LA FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (Parte 1)
LA FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (Parte 2)
Tabla de contenidos
«Nosotros sentimos que incluso si todas las posibles cuestiones científicas pudieran responderse, el problema de nuestra vida no habría sido más penetrado.
Desde luego que no queda ya ninguna pregunta, y precisamente ésta es la respuesta».
(Wittgenstein, «Tractatus logico-philosophicus», 6.52)
LA FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN
y Parte 3
En este trabajo empiezo por presentar y explicar las nociones clave de la filosofía del Wittgenstein maduro y que son las que le permiten articular su nueva concepción de las matemáticas (“juego de lenguaje”, “criterio”, “gramática” y “semejanzas de familia”, básicamente).
Acto seguido reconstruyo los puntos de vista desarrollados por Wittgenstein sobre los que son los temas primordiales en su meditación, como la peculiar naturaleza de las proposiciones matemáticas, el análisis del concepto de número, el carácter decisivo de las demostraciones, el rechazo del fundacionalismo y en general de la metamatemática, la cuestión de lo que es aplicar una regla y el tema general de las contradicciones.
Si mi exposición es fiel y acertada, emerge de la exposición un cuadro de las matemáticas original y del cual quedaron excluidos los errores de las escuelas tradicionales de filosofía de las matemáticas.
Universidad Nacional Autónoma de México
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Implicaciones
Lo que hemos presentado del cuadro que Wittgenstein pinta de las matemáticas es realmente aclaratorio, pero en todo caso es una mínima parte de su trabajo y es básicamente preliminar. De lo que hemos dicho podemos extraer muchas moralejas y conclusiones importantes en relación con toda una variedad de temas de filosofía de las matemáticas.
Aquí diré unas cuantas palabras sólo en relación con tres.
a) Rechazo de la metamatemática
Si lo que dijo Wittgenstein acerca del carácter de las ecuaciones, de su vacuidad semántica, de su rol puramente normativo, es acertado, se sigue que las matemáticas no son ni pueden ser acerca de nada.
A lo más que podemos asistir en el contexto de la ciencia de las técnicas de cálculo es a la expansión de los cálculos, a la invención de nuevos cálculos, pero lo que no podría haber sería un discurso matemático que versara sobre un cálculo dado, puesto que en matemáticas ni siquiera aparecen palabras (Tomasini, 2006) (1).
A lo más que podemos asistir en el contexto de la ciencia de las técnicas de cálculo es a la expansión de los cálculos, a la invención de nuevos cálculos, pero lo que no podría haber sería un discurso matemático que versara sobre un cálculo dado, puesto que en matemáticas ni siquiera aparecen palabras.
Por eso son tan peligrosas las reconstrucciones verbales de los resultados simbólicos, porque lo único que se puede hacer al hablar de una proposición (digamos, la conclusión de un razonamiento) es considerarla formalmente (esto es, describir su estructura, sus partes, etc.). Pero no se describen todos los pasos del procedimiento gracias al cual se llegó a ella, sino solamente lo que nos parece que “dice”, cuando lo que dice sólo puede comprenderse si se conoce su prueba.
La Proposición no describe todos los pasos del procedimiento gracias al cual se llegó a ella, sino solamente lo que nos parece que “dice”, cuando lo que dice sólo puede comprenderse si se conoce su prueba.
Ésta, sin embargo, tiene una multiplicidad lógica que difícilmente se conserva cuando las matemáticas son expuestas “en prosa”. Lo que importa de un cálculo es que sus “proposiciones” estén justificadas por la aplicación de reglas, no por las “explicaciones” externas que se puedan articular.
Lo que importa de un cálculo es que sus “proposiciones” estén justificadas por la aplicación de reglas, no por las “explicaciones” externas que se puedan articular.
Aquí quizá valdría la pena hacer una aclaración.
Wittgenstein, como vimos, no pretende erigirse en juez de resultados matemáticos. Si alguien inventa un cálculo no hay nada que objetar, a menos de que, por ejemplo, aplique mal las reglas de inferencia o que su construcción presente alguna clase de falla.
Lo que Wittgenstein cuestiona es la interpretación filosófica de esos nuevos cálculos y en particular la idea de que por medio de ellos se resuelven problemas filosóficos.
Lo que Wittgenstein cuestiona es la interpretación filosófica de esos nuevos cálculos y en particular la idea de que por medio de ellos se resuelven problemas filosóficos.
