WITTGENSTEIN Y LA FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA, por Silvio Pinto

WITTGENSTEIN Y LA FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA

 

¿Qué es lo que empezó?

«En la actualidad la estructura técnica del poder es casi un poder absoluto que ejerce funciones de ‘naturaleza’ y exige unos relatos que el arte ya no puede dar»

Por Félix de Azúa, 26 FEBRERO 2025

 

Hacia 1820, es decir, hace doscientos años, comenzó un cambio profundo en la conciencia europea (quizás mundial) que todavía hoy está sin explicar. Los primeros en advertirlo, como las liebres advierten los temblores de tierra, fueron artistas y filósofos. Por el lado del pensamiento quien inaugura (y expone) la teoría de ese terremoto que se avecinaba fue G. F. Hegel en un conjunto de ensayos descomunal, tanto en tamaño como en profundidad.

Pero junto a su discurso, comenzaron también las desazones artísticas, el derrumbe de las artes según habían existido hasta entonces. Miles de años se vieron suprimidos cuando comenzaron a aparecer pinturas, músicas y poemas enigmáticos para la población y los críticos. Al principio fue un enorme escándalo, como la exposición de la Olympia de Manet en 1863 que puso en pie de guerra a la entera población de París, pero no mucho más tarde aparecieron los paisajes y bañistas de Cézanne que nunca salieron de su estudio, y luego el cubismo de Gris, Braque y Picasso seguido poco después por la ya caudalosa cascada de Kandinsky hasta desembocar en Beuys.

Todo esto es muy conocido, sí, pero no ha sido reflexionado suficientemente, a pesar de la enorme bibliografía acumulada. Hegel avanzó que las artes iban hacia su fin y se habían convertido «en una forma de pasado». Hasta entonces, hasta la Revolución Industrial digamos, habían florecido como aparatos de significar y cada obra de arte, fuera pintura, música o poesía, abría una ventana sobre el cosmos a cuyo panorama debíamos acomodarnos. A veces el mundo tomaba los tonos dorados de Rembrandt y a veces las tormentas dinámicas de Beethoven, otras las perfectas armonías polifónicas o las atormentadas espirales de Tintoretto. Debilitada la religión, y la ciencia aún no convertida en el único discurso sobre la verdad del mundo, el arte seguía siendo entonces una sólida explicación del cosmos.

Y de repente todo se vino abajo. Ya en 1820 anunciaba Hegel a sus alumnos de la universidad de Berlín que llegaba el fin del arte y que este iba a desaparecer, pero sólo lo supieron sus alumnos, claro. Era demasiado inteligente Hegel como para divulgarlo, o creer que le iban a prestar atención fuera de las aulas. Pero su exposición era impecable: el arte había sido la ilustración humana de la Naturaleza, hasta que dejó de existir la vieja Naturaleza (la physis griega), sustituida por el mundo técnico que se estaba adueñando del universo. Las artes eran ya conscientes de sus límites.

En la actualidad pocos negarían que la estructura técnica del poder es casi un poder absoluto que ejerce funciones de «naturaleza» y exige unas explicaciones (unos relatos) que el arte ya no puede proporcionar. Naturalmente sigue habiendo pintores y músicos, como sigue habiendo artistas que exponen en algunos museos sus ingenios, casi todos financiados por el Estado que sabe el escaso peligro que suponen. ¿Por qué los subvenciona como si fueran sindicatos? Por inercia y para completar el panorama que ofrecen las agencias de viajes, junto a la gastronomía y el deporte.

 

«Ahora es más importante que te reconozcan como artista a que reconozcan como ‘arte’ alguno de tus productos»

 

¿Explican algo del mundo estas extravagantes exposiciones? Casi todas usan un tópico político u otro, digamos una «rebeldía», para que parezcan obedecer a un deseo de explicación. Aunque una enorme cantidad de excedente artístico expone tan solo comentarios sobre la vida privada de los artistas a modo de álbum de fotos. Ahora es más importante que te reconozcan como artista a que reconozcan como «arte» alguno de tus productos, los cuales vienen a ser tan sólo la prueba de que sus autores son unos artistas. Así como el policía lleva una placa que le permite detener a un delincuente, así también el artista lleva sus obras como garantía de que puede exponer en tanto que «artista».

