KANT Y FREGE
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Gottlob Frege: El contexto filosófico
Por Francisco Manuel Saurí-Mercader
La muerte de Hegel en 1831 no solo es el final de la vida de este filósofo sino del fin del poder del Idealismo alemán en la cultura alemana (Sluga, 1980). Con ello terminaba la hegemonía de una tradición que había comenzado con Leibniz.
La tradición filosófica alemana que generó una figura como la de Leibniz estuvo marcada por un aristotelismo conservador y el propio Leibniz no vio los defectos de la lógica de Aristóteles. Los intereses del Idealismo alemán desviaron la atención a otros menesteres más especulativos y la lógica se mantuvo, desde los estándares actuales, en la indigencia técnica.
Los cambios económicos, sociales y culturales barrieron la estructura cultural imperante a principios del siglo XIX y la caída en desgracia del Idealismo alemán arrastró con él a la filosofía en general. Sólo en el último tercio del siglo XIX volvió a recuperarse y lo hizo como investigación de la estructura lógica de la ciencia, la matemática y el lenguaje mediante el Neokantismo. Mientras tanto imperó un naturalismo cientificista poco sólido. En filosofía de las matemáticas, los partidarios de este último pudieron ver un aliado en el empirismo de John Stuart Mill.
El Neokantismo dominó la filosofía alemana hasta el fin del primer tercio del siglo XX. Su centro de origen fue la Universidad de Jena, donde Frege había desarrollado su carrera académica anteriormente. El Neokantismo dio origen al Empirismo Lógico, así como a la Fenomenología de Husserl y Heidegger. Ortega y Gasset se formó en el Neokantismo.
A la par que las matemáticas se desarrollaban vertiginosamente a lo largo del siglo XIX, la filosofía de las matemáticas tenía como referencia a Kant de tal manera que cualquier planteamiento debió realizarse en sus términos a lo largo del siglo XIX.
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«Los fundamentos de la aritmética», de Gottlob Frege
Por Francisco Manuel Saurí-Mercader
KANT Y FREGE
El vocabulario kantiano era el punto de referencia para hablar de filosofía de las matemáticas en el siglo XIX. Frege entra dentro de esta corriente principal y comparte los intereses meta-teóricos de otros matemáticos. En Los fundamentos la figura de Kant aparece por primera vez en la sección 3, de las cuatro que preceden al capítulo I, y que están fuera de la «Introducción«.
Ahí Frege se hace eco de las distinciones entre juicios a priori y a posteriori y juicios analíticos y sintéticos. Frege afirma:
«Su objetivo [el de la pregunta por cuál es la razón última en que está basada la justificación de tener un enunciado por verdadero], pues, es encontrar la prueba y retrotraerla hasta las verdades originarias. Si por este camino se llega a leyes lógicas generales y a definiciones, entonces se tiene una verdad analítica, para lo cual se presupone que también se toman en consideración los enunciados en los que se basa la admisibilidad de una definición.
Si, por el contrario, no es posible llevar a término la demostración sin utilizar verdades que no son de naturaleza lógica general, sino que están relacionadas con un campo particular del saber, entonces el enunciado será sintético.
Para que una verdad sea a posteriori se exige que su prueba no pueda ser validada sin alguna apelación a los hechos; es decir, a verdades indemostrables y sin universalidad, que contienen aseveraciones sobre objetos particulares.
Si, por el contrario, es posible llevar a cabo la prueba partiendo de leyes generales únicamente, que no pueden ni precisan ser demostradas, entonces la verdad es a priori.»
En la primera nota de la sección 3, Frege pretende que sus definiciones se ajustan a Kant, pero en realidad se distancia de éste, y Frege es consciente de este distanciamiento, pese a utilizar su terminología. Como Frege dice en la sección 87, segunda de la «Conclusión«:
«Parece que Kant cree que el concepto viene definido por las características que se le asocian; pero éste es uno de los modos menos fructíferos de formar conceptos. Si se echa una ojeada a las definiciones dadas más arriba [a lo largo de Los fundamentos], apenas se hallará ninguna de este tipo.»
El diagnóstico de Frege es certero pero exige explicación.