Lo que es equívoco aquí es quizá la expresión misma ‘metamatemática’, porque da la impresión de que los cálculos matemáticos mismos pueden referirse a cálculos matemáticos de orden inferior, en el mismo sentido en que podemos en español hablar del francés, y eso simplemente no es el caso.
Lo que hace quien hace metamatemática es simplemente elaborar nuevos cálculos, es decir, establecer nuevos (diferentes) sistemas de reglas, reglas para la construcción de cálculos o de sistemas formales, por ejemplo.
Pero no es que haya “referencia” a los cálculos matemáticos. Aquí quizá lo que nos confunde es el paralelismo con el lenguaje natural, en el que podemos hablar en español del español.
Pero precisamente es por ser “semánticamente cerrado” que los lógicos critican el lenguaje natural, por lo que no resulta prima facie comprensible que no acaten sus propias objeciones en el caso de las matemáticas y la metamatemática:
¿acaso no tendríamos que decir que las matemáticas son “semánticamente cerradas” si las matemáticas pudieran referirse a las matemáticas?
Pero, una vez más, el problema no está en los nuevos cálculos mismos, los cuales están perfectamente en orden, sino en su lectura.
El problema no está en los nuevos cálculos mismos, los cuales están perfectamente en orden, sino en su lectura
Por otra parte, Wittgenstein tenía en la mira ante todo la idea de que por medio de la lógica se puede componer (o descomponer) algo en las matemáticas. Esto me lleva a un punto importante.
Wittgenstein tenía en la mira ante todo la idea de que por medio de la lógica se puede componer (o descomponer) algo en las matemáticas.
El tema de la posibilidad o imposibilidad de la metamatemática (pensando ante todo en la lógica) está obviamente vinculado a otros, de los que brota, por lo que realmente la cuestión podría dirimirse sólo si consideramos esos otros “problemas”.
Un problema así es, obviamente, el de las contradicciones en los fundamentos de las matemáticas. Sobre este intrincado tema haré aquí tan sólo unos cuantos recordatorios.
b) Contradicciones
Quizá lo primero que en este caso deba hacerse sea hacer un par de aclaraciones a manera de preámbulo para la presentación de alguna línea de pensamiento de Wittgenstein en relación con las paradojas y las contradicciones.
En primer lugar, el objetivo de Wittgenstein es, por así decirlo, comprender el significado y la importancia de las contradicciones, no pretender ofrecer un tratamiento correctivo proponiendo algún formalismo nuevo con tales o cuales características; en segundo lugar, sería un error inmenso interpretar esto como una especie de defensa o promoción de las contradicciones.
Esto es algo que, haciendo una tergiversación fácil de algunas afirmaciones wittgensteinianas consideradas aisladamente, se podría querer inferir. Con esta advertencia en mente podemos pasar a reconstruir algunas de sus líneas de pensamiento.
A Wittgenstein siempre le llamó la atención lo que él veía como un “terror supersticioso” hacia las contradicciones por parte de los matemáticos y los lógicos
Es un hecho que a Wittgenstein siempre le llamó la atención lo que él veía como un “terror supersticioso” hacia las contradicciones por parte de los matemáticos y los lógicos. Desde luego que éstas representan un problema, pero lo que no está en lo más mínimo claro es en qué sentido. El tratamiento tradicional, ejemplificado a la perfección en la teoría de conjuntos, ilustra muy bien la cuestión.
La historia es bien conocida:
Russell le presenta su paradoja por carta a Frege con lo cual le hace ver que su sistema es inconsistente y que, por lo tanto, contiene una paradoja. Russell, quien de manera independiente desarrolla un programa muy semejante al de Frege, intenta dar solución al problema de la paradoja, la cual concierne sobre todo a la fundamental noción de clase
La historia es bien conocida:
Russell le presenta su paradoja por carta a Frege con lo cual le hace ver que su sistema es inconsistente y que, por lo tanto, contiene una paradoja. Russell, quien de manera independiente desarrolla un programa muy semejante al de Frege, intenta dar solución al problema de la paradoja, la cual concierne sobre todo a la fundamental noción de clase, mediante su muy alambicada Teoría de los Tipos Lógicos.
La reconstrucción russelliana de las matemáticas resuelve el problema de la paradoja pero, por razones en las que aquí no entraremos, a un costo tanto técnica como filosóficamente excesivo, por lo que de hecho termina igualmente en un fracaso.
Ahora bien, uno de sus elementos fundamentales, viz., la teoría de conjuntos, es por así decirlo reformateado por Zermelo, esto es, queda debidamente axiomatizada de manera que se bloquea el mecanismo de producción de paradojas.