El caso es que después de Hegel la aportación de la filosofía a este agudo problema ha sido casi nula, si exceptuamos a dos grandes pensadores, Nietzsche y Heidegger, que vieron perfectamente cómo era el agujero negro que se estaba formando y trataron de aportar alguna luz. En nuestros días se acaba de publicar un libro bastante útil, de Robert B. Pippin (Después de la belleza, Editorial La Balsa de Medusa), que puede resultar útil a quienes sigan interesados por este enigma con seriedad. Pippin es un hegeliano (aunque lo corrige con cortesía) y es respetuoso con dos críticos que son de lo mejor que ha dado el siglo XX, T.J. Clark y M. Fried, aunque no oculta que el primero se ha suicidado con un sociologismo rancio en los últimos libros, defecto casi general entre los expertos de su especie. Por cierto, no es despreciable la intuición de Ortega y Gasset en su Deshumanización del arte de 1925.

Pippin, por supuesto, es demasiado timorato como para dar el paso que osó dar A. Danto en 1982, otro hegeliano, cuando afirmó que el mundo del arte se había terminado como discurso relevante sobre el mundo. Danto siguió con rigor el dictamen de Hegel («el arte es una forma de pasado») a pesar de que todas las instituciones artísticas se le echaron encima con sus inmensos caudales de dinero público y el apoyo de la izquierda analfabeta. Pero eso él ya lo sabía. Pippin es más prudente, aunque se advierte que por lo menos no se engaña sobre eso que seguimos llamando «arte».

Pero no sufran los que se dedican a esta profesión. Sigue teniendo vida comercial y poco a poco se va desviando hacia las artesanías técnicas que, a mi entender, están llamadas a cubrir todas las necesidades «artísticas».

En todo caso, como dije al principio, aún no está claro lo que ha sucedido en estos doscientos años, ese movimiento profundo que ha producido un efecto devastador. Heidegger lo llamaba, simplemente, «la técnica», seguramente porque no hemos encontrado otro nombre y las instituciones sólo mueren cuando su nombre se extingue.

 

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WITTGENSTEIN Y LA FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA

EI interés del filósofo vienés Ludwig Wittgenstein (1889-1951) por la naturaleza y los fundamentos de la matemática fue muy temprano en él y se extendió a lo largo de toda su vida. Wittgenstein había estudiado ingeniería en una escuela técnica de Berlín y realizó una estancia de investigación en Manchester en 1908.

Ahí se interesó por la aeronáutica y más específicamente por el diseño de hélices. El estudio de la forma de las hélices requería un tratamiento matemático complicado y pudo haber sido esto lo que le llevo a profundizar sobre las teorías matemáticas relevantes para su proyecto en aeronáutica y a preguntarse acerca de los propios fundamentos de estas teorías.

Por Silvio Pinto

Universidad Autónoma Metropolitana (UAM)

 

A finales del siglo XVIII e inicios del XIX, y coincidentemente con el movimiento de rigorización de la matemática, se podía notar una tendencia reduccionista en algunos matemáticos para encontrar la teoría más básica a partir de la cual toda la matemática podría ser generada. Un ejemplo de tal tendencia en los siglos XVI y XVII fue el descubrimiento de la geometría cartesiana.

Con esta nueva teoría es posible representar cualquier figura geométrica en términos de conjuntos de n-uplas ordenadas de números reales. Como resultado del movimiento reduccionista, la aritmética fue tomada como el fundamento de toda la matemática. Pero los matemáticos con inclinaciones filosóficas no quedaron satisfechos con esto; era necesario encontrar una teoría más fundamental sobre la cual pudiera descansar la aritmética.

 

Debemos al filósofo y matemático alemán Gottlob Frege el primer gran intento de buscar un fundamento más sólido para la aritmética de los números naturales.