Veamos cuál era el pensamiento de Kant en los aspectos relevantes aquí. Kant identifica lo racional de las ciencias con los conocimientos a priori que éstas incluyen. La lógica es meramente formal y, consiguientemente, es completamente a priori. Pero Kant señala que hay conocimientos sobre el mundo de la experiencia, sobre el mundo empírico, que son a priori y no tienen nada de empírico (no solo son a priori sino puros a priori).
Kant señala que hay conocimientos sobre el mundo de la experiencia, sobre el mundo empírico, que son a priori y no tienen nada de empírico (no solo son a priori sino puros a priori)
Por tanto, para Kant tenemos conocimientos sobre la experiencia que no se obtienen de la experiencia: son los juicios sintéticos a priori. Es el caso de la totalidad de la matemática; en la física esto sólo ocurre en parte.
Para entender estas tesis, debemos entender cómo Kant articula las relaciones entre tres pares de tipos de juicios: los juicios singulares y universales, necesarios y contingentes, analíticos y sintéticos y, finalmente, a priori y a posteriori.
Cuando se hable de «juicios» se toma en el sentido objetivo de la palabra equivalente a «proposición» (para los ejemplos y los tópicos de filosofía de la ciencia, Díez, 1999).
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Juicios singulares y juicios universales
Establecer regularidades siempre se ha considerado un conocimiento deseable del mundo porque nos permiten saber a qué atenernos, prever cómo se comportan las cosas. Ejemplos de regularidades son:
1. A la noche le sigue el día; 2. Los objetos sólidos no atraviesan paredes si no las rompen; 3. Juan fuma; 4. Los pájaros son aves que vuelan; 5. Tu perro muerde; 6. La velocidad media de un cuerpo es el espacio recorrido dividido por el tiempo transcurrido; 7. Mi gato es cariñoso; 8. La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos (teorema de Pitágoras); 9. Pedro y Sandra se aman; 10. El pez grande se come al chico; 11. Esta mesa de la derecha es mayor que esta otra de enfrente; 12. Este muro es alto; 13. El yeso sin aditivos es blanco.
Las regularidades anteriores nos permiten saber que no debo intentar salir de la habitación si no es por la puerta, que más vale no acercarse al perro de Fulano, mientras que acercarse a mi gato no ofrece peligro, que si cogí el coche a las tres y llegué a las seis e hice 300 Km., la velocidad media de mi coche fue de 100 Km/h, etc.
Las regularidades de nuestra lista, podemos dividirlas en dos clases. Por un lado, tenemos aquellas regularidades que se refieren a cosas concretas (3, 5, 7, 9, 11, 12). Esas cosas concretas, individuos, objetos o particulares: a una o varias personas (Pedro y Sandra, Juan), a animales (mi gato, tu perro) o a cosas (la mesa de la derecha y la mesa de enfrente, este muro, etc.); por el otro, están las regularidades que se refieren a tipos de cosas (1, 2, 4, 6, 8, 10, 13).
En el caso de estas últimas, cuando decimos “Los pájaros vuelan”, no hablamos de ese o aquel pájaro sino de todos los pájaros, de todo aquello que es un pájaro; y lo mismo pasa con los días y las noches, y los objetos sólidos y las paredes. Al hablar del yeso puro, estamos hablando de todos los trozos de yeso puro. En el caso 10, no estamos hablando de un pez grande y otro chico, sino de los peces grandes y pequeños en general. Podemos denominar a estas regularidades «regularidades generales«.
Las regularidades generales se formulan en juicios universales y las regularidades sobre cosas concretas se formulan en juicios singulares
Las regularidades generales se formulan en juicios universales y las regularidades sobre cosas concretas se formulan en juicios singulares. Por supuesto, que si tenemos que resolver un problema nos interesan las cosas concretas y no solo las regularidades generales.
Por ejemplo, podemos querer resolver el problema de la medida que debe tener un tablón de madera de modo que apoyándolo sobre un muro nos permita subir a él empujando una carretilla. Pero el que la resolución sea rápida y sencilla dependerá de que quien debe resolverlo sepa un poco de geometría y sepa cuál es la inclinación óptima para poder empujar una carretilla cuesta arriba.