La idea y el proceder subyacentes podrían quedar presentados como sigue: en el juego de lo que se conoce como ‘teoría de conjuntos’, ciertas combinaciones de signos son ilegítimas y quedan proscritas.
La idea de axiomatización posteriormente se apodera de los matemáticos quienes la convierten en el objetivo supremo de su tarea qua matemáticos.
¿Cómo se logra esto? Básicamente, mediante una serie de estipulaciones. La idea y el proceder subyacentes podrían quedar presentados como sigue: en el juego de lo que se conoce como ‘teoría de conjuntos’, ciertas combinaciones de signos son ilegítimas y quedan proscritas.
La idea de axiomatización posteriormente se apodera de los matemáticos quienes la convierten en el objetivo supremo de su tarea qua matemáticos. La axiomatización de las matemáticas, esto es, de cada teoría dentro de cada rama de las matemáticas, ofrece a no dudarlo diversas ventajas, pero la mayor parecería ser sin duda que quedamos blindados frente a las contradicciones, las cuales quedan excluidas sistemáticamente.
La axiomatización de las matemáticas, esto es, de cada teoría dentro de cada rama de las matemáticas, ofrece a no dudarlo diversas ventajas, pero la mayor parecería ser sin duda que quedamos blindados frente a las contradicciones, las cuales quedan excluidas sistemáticamente
Independientemente del inmenso impulso que recibieron las ciencias formales gracias a programas como el recién mencionado, la pregunta sigue en el aire:
¿Cuál es realmente el problema que plantean las contradicciones?
¿De dónde viene ese temor tan grande de que se demuestre que un sistema, un cálculo, es inconsistente?
¿Por qué tanto temor a la aparición de una contradicción?
La posición de Wittgenstein a este respecto es no sólo original, sino interesante per se, inclusive si fuera equivocada, lo cual no creo. Preguntémonos: en verdad ¿por qué nos preocupa tanto una contradicción?
El lenguaje natural, por ejemplo, es (en el sentido que importa a los lógicos) contradictorio, puesto que incorpora a la paradoja del mentiroso, por lo que de seguro que podríamos encontrarnos con un mentiroso que afirmara que todo lo que dice es falso y que por lo tanto todo lo que dice es verdad, lo cual implica que lo que dice es falso, luego es verdad, etc., y que así pasara días y noches, teniendo a la lógica de su lado.
Obviamente, esa situación a primera vista posible en el fondo es irreal, pero ¿qué haríamos si alguien se condujera lingüísticamente de esa manera? A mí me parece que simplemente ignoraríamos lo que el sujeto en cuestión dijera, puesto que estaríamos conscientes de que el tener un lenguaje semánticamente abierto no lo afecta ni un ápice y nos sigue siendo tan útil como siempre.
Ahora bien, dado que lo que nos interesa son los peligros que entrañan las contradicciones en los lenguajes matemáticos o formales más en general, nuestra pregunta es entonces:
¿podríamos reaccionar del mismo modo cuando en lugar de una paradoja en el lenguaje natural nos topáramos con una en un cálculo?
¿Por qué sí o por qué no?
Una contradicción no tiene en sí misma nada de excepcional. Es simplemente una fórmula de la forma ‘(p & ~ p)’. ¿Por qué no podría ser el caso que, si en un cálculo de pronto nos topamos con una fórmula así, exclamáramos: ‘mira qué curioso. Una contradicción’ y simplemente la ignoráramos y siguiéramos adelante?
¿O no podría darse el caso de que inclusive pudiéramos querer generar una contradicción, por ejemplo como una curiosidad muy especial o, como sugiere Wittgenstein, para hacer ver que en el fondo nada en este mundo es totalmente cierto?
En todo caso, lo que parece incuestionable es que urge cambiar nuestra actitud hacia la contradicción y dejar de lado el horror que invade a los matemáticos y a los lógicos. Esto por una parte.
Lo que parece incuestionable es que urge cambiar nuestra actitud hacia la contradicción y dejar de lado el horror que invade a los matemáticos y a los lógicos.
En segundo lugar, podemos preguntarnos: ¿qué pasaría si, per impossibile, se demostrara que las matemáticas actuales son inconsistentes?¿Empezarían a caerse los aviones, se derrumbarían los puentes o habría que demoler los edificios que los ingenieros construyeron por medio de ella? Eso suena fantástico, por no decir declaradamente absurdo.