Según Frege, tal fundamento sólo podría ser algo tan general y tan seguro como la lógica.

 

Debemos al filósofo y matemático alemán Gottlob Frege (1848-1925) el primer gran intento de buscar un fundamento más sólido para la aritmética de los números naturales. Según Frege, tal fundamento sólo podría ser algo tan general y tan seguro como la lógica.

El programa logicista fregeano involucraba dos tesis: 1) los conceptos básicos de la aritmética (el cero, el número natural y el sucesor) deben ser definidos en términos de conceptos estrictamente lógicos; 2) las verdades más básicas de la aritmética (los axiomas de Peano), deben poder ser demostrados a partir de verdades puramente lógicas y definiciones.

 

 

El logicismo de Frege da sus primeros pasos con la publicación, en el año de 1879, de la Conceptografía, y alcanza su madurez entre 1893 y 1903 con la publicación de los dos primeros volúmenes de las Leyes Básicas de la Aritmética. Irónicamente, la consecución del logicismo fregeano coincide con el descubrimiento, por el filósofo inglés Bertrand Russell (1872-1970), de la contradicción que vino a fulminar el programa fundacionista fregeano: la contradicción de la clase de todas las clases que no se pertenecen a sí mismas.

 

El filósofo inglés Bertrand Russell fue el autor de la contradicción que vino a fulminar el programa fundacionista fregeano: la contradicción de la clase de todas las clases que no se pertenecen a sí mismas.

 

Un ejemplo de una clase que se pertenece a sí misma es la clase de todas las clases. Normalmente una clase no es un elemento de sí misma: la clase de los planetas del sistema solar no es un planeta; por lo tanto, no se pertenece a sí misma.

La contradicción está en que si suponemos que la clase de todas las clases que no se pertenecen a sí mismas se pertenece a sí misma, entonces estamos obligados a concluir que ella no se pertenece a sí misma, ya que si pertenece a sí misma entonces tiene que satisfacer a la propiedad de no pertenecerse a sí misma. 

Por otro lado, si suponemos que tal clase no se pertenece a sí misma, entonces estamos forzados a concluir que ella sí pertenece a sí misma, una vez que por no pertenecerse a sí misma debe ser un miembro de la clase de todas las clases que no se pertenecen a sí mismas y, por lo tanto, un miembro de sí misma.

La contradicción de Russell llevó a Frege a desistir del programa logicista pero tuvo un efecto opuesto sobre el mismo Russell. La contradicción se deriva de la famosa ley V del sistema de las Leyes Básicas, la cual afirma que cualquier propiedad determina una clase. Por ejemplo, la propiedad de no pertenecerse a sí mismo determina una clase, la constituida por todas las cosas que no se pertenecen a sí mismas. Si esta clase existe, entonces tiene sentido preguntar si satisface la propiedad que la define.

 

Russell se dedicó a la tarea de reconstruir el programa logicista de manera consistente

 

Russell se dedicó a la tarea de reconstruir el programa logicista de manera consistente. Para evitar la contradicción que lleva su nombre, se hizo necesario, según él, proponer una teoría de los tipos de cosas. Hay objetos que son cosas del primer tipo; hay clases de objetos del primer tipo las cuales son cosas del segundo tipo; hay clases de objetos del segundo tipo las cuales son cosas del tercer tipo, etcétera.

Esta tipología impide la aplicación de la relación de pertenencia a cosas del mismo tipo. La propiedad de pertenecerse a sí mismo es un sinsentido, de acuerdo con la teoría de tipos, pero también lo es la negación de esta propiedad. Por to tanto, ninguna de ellas determina una clase.

 

El logicismo russelliano no satisfizo en absoluto a Wittgenstein

 

El logicismo russelliano no satisfizo en absoluto a Wittgenstein. Russell había publicado en 1910 el primer volumen de los monumentales Principia Mathematica, obra que fue duramente criticada por Wittgenstein, para quien algunos de los axiomas de la lógica utilizada por Russell para fundar toda la matemática simplemente no poseían la característica de una proposición de la lógica: la de ser una tautología. Este era el caso del axioma de infinitud que afirma la existencia de infinitos objetos.