Y saber geometría implica conocer ciertas verdades generales sobre rectas, círculos, triángulos, etc. que aplicaremos en el caso concreto que nos interesa.
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Juicios necesarios y juicios contingentes
Además la ciencia y la filosofía se fijan en un tipo concreto de regularidades: las regularidades necesarias. Durante milenios, las explicaciones del mundo estuvieron ligadas a los mitos con dioses, espíritus y otras entidades más o menos personales que actúan caprichosamente.
Descartada la intervención de aquéllos, la Naturaleza aparece como estructurada en regularidades necesarias, las cuales se formulan mediante juicios necesariamente verdaderos (juicios necesarios para abreviar).
Son ejemplos de regularidades necesarias de la Naturaleza:
19.Todos los metales se dilatan al calentarlos; 20. Todos los cuerpos cargados eléctricamente con cargas del mismo signo se repelen con una fuerza proporcional al producto de sus cargas; 21. Nadie puede levantarse tirándose de los cordones de los zapatos; 22. Todas las esferas de uranio tienen menos de 1m de radio.
Estas regularidades necesarias de la Naturaleza se denominan regularidades nómicas o, también, leyes de la Naturaleza. Igualmente se dice que las leyes de la Naturaleza son nómicamente necesarias.
Estas regularidades necesarias de la Naturaleza se denominan regularidades nómicas o, también, leyes de la Naturaleza. Igualmente se dice que las leyes de la Naturaleza son nómicamente necesarias
Aquí «necesario» significa que no puede ser cambiado, que siempre es así y no puede ser de otra manera, que no hay alternativas, no hay otras posibilidades.
Observemos nuestro ejemplo (22): «Todas las esferas de uranio tienen menos de 1m de radio«. No puede ser de otra manera, nunca podrá haber una esfera de uranio de más de un metro de radio, es algo permanente. Porque cuando se acumula cierta cantidad de uranio se produce una reacción nuclear.
Por eso, desde un punto de vista lógico, «es necesario que p» (p es una proposición) se define como «no es posible que no p«, es decir, p no puede no ser verdadera.
Por tanto, un juicio es nómicamente necesario cuando y sólo cuando su negación implica una contradicción, evidentemente suponiendo que las leyes naturales que creemos conocer lo son.
Un juicio es nómicamente necesario cuando y sólo cuando su negación implica una contradicción.
A diferencia de lo necesario, que no tiene alternativas, lo contingente es aquello que puede o no ocurrir. Son los casos de regularidades accidentales o accidentes.
Por otra parte, necesario se opone a contingente. A diferencia de lo necesario, que no tiene alternativas, lo contingente es aquello que puede o no ocurrir. Son los casos de regularidades accidentales o accidentes.
Por ejemplo, son regularidades accidentales:
23.Todas las esferas de oro tienen menos de 1m de radio; 24. Todos los bípedos implumes son humanos; 25. Todos los cuervos son negros; 26. Siempre que voy a ver al Levante UD, éste pierde.
Esta distinción que hacemos entre leyes científicas y accidentes es muy evidente en el caso de las esferas de oro y uranio, ejemplos (22) y (23).
El que no exista una esfera de oro de 1m es algo accidental: si tuviésemos el tiempo, dinero y paciencia para reunir todo ese oro, bien pudiera ocurrir que construyésemos tal esfera. Sin embargo, eso no podría ocurrir con la esfera de uranio porque las leyes naturales lo impiden: como ya sabemos, cuando se reúne cierta cantidad de uranio, éste comienza una reacción nuclear.
Por tanto, hay en las regularidades nómicas algo que no hay en las regularidades accidentales. Eso es lo que intenta recoger el concepto de necesidad.
Así, en el ejemplo (26) nadie dirá en serio que el Levante UD perderá siempre que vaya a verlo. Por eso «es contingente que p» (p representa una proposición) se define como «ni es necesario que no p ni es necesario que p«, esto es, puede ocurrir tanto que p como que no p.
Los conceptos como necesario o contingente se denominan conceptos modales, pues se refieren al modo en que los juicios son verdaderos o falsos.