Por otra parte, ¿es seguro que no podría un ingeniero usar un sistema formal inconsistente y que cada vez que apareciera una contradicción simplemente la ignorara o la hiciera a un lado?
La situación sería semejante a la siguiente:
queremos jugar ajedrez y alguien introduce la regla de que la reina también se mueve como el caballo, sólo que se trata de una regla a la que de hecho nunca se recurre. ¿No estaríamos entonces jugando ajedrez? No parece haber razones para decir algo así.
Por otra parte, qué pasaría si hubiera un sistema que fuera contradictorio, que nadie hiciera caso de las contradicciones que aparecieran y que cuando alguien se dedicara a producirlas la respuesta usual fuera:
‘No seas ocioso! Dedícate a expandir el sistema, no a divertirte buscando fórmulas que no sirven para nada’.
Pero si ello efectivamente fuera así: ¿en dónde está, en qué consistiría realmente el problema con las contradicciones?
Me parece que podemos presentar, parcialmente al menos, el punto de vista de Wittgenstein siguiendo con la analogía del ajedrez y la nueva regla. El problema no es tanto la jugada extraña misma, sino más bien que simplemente no sabemos cuándo uno de los jugadores va a querer servirse de la nueva regla.
El problema es, más que otra cosa, que con una regla así se desquicia nuestra idea de juego de ajedrez. Y es eso lo que no podemos permitir, porque entonces lo que se violentado es nuestra idea misma de cálculo.
Dejaríamos de saber si estamos trabajando en un cálculo o en una teoría empírica, por ejemplo. Wittgenstein expresa la idea como sigue:
“¿Podría decirse: ‘La contradicción es inocua si se le puede sellar’?
Y ¿qué nos impide que la sellemos? Que no nos reconocemos en el cálculo. Luego ese es el problema.
Y eso es lo que se quiere decir cuando se dice: la contradicción muestra que hay algo que no está en orden en nuestro cálculo.
Es simplemente el síntoma local de una enfermedad de todo el cuerpo. Pero el cuerpo está enfermo sólo si no nos reconocemos”
(Wittgenstein, 1975: 104).
Lo que la contradicción echa por tierra es nuestra noción de cálculo como un sistema de signos construido a base de pruebas, un sistema de reglas que establecemos de manera definitiva.
No es, pues, la contradicción en sí misma lo que es peligroso.
Lo que sucede es que una contradicción en el contexto de disciplinas como las matemáticas, la lógica o la teoría de conjuntos indica que hay opciones respecto a la aplicación de las reglas
O sea, lo que la contradicción echa por tierra es nuestra noción de cálculo como un sistema de signos construido a base de pruebas, un sistema de reglas que establecemos de manera definitiva, en relación con las cuales no hay titubeos de ninguna índole, etc. No es, pues, la contradicción en sí misma lo que es peligroso.
Lo que sucede es que una contradicción en el contexto de disciplinas como las matemáticas, la lógica o la teoría de conjuntos indica que hay opciones respecto a la aplicación de las reglas. Eso significa que nuestra idea de lo que es un cálculo se vio afectada y ello a su vez entraña cambios y reajustes conceptuales que no estamos preparados para hacer.
No podemos darnos el lujo de confundir reglas con proposiciones, sistemas con totalidades, investigación empírica con creación conceptual.
No es, pues, por consideraciones abstractas sobre la maldad intrínseca de las contradicciones ni por peligros teóricos o formales que la contradicción plantea un problema.
No podemos darnos el lujo de confundir reglas con proposiciones, sistemas con totalidades, investigación empírica con creación conceptual. No es, pues, por consideraciones abstractas sobre la maldad intrínseca de las contradicciones ni por peligros teóricos o formales que la contradicción plantea un problema.
Lo que he presentado no es más que una línea de pensamiento de las muchas desarrolladas por Wittgenstein en torno al tema de las contradicciones y las paradojas. No podemos hacer otra cosa en una exposición de estas magnitudes.
En todo caso, es claro que las perplejidades que las contradicciones generan en nosotros no se despejan mediante la construcción de cálculos cada vez más complejos y sofisticados.
Las perplejidades que las contradicciones generan en nosotros no se despejan mediante la construcción de cálculos cada vez más complejos y sofisticados
Ciertamente, la función del filósofo no es trabajar dentro del cálculo, sino más bien comprenderlo, situándolo por así decirlo en conexión con resto de nuestros conceptos y examinando el modus operandi de sus conceptos, el status de sus afirmaciones, etc.