 

 

Russell necesitaba este axioma para garantizar la existencia de toda la secuencia de números naturales, ya que en su sistema los números son definidos como clases de clases de objetos. El número 3, por ejemplo, es definido como la clase de todas las ternas de objetos.

Si el número de objetos fuera finito, entonces no habría manera de generar dentro de la concepción russelliana el conjunto infinito de los números naturales. Imagínese que el mundo poseyera 10 objetos; todos los números a partir del 11 serían idénticos entre si o no existirían.

 

Para Wittgenstein, sin embargo, las proposiciones de la lógica no pueden hacer afirmaciones sobre el mundo en que vivimos; la lógica tiene que ser compatible con todos los mundos posibles

 

Para Wittgenstein, sin embargo, las proposiciones de la lógica no pueden hacer afirmaciones sobre el mundo en que vivimos; la lógica tiene que ser compatible con todos los mundos posibles. La característica de las proposiciones de la lógica no es, como pensaban Frege y Russell, su generalidad (el hecho de que hablen de la totalidad de las cosas) sino más bien, según el autor del Tractatus Logico-Philosophicus, su no decir nada, la ausencia de contenido informacional sobre cualquier mundo en particular.

 

Las proposiciones de la lógica son, para el Tractatus de Wittgenstein, tautologías

 

Una proposición como “llueve o no llueve” es una proposición de la lógica a pesar de no ser general. Las proposiciones de la lógica son, según la doctrina del Tractatus, tautologías.

Russell le había encargado a Wittgenstein reescribir los Principia, pero éste había encontrado tantos errores que decidió escribir su propio libro. Este fue el Tractatus Logico-Philosophicus, concluido mientras Wittgenstein luchaba por el Imperio Austrohúngaro en la primera guerra mundial. Las divergencias entre este libro y los Principia con relación a la naturaleza de la lógica y la matemática son enormes. Quizá la más importante es que, en el Tractatus, ni la lógica ni la matemática hacen afirmaciones sobre la realidad.

 

 

En oposición a Frege y a Russell, Wittgenstein sostenía que no hay objetos lógicos ni matemáticos, y esto fue algo que mantuvo durante toda su obra. La otra divergencia fundamental entre el autor del Tractatus y Russell es que, tanto la lógica como la aritmética, dejan de ser para el primero dos sistemas de los enunciados más generales sobre el mundo en que vivimos. En el Tractatus, lógica y matemática constituyen reglas de sintaxis del lenguaje.

 

En el Tractatus, lógica y matemática constituyen reglas de sintaxis del lenguaje.

Así, una tautología como el principio de doble negación es, en verdad, una regla de transformación de símbolos en otros símbolos expresada como una proposición.

 

Así, una tautología como el principio de doble negación es, en verdad, una regla de transformación de símbolos en otros símbolos expresada como una proposición. De esta forma, lo que estaría diciendo es que, de un símbolo proposicional negado dos veces, se puede inferir el símbolo proposicional sin las dos negaciones. Tal regla estaría explorando las propiedades semánticas del símbolo de negación (la propiedad de invertir el sentido o las condiciones de verdad del símbolo proposicional al cual se aplica).

La concepción tractariana sobre las conectivas lógicas es que su significado no reside en su referirse a algo sino que denotan operaciones de verdad sobre símbolos proposicionales. Por ejemplo, la conjunción opera sobre dos símbolos proposicionales, “p” y “q”, produciendo un símbolo proposicional cuyas condiciones de verdad dependen de las condiciones de verdad de “p” y “q” de la siguiente manera: “p y q” es verdadera cuando “p” es verdadera y “q” es verdadera, y es falsa en todos los demás casos.

Este tipo de dependencia entre los valores de verdad de “p” y “q” y el valor de verdad de símbolos proposicionales complejos vale para todas las otras conectivas lógicas proposicionales. Estas conectivas denotan reglas para la formación de símbolos proposicionales más complejos a partir de símbolos proposicionales menos complejos.