Los conceptos como necesario o contingente se denominan conceptos modales, pues se refieren al modo en que los juicios son verdaderos o falsos
Así, cuando un juicio es necesariamente verdadero, su verdad tiene una «fuerza» especial de la que carece el juicio contingente. El problema con la distinción entre juicios necesarios y juicios contingentes, en el contexto en el que se han introducido, es cómo saber que un juicio es necesario.
En los ejemplos anteriores hemos dado por sabido que tales o cuales juicios eran necesarios porque así lo podemos inferir de lo que nos han dicho los científicos al establecer que son leyes de la Naturaleza. Aunque qué es una ley de la Naturaleza no es un problema pequeño en filosofía; pero no es ahora nuestro objetivo.
Los conceptos modales, necesidad y contingencia, los hemos introducido atendiendo a la necesidad que muchos filósofos suponen que existe en el mundo físico. Pero también existen otras nociones de la necesidad.
En lo que aquí nos interesa conviene tratar la necesidad conceptual, lo que vamos a hacer a continuación.
Los conceptos modales, necesidad y contingencia, los hemos introducido atendiendo a la necesidad que muchos filósofos suponen que existe en el mundo físico
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Juicios analíticos y juicios sintéticos
Consideremos ahora algunos ejemplos de nuestras regularidades entre tipos de cosas, formuladas en juicios universales, junto a algunas formulaciones alternativas que seguramente consideraremos que tienen un significado equivalente:
2.Un objeto sólido no atraviesa una pared si no la rompe; 2bis. Los objetos sólidos no atraviesan paredes si no las rompen 4. Un pájaro es un ave que vuela; 4bis. Los pájaros son aves que vuelan 10. El pez grande se come al chico; 10bis. Los peces grandes se comen a los peces chicos 13. El yeso sin aditivos es blanco; 13bis. Los trozos de yeso sin aditivos son blancos 14. Un ave es un animal; 14bis. Las aves son animales; 15. Un soltero no está casado; 15bis. Los solteros no están casados; 16. Ser hermano de alguien es tener el mismo padre y la misma madre; 16bis. Los hermanos tienen el mismo padre y la misma madre 17. Lo verde está coloreado; 17bis. Las superficies verdes son coloreadas.
Tanto las formulaciones de los ejemplos 2-17, como las formulaciones alternativas 2bis, 4bis, etc, podemos interpretarlas fácilmente como que dicen, más o menos, lo mismo. Sin embargo, otras interpretaciones pueden introducir dos matices distintos.
Consideremos los ejemplos 4 y 4bis. Cuando digo que los pájaros son aves que vuelan o que un pájaro es un ave que vuela, puedo querer destacar que los individuos que se clasifican como pájaros hay que incluirlos en el conjunto de aquellos animales que se denominan aves pero que tienen la peculiaridad de volar, frente a otras aves que no vuelan, como por ejemplo, los pingüinos o las avestruces. Sin embargo, también puedo querer destacar cuáles son los rasgos que hacen que algo sea un pájaro o que podamos aplicarle el nombre común «pájaro«.
Pensemos que (4) es la respuesta correcta a la pregunta ¿Qué es un pájaro? para alguien que habla en castellano. Igualmente, a la pregunta ¿Qué es ser soltero? parte de la respuesta correcta es no estar casado. Habitualmente, cuando hacemos preguntas del tipo ¿Qué es un X? en el caso de que X es un caso de término general, preguntamos por la descripción o caracterización de las cosas a las que puede aplicarse el término general X. Pero también podemos decir que preguntamos por la definición o significado del término general X.
Como es habitual referirse al significado de un término general como un concepto, que es lo que Frege hace, entonces la respuesta a ¿Qué es un X? nos proporciona el concepto de algo: el concepto de pared, de fumar, de solidez, de amar, de gato, de velocidad, de mesa, de morder, de noche, de cuadrado, etc.
No son conceptos Pedro, Sandra y Juan; y tampoco lo son mi gato, ni este muro, ni tu perro o esta mesa; son personas, animales o cosas concretos, es decir, individuos o cosas particulares. El conjunto de las cosas a las que puede aplicarse un concepto se denomina «extensión» del concepto correspondiente.
El conjunto de las cosas a las que puede aplicarse un concepto se denomina «extensión» del concepto correspondiente.
Mientras que la caracterización del significado del término general o la definición del concepto se denomina la «intensión» o «comprensión» del concepto.