En todo caso, me parece justo afirmar que lo que podríamos denominar la ‘concepción antropológica de la contradicción’ es con mucho de lo más esclarecedor que hay en la literatura sobre el tema.
Lo que podríamos denominar la ‘concepción antropológica de la contradicción’ es con mucho de lo más esclarecedor que hay en la literatura sobre el tema
c) Clases de números
Que la filosofía del lenguaje es decisiva para el todo de la filosofía de Wittgenstein, y en particular para su filosofía de las matemáticas, es algo que dejan en claro sus reflexiones sobre los números. Esto es así porque el exitoso tratamiento de diversos fenómenos lingüísticos puede posteriormente extenderse al caso de los números, inter alia. Veamos rápidamente de qué se trata.
La perspectiva praxiológica del lenguaje se articula en términos de la noción de juegos de lenguaje y de movimientos en ellos. Desde este punto de vista, el significado de una palabra sigue siendo su contribución al sentido del movimiento lingüístico que se haga y aunque un elemento de ostensión deba estar involucrado, el sentido brota o se deriva no de la mera referencia sino de la naturaleza del juego de lenguaje de que se trate.
Desde la perspectiva praxiológica del lenguaje, el sentido brota o se deriva, no de la mera referencia ,sino de la naturaleza del juego de lenguaje de que se trate.
Es el juego de lenguaje lo que determina la clase de movimiento que se hace, no al revés.
Es el juego de lenguaje lo que determina la clase de movimiento que se hace, no al revés. Por ejemplo, la expresión ‘el perro’, acerca de la cual Russell nos enseñó que cuando forma parte de una oración no es un nombre sino una expresión existencial encriptada, aunque evidentemente asociada con el animal que llamamos ‘perro’, tiene significados diferentes si los movimientos que se hacen son de o en juegos de lenguaje diferentes.
Así, por ejemplo, ‘perro’ o ‘el perro’ no significa lo mismo en:
a. el perro es un mamífero (verdad científica)
b. el perro de mi vecino me acusó con el maestro (insulto)
c. el perro de mi tía me mordió (descripción)
d. “Por el perro, vengo mañana a verte” (juramento)
e. “El perro andaluz” es la mejor película de Buñuel (nombre propio)
Desde la perspectiva de Wittgenstein y contrariamente a cómo normalmente se procede, no pasamos de los significados de las partes componentes a la expresión completa sino al revés: del sentido total de la expresión al significado de sus componentes.
Dicho de manera esquemática y poco fina, lo cierto es que desde la perspectiva de Wittgenstein y contrariamente a cómo normalmente se procede, no pasamos de los significados de las partes componentes a la expresión completa sino al revés: del sentido total de la expresión al significado de sus componentes.
El significado de las partes componentes es una función de lo que se dice y esto último puede ser de lo más variado
La razón es simple: el significado de las partes componentes es una función de lo que se dice y esto último puede ser de lo más variado.
Ahora bien, independientemente de cuál sea el juego de lenguaje en el que participemos, de todos modos los movimientos que hagamos quedan revestidos con un mismo uniforme, a saber, la estructura que impone la gramática superficial.
Esto es lo que nos confunde, pues automáticamente borra las distinciones entre juegos de lenguaje, y nos obliga a hablar en términos de estructuras, de componentes y de proposiciones.
De esta manera se unifican bajo el rubro ‘proposición’ múltiples movimientos que desde el punto de vista del funcionamiento del lenguaje no tienen prácticamente nada en común.
Como ya sabemos, esto es lo que nos confunde, pues automáticamente borra las distinciones entre juegos de lenguaje, y nos obliga a hablar en términos de estructuras, de componentes y de proposiciones. De esta manera se unifican bajo el rubro ‘proposición’ múltiples movimientos que desde el punto de vista del funcionamiento del lenguaje no tienen prácticamente nada en común.
La filosofía del último Wittgenstein constituye un mecanismo para rescatar el sentido de las garras de las formas gramatical y lógica.
La filosofía del último Wittgenstein constituye un mecanismo para rescatar el sentido de las garras de las formas gramatical y lógica.
Vale la pena observar que lo que pasa en el contexto de las proposiciones pasa también en otros contextos. Consideremos rápidamente el de los números. El hecho de que tengamos la categoría general “número” automáticamente nos induce a incluir en ella a “cosas” que son drásticamente diferentes.
El hecho de que tengamos la categoría general “número” automáticamente nos induce a incluir en ella a “cosas” que son drásticamente diferentes.
La idea de número está asociada en primer término con la idea de número natural. Lo que con los números hacemos son operaciones. Es a través de éstas, que se les caracteriza.