 

Estas conectivas denotan reglas para la formación de símbolos proposicionales más complejos a partir de símbolos proposicionales menos complejos

 

Análogamente, una ecuación numérica como 2 + 2 = 4 correspondería a una regla para la sustitución del símbolo “2 + 2” por el símbolo “4” en cualquier otro símbolo proposicional en que el primero apareciera. En este sentido, las ecuaciones también serían reglas de inferencia. Los símbolos para números (el “2”, el “4”, el “2 + 2”, entre otros), que Frege había tomado como nombres propios (símbolos que se refieren a los números), son considerados en el Tractatus como contadores de las reiteraciones de las aplicaciones de una operación.

Como dice Wittgenstein, las operaciones son transformaciones de símbolos proposicionales en otros símbolos proposicionales. La negación y todas las otras conectivas proposicionales son quizá los ejemplos más comunes de operaciones. Es esencial a las operaciones tractarianas que ellas se pueden aplicar al resultado de la aplicación anterior de la primera operación o de otras operaciones aplicadas a un grupo de símbolos proposicionales.

Supongamos entonces que a un símbolo proposicional “p” al cual le habíamos aplicado la negación, le aplicamos la negación una vez más. Podemos expresar esto de la siguiente manera: ¬(¬p). Esto es equivalente en la notación del Tractatus a ¬ ² p. De ahí la tesis de que los números son exponentes de operaciones.

 

Todos los operadores sobre los números naturales, tales como el sucesor, la suma, la multiplicación, la exponenciación, entre otros, tendrían que ser interpretados como operadores sobre los exponentes de operaciones sobre proposiciones

 

Todos los operadores sobre los números naturales, tales como el sucesor, la suma, la multiplicación, la exponenciación, entre otros, tendrían que ser interpretados como operadores sobre los exponentes de operaciones sobre proposiciones. Y de hecho toda la aritmética de las ecuaciones e inecuaciones numéricas, con todas las propiedades de la suma, la multiplicación, la exponenciación, se aplica a los exponentes de las operaciones tractarianas.

 

 

El problema de la concepción tractariana de la matemática es que parece demasiado estrecha. Aunque el problema filosófico acerca de la naturaleza de la matemática fuera simplemente dar cuenta de la aritmética, se podría decir que el Tractatus no lo ha logrado. Lo que llamamos aritmética de primer orden con identidad está lleno de proposiciones cuantificadas como, por ejemplo, las proposiciones “hay infinitos números primos” (la proposición de Euclides) o “no hay ternas (x, y, z) de números naturales que satisfagan a la ecuación x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ para n mayor que 2” (el último teorema de Fermat).

Wittgenstein tenía una razón para excluir de la aritmética tractariana proposiciones cuya cuantificación fuera de tipo ilimitado; él creía que la generalidad propia de las proposiciones aritméticas es la que se relaciona con la noción de la reiteración indefinida de una operación, es decir, la generalidad que se asocia a la recursividad.

Pero de todas maneras, uno querría incluir también estas proposiciones generales, como las arriba mencionadas, cuya generalidad no se reduce a aquella de la aritmética recursiva (la aritmética de las ecuaciones numéricas, sus funciones de verdad proposicionales y las proposiciones con cuantificadores limitados, es decir, cuantificaciones que son equivalentes a una conjunción o disyunción finita de proposiciones). Además, si uno no es un reduccionista en matemática, puede querer dar cuenta de la naturaleza de las proposiciones matemáticas que no pertenecen a la aritmética.

Wittgenstein llega a una concepción menos estrecha sobre la matemática en su etapa intermedia, a saber, en sus escritos que van desde 1929, cuando regresa a Cambridge, hasta más o menos 1934, cuando empieza a preparar el material para las Investigaciones Filosóficas. En esta etapa conserva la idea tractariana de que las proposiciones matemáticas son reglas de la sintaxis del lenguaje. Lo que sí cambia es la tesis de que hay un único sistema de reglas gramaticales que muestran la forma común del lenguaje y del mundo.