Mientras que la caracterización del significado del término general o la definición del concepto se denomina la «intensión» o «comprensión» del concepto; mediante ella formulamos el contenido del concepto analizándolo en otros conceptos (que se pueden denominar «rasgos», «notas», «características» o «marcas»).
Así por ejemplo, en el caso de la intensión, si queremos explicar qué es ser soltero diremos que es alguien que no está casado; o si nuestro primito, que es de corta edad e hijo único, nos pregunta qué quiere decir que Fulanito es hermano de Sotanito, le diremos que Fulanito y Sotanito tienen los mismos papá y mamá. Igualmente en el caso de los pájaros como aves que vuelan.
Volvamos a Kant. Tal como él lo formula, un juicio es analítico cuando el predicado está incluido en el sujeto. En un juicio analítico, el predicado despliega alguna de las características del sujeto.
Para Kant, en un juicio analítico, el predicado despliega alguna de las características del sujeto
Por ejemplo, si digo que los pájaros son aves que vuelan, entonces estoy diciendo algo que es un rasgo del concepto pájaro: ser ave. Porque hay otros animales que vuelan pero no son aves. Por ejemplo, los murciélagos. Si, por el contrario, yo dijese que un murciélago es un ave estaría haciendo un juicio falso porque los murciélagos son mamíferos. De la misma manera, una ballena no es un pez, sino un mamífero marino, un cetáceo.
Como Kant señala, en un juicio analítico averiguo su verdad o falsedad aplicando el principio de no contradicción. Pongamos el caso del murciélago; se extraen todas las características del concepto ave y las comparamos con el concepto correspondiente a la especie zoológica del murciélago y vemos que hay contradicciones. Algunas de las características anatómicas, fisiológicas y genéticas de un murciélago contradicen las de un ave.
De este modo, los juicios analíticos verdaderos son conceptualmente necesarios, su negación es contradictoria. Veamos el ejemplo de Kant. «Todos los cuerpos son extensos» es un juicio analítico porque el concepto de cuerpo en física tiene los rasgos de extensión, impenetrabilidad, figura, etc.
Pero el juicio «Todos los cuerpos son pesados» no es un juicio analítico. No entra dentro del concepto de cuerpo el que sea pesado. Los físicos nos pueden decir que un cuerpo no pesa si no es bajo la acción de un campo gravitatorio; si está fuera del alcance de cualquier otro cuerpo no pesará, aunque tenga masa (recordemos la distinción entre masa y peso de la física).
El ejemplo anterior puede resultar poco clarificador sin el trasfondo de la definición kantiana de juicio analítico. La definición de juicio analítico de Kant está calcada de la concepción del juicio en general de la filosofía de Wolff que tiene su origen en Leibniz
El ejemplo anterior puede resultar poco clarificador sin el trasfondo de la definición kantiana de juicio analítico. La definición de juicio analítico de Kant está calcada de la concepción del juicio en general de la filosofía de Wolff que tiene su origen en Leibniz (Anderson, RL 2015).
Para esta tradición, lo que Kant llama juicio analítico es la que caracteriza todo juicio verdadero, si no fuera por la limitación de nuestro intelecto; Dios puede ver todos juicios como analíticos tal como los ha definido Kant. Para estos autores, los juicios analíticos verdaderos describen correctamente la articulación de los conceptos y las consecuencias que podemos extraer lógicamente (mediante la silogística).
Para estos autores, los juicios analíticos verdaderos describen correctamente la articulación de los conceptos y las consecuencias que podemos extraer lógicamente (mediante la silogística)
Partimos de la verdadera articulación de los conceptos y sacamos consecuencias. Si lo hacemos bien, las proposiciones resultantes serán verdaderas. Si no, darán como resultado juicios contradictorios. Evidentemente, para esta tradición filosófica, la articulación de los conceptos y sus características es algo que existe objetivamente y el proceso por el que se descubre la verdadera articulación de los conceptos es un proceso que requiere esfuerzo científico.
Además esos conceptos están organizados sistemáticamente en términos de la concepción de la definición y de la lógica aristotélica. Respecto a la definición, hay que usar los términos «género próximo» y «especie«. Son términos relativos que designan la relación de subordinación lógica del segundo concepto, la especie, al primero, el género.