Esto no es muy difícil de hacer ver. La idea de número está asociada en primer término con la idea de número natural. Lo que con los números hacemos son operaciones. Es a través de éstas, que se les caracteriza (2).
El 2, por ejemplo, es ese número par que sólo se divide por sí mismo y por la unidad, el número que es igual a ‘1 + 1’, etc. Aunque esto no pretende ser una definición, sí caracterizamos a los números naturales por sus propiedades habría que decir que sus rasgos esenciales son que son inductivos (i.e., que tienen todas las propiedades hereditarias del 0) y no reflexivos (esto es, que se modifican si se les añade 1).
Nos encontramos aquí en el dominio de la aritmética.
Hay otras operaciones que dan resultados que, por así decirlo, nos sacan del universo de la aritmética.
Por ejemplo, la división de 7 entre 3 no da como resultado un número natural, sino uno irracional.
Ahora bien, hay multitud de operaciones que se pueden hacer con números enteros naturales que dan como resultado números enteros naturales, como si multiplicamos 2 por 3, pero es claro que hay otras operaciones que dan resultados que, por así decirlo, nos sacan del universo de la aritmética. Por ejemplo, la división de 7 entre 3 no da como resultado un número natural, sino uno irracional.
Dado que seguimos empleando números naturales en la construcción de uno irracional es comprensible que también sigamos refiriéndonos a dicho resultado como un “número”, por más que ya no corresponda a la idea original de número.
Dado que seguimos empleando números naturales en la construcción de uno irracional es comprensible que también sigamos refiriéndonos a dicho resultado como un “número”, por más que ya no corresponda a la idea original de número.
Esto, que es una estipulación, es gramaticalmente inobjetable, pero filosóficamente de lo más engañoso.
Esto, que es una estipulación, es gramaticalmente inobjetable, pero filosóficamente de lo más engañoso. Es simplemente porque eso que denominamos ‘números irracionales’ “se parecen” lo suficiente a los números naturales que los seguimos llamando ‘números’, pero en realidad son “cosas” muy diferentes y, sobre todo, tienen propiedades diferentes y entran en operaciones muy diferentes a las de la aritmética elemental.
Eso que denominamos ‘números irracionales’ “se parecen” lo suficiente a los números naturales que los seguimos llamando ‘números’, pero en realidad son “cosas” muy diferentes y, sobre todo, tienen propiedades diferentes y entran en operaciones muy diferentes a las de la aritmética elemental.
O sea, superficialmente son lo mismo, esto es, números, pero en realidad se trata de cosas distintas. Lo que sucede es que marcamos a los números irracionales mediante signos que usamos como números, puesto que entran en cálculos, pero identificarlos como números cuando la idea de número era la de número natural es un error equivalente al de decir, por ejemplo, que dado que la oración ‘Él jura que lo vio entrando al edificio’ tiene la misma forma que ‘el peso atómico del oro es 79’, entonces en ambos casos nos las habremos con lo mismo, esto es, con proposiciones.
Es cierto que ambas pueden ser vistas como elementos de funciones de verdad y por lo tanto como siendo esencialmente verdaderas o falsas, pero si la concepción praxiológica es acertada, ahí justamente está el error.
Si nos fijamos en la utilidad que prestan, en la clase de cosas que permiten expresar, etc., salta a la vista que se trata de instrumentos lingüísticos con los que hacemos movimientos (decimos cosas) que no tienen nada en común
En efecto, si nos fijamos en la utilidad que prestan, en la clase de cosas que permiten expresar, etc., salta a la vista que se trata de instrumentos lingüísticos con los que hacemos movimientos (decimos cosas) que no tienen nada en común. Es, pues, tan equívoco hablar de “la proposición” como de “el número” y de sus respectivas esencias.
Es tan equívoco hablar de “la proposición” como de “el número” y de sus respectivas esencias
Rápidamente preguntémonos: dado que es obvio que un número irracional no es un número en el sentido de ‘número natural’: ¿qué es entonces un número irracional?
Dado que un número irracional no es un número en el sentido de ‘número natural’: ¿qué es entonces un número irracional?
Wittgenstein considera el caso de π. Es claro que si quisiéramos preguntar ‘¿qué número es π?’, la respuesta tendría que ser ‘ninguno en particular’. Más bien ‘π’ sirve para indicar una relación especial entre las longitudes de la circunferencia y del diámetro.