 

En esta etapa Wittgenstein conserva la idea tractariana de que las proposiciones matemáticas son reglas de la sintaxis del lenguaje. 

Lo que sí cambia es la tesis de que hay un único sistema de reglas gramaticales que muestran la forma común del lenguaje y del mundo.

 

De acuerdo con el Wittgenstein de esta etapa, hay varios sistemas autónomos de reglas gramaticales: la lógica, la aritmética, la geometría euclideana, la gramática de los colores, entre otros. Esto implica un claro rechazo al reduccionismo matemático del Tractatus y a su respectiva tesis de que lo estrictamente matemático se limita al conjunto de las ecuaciones numéricas.

Otro cambio interesante del Wittgenstein de esta etapa, y que también tiene que ver con una concepción más “liberal”, se refiere al contenido de las proposiciones matemáticas. Para el autor del Tractatus, la noción de prueba en lógica o en matemática no tiene importancia, ya que todas las proposiciones lógicas y matemáticas están en el mismo nivel; no hay unas proposiciones más básicas (los axiomas) que otras que se deriven de ellas por medio de reglas de inferencia.

 

 

En los casos de las tautologías y ecuaciones complicadas, Wittgenstein creía, en el Tractatus, que para todos los casos había procedimientos mecánicos para reconocerlas.

Con la tesis de los sistemas autónomos de reglas gramaticales, la noción de prueba pasa a desempeñar un papel central para Wittgenstein como aquello que da el contenido de una proposición matemática: su significado se identifica con una prueba de ella o, por lo menos, con la existencia de un método para encontrar alguna prueba.

 

Con la tesis de los sistemas autónomos de reglas gramaticales, la noción de prueba pasa a desempeñar un papel central para Wittgenstein como aquello que da el contenido de una proposición matemática: su significado se identifica con una prueba de ella o, por lo menos, con la existencia de un método para encontrar alguna prueba

 

Esta tesis aproxima el verificacionismo de la etapa intermedia de Wittgenstein a la tesis según la cual el contenido de cualquier proposición está dado por su método de verificación; en el caso de la matemática, la verificación se traduce en términos de una prueba de la proposición en cuestión.

 

La concepción de la etapa intermedia sobre el contenido de las proposiciones matemáticas permite incluir dentro de la aritmética más proposiciones que las ecuaciones numéricas

 

La concepción de la etapa intermedia sobre el contenido de las proposiciones matemáticas permite incluir dentro de la aritmética más proposiciones que las ecuaciones numéricas; se incluyen ahí todas las proposiciones para las cuales hay un método mecánico para decidir sobre su corrección o incorrección, además de las proposiciones indecidibles (Una proposición indecidible es aquella para la cual no hay un algoritmo que nos permita determinar su valor de verdad en un número finito de pasos. Por ejemplo, todas las proposiciones aritméticas que contienen cuantificadores ilimitados son indecidibles en este sentido) para las cuales hay una prueba; por ejemplo, el último teorema de Fermat.

Sin embargo, tal concepción es todavía insatisfactoria en la medida en que excluye de la matemática todas aquellas proposiciones indecidibles para las cuales no tenemos una prueba, como las conjeturas matemáticas. Un ejemplo de éstas es la conjetura de Goldbach, que afirma que todo número natural par es la suma de dos números primos.

 

Una concepción más satisfactoria de la matemática fue alcanzada por Wittgenstein únicamente hasta su etapa de madurez, es decir, a partir de 1934

 

Una concepción más satisfactoria de la matemática fue alcanzada por Wittgenstein únicamente hasta su etapa de madurez, es decir, a partir de 1934. La tesis tractariana de que las proposiciones matemáticas son reglas de sintaxis del lenguaje se conserva aún en esta etapa, cuando cobra más importancia la idea de que la matemática es una actividad gobernada por reglas que se expresan por medio de proposiciones.

