant y sus predecesores.

No debemos partir de un ámbito objetivo de conceptos que puede ser objeto de un estudio independiente y formularse mediante sus definiciones basadas en los subconceptos que los forman (véase la ya citada sección 88 en la «Conclusión» de Los fundamentos) y luego formular proposiciones, sino que el contenido de los conceptos ha de establecerse por el significado de las palabras que los denotan al usar las oraciones declarativas (proposiciones).

Es verdad que Kant dio un primer paso en esta forma de ver los conceptos al concebir estos como predicados posibles, pero el estado de la lógica en su tiempo no permitió llegar más allá.

 

Frege propone una nueva lógica que es imposible de formular en el sistema kantiano

 

Frege propone una nueva lógica que es imposible de formular en el sistema kantiano. Y además, Frege entiende la lógica como aquello que es máximamente general y conviene a todo lo que podemos expresar mediante el lenguaje. Por decirlo de alguna manera, la lógica en la que piensa Frege tiene el mismo estatuto que los predicados trascendentales respecto a todo ente: gobierna todo lo que se puede decir.

Con ello sólo se pretende sugerir el lugar de la lógica para Frege, pues recordemos que, en la Conceptografía, Frege reconocía que la lógica a la que había dado a luz no podía tener un estatuto universal para todo el lenguaje, aunque confiaba en que sí tuviese ese estatuto para el lenguaje científico.

 

La lógica en la que piensa Frege tiene el mismo estatuto que los predicados trascendentales respecto a todo ente: gobierna todo lo que se puede decir.

Frege reconocía que la lógica a la que había dado a luz no podía tener un estatuto universal para todo el lenguaje, aunque confiaba en que sí tuviese ese estatuto para el lenguaje científico.

 

*******

RELACIONADOS:

KANT Y FREGE: LOS FUNDAMENTOS DE LA ARITMÉTICA, de Gottlob Frege (Parte 1)

Gottlob Frege (1848-1925)

RELEYENDO A FERDINAND DE SAUSSURE: EL SIGNO LINGÜÍSTICO

EL ENIGMA NO EXISTE, por Ludwig Wittgenstein

Los conceptos y las cosas. Evolución y alcance de la teoría vitalista del concepto (Parte 1)

«LA RELACIÓN ENTRE LENGUAJE Y PENSAMIENTO DE VIGOTSKY EN EL DESARROLLO DE LA PSICOLINGÜÍSTICA MODERNA», por Carlos J. Álvarez González

TEORIA GENERAL DE SISTEMAS, por Ludwig von Bertalanffy (1968)