Respecto a la definición, hay que usar los términos «género próximo» y «especie«.
Son términos relativos que designan la relación de subordinación lógica del segundo concepto, la especie, al primero, el género
La definición se genera citando la diferencia específica (un concepto A) y su género próximo, esto es, el concepto P que abarca la diferencia específica en cuestión (el concepto A) y otras (conceptos B, C, D, etc.) que caen bajo P y que dan lugar a otras especies de P.
Cada especie de P tiene el contenido de P más el concepto A , B o C, etc, según la especie correspondiente. De este modo, cada género próximo contiene sus especies además de su extensión y los concepto A, B, C, etc están subordinados al concepto P.
Las especies (los conceptos lógicamente subordinados) que forman cada género lo agotan y todas las especies de un género son disjuntas.
El resultado es un sistema conceptual articulado dicotómicamente que tiene una estructura jerárquica que culmina hacia arriba en los géneros supremos (categorías aristotélicas) y hacia abajo en las múltiples especies en las que se agruparían los individuos del mundo.
Con la precisión de que para Leibniz, a los ojos de Dios, los individuos (los objetos fregeanos) no son diferentes lógicamente de los conceptos. Somos nosotros, intelectualmente imperfectas criaturas, quienes hacemos la distinción.
Para Leibniz, a los ojos de Dios, los individuos (los objetos fregeanos) no son diferentes lógicamente de los conceptos. Somos nosotros, intelectualmente imperfectas criaturas, quienes hacemos la distinción
Respecto a la lógica, desde este punto de vista, se interpreta la silogística aristotélica como una manera de conectar dos conceptos y mediante esto se relacionan varios juicios.
La inferencia silogística compara conceptos que carecen de una obvia o inmediata relación entre sus contenidos al encontrar una relación indirecta mediante el uso del término medio, que es un concepto que se relaciona con los conceptos de partida.
La inferencia silogística compara conceptos que carecen de una obvia o inmediata relación entre sus contenidos al encontrar una relación indirecta mediante el uso del término medio, que es un concepto que se relaciona con los conceptos de partida
El papel fundamental de la lógica aristotélica conlleva que, dado lo dicho sobre ella, este enfoque carece de los recursos para establecer relaciones entre los conceptos más allá de la de subordinación de un concepto a otro o tener un género común con otro, así como la incapacidad de expresar la cuantificación múltiple, las inferencias ligadas a los operadores lógicos y la instanciación existencial.
Evidentemente, Kant no podía formularlo de esta manera, pero no deja de ser relevante también para lo que se dirá a continuación.
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Analiticidad y matemáticas en tiempos de Kant
Kant introduce la distinción entre juicios analíticos y juicios sintéticos porque, en primer lugar, se encuentra que no todo el conocimiento puede formularse en juicios analíticos, esto es, no todo conocimiento puede formularse en juicios que respondan a las características con las que los describen los filósofos de la tradición de Leibniz y Wolff.
Además, en segundo lugar, Kant ofrece otro tipo de juicios que tienen unas características diferentes de los analíticos y que permiten explicar los que se resisten a ser analíticos y que Kant denomina juicios sintéticos.
Wolff intentó demostrar que las matemáticas eran formulables en los juicios que Kant llamó analíticos.
Kant piensa que Wolff no lo consigue.
Por tanto, si un conocimiento como el matemático en el que todos piensan como modelo de conocimiento no es posible formularlo en juicios analíticos, la filosofía de Wolff queda en entredicho.
Las matemáticas juegan aquí un papel importante (Anderson, RL 2015), porque el propio Wolff intentó demostrar que las matemáticas eran formulables en los juicios que Kant llamó analíticos.
Kant piensa que Wolff no lo consigue. Por tanto, si un conocimiento como el matemático en el que todos piensan como modelo de conocimiento no es posible formularlo en juicios analíticos, la filosofía de Wolff queda en entredicho.
Veamos como Kant argumenta contra la posibilidad de expresar en términos de juicios analíticos la aritmética.