 

 

Esto significa que las reglas matemáticas ya no son vistas meramente como instrucciones para la manipulación de símbolos, como ocurría en el Tractatus sino más bien como la forma de establecer una conexión entre ciertos símbolos y determinadas acciones.

 

Las reglas matemáticas ya no son vistas meramente como instrucciones para la manipulación de símbolos, como ocurría en el Tractatus sino más bien como la forma de establecer una conexión entre ciertos símbolos y determinadas acciones

 

Las reglas matemáticas corresponden a ciertas prácticas -por ejemplo, la práctica de calcular- que tienen un papel fundamental en el conjunto de nuestras actividades. Lo que constituye a una proposición como matemática en la etapa de madurez de Wittgenstein deja de ser en primer término su prueba o la posibilidad de encontrar alguna; así, una proposición es matemática, por una parte, en tanto su aplicación o su uso corresponde a ciertas prácticas, como la antes mencionada, y por otra, en la medida en que funciona como una regla para la evaluación de estas prácticas.

 

Lo que constituye a una proposición como matemática en la etapa de madurez de Wittgenstein deja de ser en primer término su prueba o la posibilidad de encontrar alguna

 

Por ejemplo, la ecuación numérica 25 x 25 = 625 nos podría servir para juzgar si al empacar objetos en cajas de exactamente 25 objetos cada una, no nos falta ni nos sobra ningún objeto. Similarmente, la proposición “la suma de los cuadrados de las dimensiones de los catetos de un triángulo plano rectángulo es igual al cuadrado de la dimensión de su hipotenusa” podría ser utilizada para decidir si un determinado triángulo es plano o no. Es esencial a la proposición matemática el ejemplificar una norma que gobierna determinadas actividades que, por falta de un término más general, denominamos como “técnicas de calcular”.

 

Es esencial a la proposición matemática el ejemplificar una norma que gobierna determinadas actividades que, por falta de un término más general, denominamos como “técnicas de calcular”

 

Esta nueva concepción del contenido de las proposiciones matemáticas implica una disminución en la importancia de la noción de prueba. Hay que recordar que en el periodo intermedio de Wittgenstein la prueba consistía en la cadena que liga la proposición matemática con su respectivo sistema.

 

La conexión entre proposición y cálculo se da en la concepción de la etapa de madurez no solamente a través de su respectiva prueba sino también por medio de los términos constituyentes de la proposición que, de acuerdo con lo que hemos visto, también expresan reglas matemáticas

 

La conexión entre proposición y cálculo se da en la concepción de la etapa de madurez no solamente a través de su respectiva prueba sino también por medio de los términos constituyentes de la proposición que, de acuerdo con lo que hemos visto, también expresan reglas matemáticas. Esto es importante porque permite incluir también conjeturas dentro del dominio matemático.

Así, la conjetura de Goldbach es una proposición matemática, ya que todos sus conceptos constituyentes corresponden a reglas lógicas o matemáticas (los conceptos de “número par” o “número primo”, por ejemplo) a pesar de que no hay una prueba de ella.

Estas son algunas de las ideas de Wittgenstein sobre la naturaleza de la matemática. Se tuvo que dejar de lado varios aspectos importantes de su concepción como, por ejemplo, las cuestiones de la objetividad matemática, su carácter a priori y la relación entre la matemática y su aplicación. Sin embargo, es importante subrayar la tesis, que Wittgenstein defendió durante toda su vida, de que la matemática no habla de objetos sino que nos ofrece parte de las reglas que nos permiten hablar con sentido de la realidad.

 

Es importante subrayar la tesis, que Wittgenstein defendió durante toda su vida, de que la matemática no habla de objetos sino que nos ofrece parte de las reglas que nos permiten hablar con sentido de la realidad

 

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Tautología

MATEMATICAS DISCRETAS – TAUTOLOGIAS

 

 

 

 

 

Tautología:

En todos los casos la forma del argumento ofrece un resultado verdadero, por lo que el argumento es válido.

 

 

En lógica, lo tautológico se convierte en la esencia del discurso deductivo, o mejor dicho de la inferencia deductiva

 

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