Wittgenstein considera el caso de π
Podemos pasar esa relación geométrica al lenguaje de los números naturales y si queremos podemos llamar al resultado un ‘número’, sólo que se trata de un número que no se le puede, por así decirlo, determinar. La razón es que, como dice Wittgenstein, un número irracional es más bien una ley de expansión de números, esto es, una ley que nos permite, en función de nuestros requerimientos, señalar un punto particular en dicha expansión.
Para Wittgenstein, un número irracional es más bien una ley de expansión de números, esto es, una ley que nos permite, en función de nuestros requerimientos, señalar un punto particular en dicha expansión.
Tomemos, por ejemplo, ‘√2’. Este “número” puede ser:
1.4,
1.41
1.414
1,4141
1.41421
1.414213 … etc.
En otras palabras, podemos extendernos en la expansión tanto como queramos.
Nuestra pregunta ahora es: ¿son lo mismo un número natural que uno irracional o, si se prefiere, es lo mismo un número que una ley para la expansión de una secuencia de números? El hecho de que bauticemos la regla misma con un signo al que le damos tratamiento de número ¿basta para convertirlo en un “número”?
¿Son lo mismo un número natural que uno irracional o, si se prefiere, es lo mismo un número que una ley para la expansión de una secuencia de números?
El hecho de que bauticemos la regla misma con un signo al que le damos tratamiento de número ¿basta para convertirlo en un “número”?
Gramatical o simbólicamente sí, filosóficamente no.
La respuesta me parece que debería ser la siguiente: gramatical o simbólicamente sí, filosóficamente no. Obsérvese que análisis semejantes se pueden efectuar en relación con los números complejos, los números imaginarios o los números transfinitos. Se trata de nociones matemáticas unidas entre sí no por una esencia, sino por semejanzas de familia.
Análisis semejantes se pueden efectuar en relación con los números complejos, los números imaginarios o los números transfinitos.
Se trata de nociones matemáticas unidas entre sí no por una esencia, sino por semejanzas de familia.
Me parece que estamos en posición de sostener que el panorama de las matemáticas que brota del filosofar wittgensteiniano es a la vez rico, complejo y elucidatorio. En todo caso, lo que debe quedar claro es que se trata de un panorama filosófico que sólo puede ser generado por la perspectiva praxiológica del lenguaje y el método de los juegos de lenguaje.
El panorama de las matemáticas que brota del filosofar wittgensteiniano es a la vez rico, complejo y elucidatorio.
En todo caso, lo que debe quedar claro es que se trata de un panorama filosófico que sólo puede ser generado por la perspectiva praxiológica del lenguaje y el método de los juegos de lenguaje.
Observaciones Finales
Hemos hecho un relampagueante recorrido por los dominios de la filosofía de las matemáticas del Wittgenstein maduro. Nuestro problema no es que percibamos fallas en sus planteamientos, sino que fue tan poco el material abarcado y fue presentado de manera tan superficial que si bien no equivale a una distorsión del pensamiento de Wittgenstein sí representa un empobrecimiento brutal de su filosofía de las matemáticas.
Pasamos sin rozar siquiera temas tan variados como la cuestión de la aplicación de las matemáticas, el tema de las diferentes clases de pruebas que se emplean en matemáticas (inductivas, por reducción al absurdo, directas, mediante diagramas, etc.), la naturaleza de la inducción, todo lo relacionado con el infinito, el asunto de la compulsión matemática y muchos otros más.
La verdad es que un problema que constantemente se nos plantea cuando examinamos aspectos del pensamiento de Wittgenstein es que casi forzosamente terminaremos con un mal sabor de boca. ¿Por qué?
Porque es casi imposible no sentir que a lo más que llegamos en nuestro esfuerzo por sintetizarlo y por enunciar algunos de sus resultados es a entenderlo a medias, quizá hasta a trivializarlo y con toda seguridad a no hacerle justicia ni a su profundidad ni a su sabiduría.
Es casi imposible no sentir que a lo más que llegamos en nuestro esfuerzo por sintetizarlo y por enunciar algunos de sus resultados es a entenderlo a medias, quizá hasta a trivializarlo y con toda seguridad a no hacerle justicia ni a su profundidad ni a su sabiduría.
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Notas
(1) Estas consideraciones wittgensteinianas podrían ayudar a echar luz sobre la naturaleza del teorema de Gödel. Habría que preguntarse: ¿cómo puede un numeral referirse a algo? Sólo si ese numeral no está siendo usando como numeral. Por lo tanto, el proceso de aritmetización de la sintaxis es un mecanismo de semántica matemática, más que de matemáticas tout court. En todo caso, es obvio que Wittgenstein proporciona elementos para una reflexión filosófica seria en relación con el famoso teorema de Gödel.