En primer lugar, en las igualdades de la aritmética, nos encontramos que cualquier número natural puede ser igualado a un infinito número de operaciones aritméticas:
7=4+3 ó 7=12-5 ó 7=14/2, etc.
Por tanto, cabe preguntarse cuál es el concepto que corresponde a 7 de toda esa infinitud de posibilidades o si lo serán todos esos conceptos.
Además, en segundo lugar, cuando la igualdad tiene como términos dos operaciones aritméticas diferentes (por ejemplo, 5+3=12-4) tenemos un dilema.
O las maneras de calcular el número a cada lado del signo «igual«, los dos términos, son conceptualmente diferentes o no son diferentes; si son diferentes, entonces los dos términos no pueden ser conceptualmente equivalentes, por lo que la igualdad matemática no es una verdad analítica; si no son diferentes la igualdad matemática no está logrando representar la equivalencia de diferentes procedimientos para calcular el número y, por tanto, no tienen una expresión puramente conceptual, una expresión mediante juicios analíticos.
En tercer lugar, Kant hubiera podido alegar también contra la forma de Leibniz de demostrar las igualdades aritméticas, lo cual es relevante por lo que luego veremos en Frege (sección 6 de Los fundamentos).
En los Nuevos Ensayos, Leibniz justifica mediante un caso que las igualdades numéricas son demostrables.
Podemos demostrar, por ejemplo, que no es una verdad autoevidente que 2 y 2 son 4. Para ello, supongamos que 4 significa 3 y 1. Y las siguientes definiciones: (1) 2 es 1 y 1, (2) 3 es 2 y 1, (3) 4 es 3 y 1 («es» debe interpretarse como «es igual a»).
Y el axioma: si se reemplaza una cosa por otra igual, la igualdad se mantiene.
La demostración sería así: 2+2=2+1+1=3+1=4, donde cada igual es justificado sucesivamente por las definiciones (1), (2) y (3).
Por el axioma, tenemos: 2+2=4, que es la conclusión que queríamos obtener.
Se puede suponer que Kant veía las definiciones como no analíticas porque no consiguen representar las relaciones de subordinación lógica entre dos números, pongamos, el concepto <1> y el concepto <2>.
Veamos.
Para responder a las preguntas ¿Cuántos? o ¿Cuánto? hace falta partir de la representación de lo que los objetos sobre los que se pregunta tienen en común.
Ni más ni menos esto es lo que hacemos con los conceptos: cuando una serie de cosas caen bajo el mismo concepto podemos contarlos o medirlos. Podemos preguntar cuantas naranjas o cuantos plátanos hay en el frutero, pero también cuántos frutos; o cuantas moscas posadas sobre él.
Igualmente, no es lo mismo medir longitudes de paredes o su altura o su anchura, por no hablar de caminos y carreteras, pero todos son longitudes. Sin embargo, a la hora de medir o contar, eso sólo es la primera parte.
Porque una vez se consigue separar los objetos pertinentes (unidades, longitudes, superficies, etc.) hay que excluir las diferencias específicas, conceptuales (peras y manzanas o longitud del camino y largo de pared) sin eliminar la diferencia numérica para así poder obtener una cantidad.
Y es que cuando añadimos una cantidad a otra se suman: dos peras y tres peras son cinco peras. Pero cuando añadimos una cualidad a otra, un concepto a otro, no pasa lo mismo. O bien tenemos otro concepto o tenemos el mismo concepto.
Si al concepto de animal le añadimos el concepto racional tenemos el concepto de animal racional, un tipo de animal que no es ni una vaca, ni un cangrejo. Pero sin al concepto animal racional le añado otra vez el concepto de animal, no tenemos un ser humano doblemente animal (a no ser que estemos hablando en sentido figurado).
Las cantidades y las cualidades no se componen igual.
Las cantidades se suman: 1 y 1 son 2.
A un concepto C al que se añade otro concepto, le pueden pasar dos cosas: o bien se le añade un concepto D diferente de los que componen C y, entonces, tenemos un concepto diferente a C, o bien se le añade un concepto D’ igual a alguno de los que componen C, con lo que nada ha cambiado, seguimos teniendo el concepto C.
Si estipulo que el concepto <1 y 1> equivale al concepto <2>, la relación con <1> no se manifiesta; si al concepto <1> le añado el concepto <1> obtengo de nuevo <1>.