(2) La caracterización del número no es lo mismo que la definición de «número«.
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Bibliografía
Dummett, M. (1978). “Wittgenstein’s Philosophy of Mathematics” en Truth and Other Enigmas, London: Duckworth.
Tomasini Bassols, A. (2006). Filosofía y Matemáticas: ensayos en torno a Wittgenstein, México: Plaza y Valdés.
Wittgenstein, L. (1967). Zettel, Oxford: Basil Blackwell.
__________ (1974). Philosophical Investigations, Oxford: Basil Blackwell.
__________ (1975). Remarks on the Foundations of Mathematics, London: The M.I.T. Press.
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LA FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (Parte 1)
LA FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (Parte 2)
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WITTGENSTEIN Y LA FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA, por Silvio Pinto
KANT Y FREGE: LOS FUNDAMENTOS DE LA ARITMÉTICA, de Gottlob Frege (Parte 1)
FREGE Y KANT: LOS FUNDAMENTOS DE LA ARITMÉTICA, de Gottlob Frege (y Parte 2)
LA NOTICIA:
«Los datos sintéticos ensayan el siguiente salto adelante de la inteligencia artificial» (ABC)
El significado:
Datos NO EXTRAÍDOS DE LA EXPERIENCIA; simples Algoritmos (o Algoritmos complejos, compuestos de varias Proposiciones algorítmicas Simples), sin posibilidad de comprobación empírica, meramente teóricos, extraídos a su vez de otras Fuentes SINTÉTICAS (de otros algoritmos, ajenos a todo hecho comprobable, salvo la falacia de su «comprobación» mediante los propios algoritmos sintéticos que construyeron los también Sintéticos datos fraudulentos, no reales ni comprobables), cuyos algoritmos se hacen pasar por la realidad, creándola (o pretendiendo crearla), para luego obtener el Consentimiento de la Sociedad y proceder a IMPONERLOS VIOLENTA Y COACTIVAMENTE.
La Nueva Política, no es mas que eso: Disidencia Controlada y Medios de Desinformación convenciendo a la Sociedad, primero por medio del que se ha denominado «Poder Blando», que pronto veremos imponerse por medio de la Violencia Estatal, de la Violencia y la Coacción de ese Estado que deja fuera de si mismo a la inmensa mayoría.
Una mayoría que se ha visto desinformada, amedrentada y adormecida, sumida en la inconsciencia, hasta ser incapaz de diferenciar lo real de lo sintético, y finalmente convencida de la «Orwelliana» sentencia según la cual, «LO PEOR ES LO MEJOR».
Con una fórmula más literaria, Orwell lo expresó de manera más clara: «La Guerra es la Paz».
El algoritmo nos lleva fuera de nuestra esencia (humana) para convencernos de que nuestra esencia es la que conviene a sus intereses.
¿Qué intereses? Desde luego, no los de la inmensa mayoría.
Pero que, gracias al poder de la Desinformación, y mediante la Disidencia Controlada, nos fuerza a que aceptemos lo INHUMANO como Esencia de lo HUMANO.
LA ESTUPIDEZ generalmente es temporal, inducida. Muy pocos son los casos de Estupidez Genética, que tienen otro nombre.
Pero esta vez, no parece que la Estupidez Social implantada, vaya a ser temporal.
Y como con los Estúpidos no se puede razonar, solo queda la solución de Carlo Cipolla: APARTARSE DE ELLOS TODO LO POSIBLE.
El atroz sistema que nos ha engullido necesitaba de nuestra ignorancia para poder imponerse.
Ya la ha logrado, ya se ha impuesto. Empezamos, solo empezamos, a verlo.
Solo irá a peor. En realidad, nunca ha dejado de ir a peor. Pese a las apariencias creadas e impuestas como realidad.
Una realidad sintética, producto de una creación algorítmica, pretende suplantar a nuestra Naturaleza humana.
Y no hemos podido hacer nada; amordazados por el algoritmo, por el silencio y la soledad que se han convertido en el santo y seña de la Nueva (¿Y definitiva?) Gobernanza global y totalitaria en medio del aislamiento generalizado de los individuos en el seno de un Mundo Global, ese que se nos presenta como el Mundo (Nuevo) de las Tecnologías de la Comunicación (las mismas que nos mantienen aislados e incomunicados).
Hasta la vista