Por tanto, las definiciones de Leibniz interpretadas analíticamente no consiguen las relaciones de subordinación lógica que se supone deberían ofrecernos.
Por otra parte, y como Wolff es el filósofo embarcado en el proyecto antedicho, conviene remarcar que mantenía que son las relaciones de contenido las que establecen la identidad y equivalencia para los conceptos; se trata, por tanto, de un enfoque intensional.
Además, para Wolff, la diferencia de contenido entre varios conceptos conlleva una extensión diferente para cada uno de dichos conceptos y viceversa.
Pero, así las cosas, surgen problemas:
Si queremos llegar a 2 con 1+1, no podemos tomar las ocurrencias de «1» y «1+1» como términos cuyo papel sea mencionar o referirse al concepto <1>. Las dos ocurrencias de «1» son idénticas, por lo que la segunda no añade ningún contenido conceptual a la primera.
Combinando las dos podemos llegar a algo distinto de <1> solo porque «1» está por un tipo distinto de representación. Si esto es así, se sigue que en «1+1=2» los términos de un lado de la igualdad no pueden tener el mismo contenido conceptual, el contenido de «1+1» lo da el uso del concepto <1>, mientras 2 cae bajo <2>.
Naturalmente, deben tener la misma extensión, pues de lo contrario la igualdad no lo sería.
Por tanto, de hecho, extensión e intensión están separadas: dos contenidos conceptuales distintos señalan la misma extensión. Y con ello Wolff estaba equivocado.
En conclusión, dado que la matemática es una ciencia de la que no cabe duda que obtiene conocimiento, ante estos argumentos en contra de que todos los juicios de la aritmética serían analíticos, Kant rechaza tal posición y ofrece su concepción alternativa: la de los juicios sintéticos para explicar el conocimiento matemático.
Dado que la matemática es una ciencia de la que no cabe duda que obtiene conocimiento, ante estos argumentos en contra de que todos los juicios de la aritmética serían analíticos, Kant rechaza tal posición y ofrece su concepción alternativa: la de los juicios sintéticos para explicar el conocimiento matemático
Para Kant, un juicio sintético exige captar particulares (individuos, objetos fregeanos) y no solo conceptos.
Para Kant, podemos ser afectados por objetos, cuyo efecto se denomina sensación y el objeto fenómeno; nuestra capacidad de ser afectados es la sensibilidad.
Para Kant, captar un particular y tener una experiencia sensible es lo mismo: tenemos experiencia sensible al captar particulares y captamos particulares solamente en la experiencia sensible.
Además, Kant denomina intuir a captar una cosa individual y al resultado de intuir lo llama intuición. Así pues, es lo mismo decir captar particulares que tener una intuición y, para Kant, eso ocurre siempre en la experiencia sensible, en las percepciones en el sentido psicológico de la palabra.
Por tanto, todas nuestras intuiciones son sensibles, pertenecen a la experiencia sensible, todas son intuiciones empíricas. Por ejemplo, ver este árbol, oír la campana de la iglesia cercana, ver este capullo de rosa, etc.
Un juicio sintético se formulará basándose en una intuición en el sentido técnico de Kant: un juicio es sintético cuando para hacerlo necesitamos acudir a la captación un particular (un particular u objeto concreto). Un juicio analítico se formulará basándose solamente en conceptos. Queda pendiente comprobar si Kant tiene razón en que los juicios sintéticos sí pueden explicar los juicios de las matemáticas. Pero previamente debemos atender a otra distinción entre juicios.
Un juicio sintético se formulará basándose en una intuición en el sentido técnico de Kant: un juicio es sintético cuando para hacerlo necesitamos acudir a la captación un particular (un particular u objeto concreto).
Un juicio analítico se formulará basándose solamente en conceptos.
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FREGE Y KANT: LOS FUNDAMENTOS DE LA ARITMÉTICA, de Gottlob Frege (y Parte 2)
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RELACIONADOS:
Los conceptos y las cosas. Evolución y alcance de la teoría vitalista del concepto (Parte 1)
TEORIA GENERAL DE SISTEMAS, por Ludwig von Bertalanffy (1968)
