Gottlob Frege (1848-1925)

Gottlob Frege

 

Gottlob Frege

(1848–1925)

Encyclopaedia Herder

 

Matemático y filósofo alemán. Nació en Wismar (Pomerania), estudió en Jena y fue profesor de matemáticas en esta universidad. Su primera obra sobre lógica matemática le hace merecedor del nombre de fundador de esta disciplina, uno de cuyos temas centrales es la fundamentación de la matemática. Con su primera obra importante, Begriffschrift (1879) [Escritura de conceptos, conceptografía o ideografía] -y cuya fecha de aparición da comienzo, según los historiadores, a una nueva era de la lógica- inició el programa logicista, o fundamentación lógica de la matemática.

 

Begriffschrift (1879) («Escritura de conceptos, conceptografía o ideografía») da comienzo a una nueva era de la lógica: inició el programa logicista, o fundamentación lógica de la matemática

 

En esta obra, muy poco conocida inicialmente y que sólo llegó a serlo gracias a los estudios y comentarios que de ella hicieron más tarde Husserl, Russell y Wittgenstein, presenta Frege una teoría de la deducción expuesta por vez primera como un sistema formal de lógica de enunciados, o como un cálculo proposicional; en ella desarrolla los conceptos y métodos fundamentales de la lógica de enunciados y predicados. Aparte de ello, su contribución más importante en lógica es la introducción de los cuantificadores.

La obra que publica en 1884, Grundlagen der Arithmetik [Fundamentos de la aritmética], representa el paso definitivo en la fundamentación lógica de la aritmética; respecto de la teoría de conjuntos que expone en esta obra formuló Russell su célebre paradoja [ver paradoja de Russell].

Frege completó sus estudios lógicos con estudios sobre semántica, o filosofía del lenguaje, que inicia a partir de 1891; sus principales aportaciones en este terreno son la distinción que establece entre sentido y referencia y entre objeto y función, y el tratamiento de los conceptos y predicados como funciones.

 

Las cosas son objetos o bien funciones

 

Las cosas son objetos o bien funciones. Un objeto es, por ejemplo, una oveja o una flor, pero también lo verdadero, lo falso y el número 4. Pero «raíz cuadrada de», «más alto que» y la «implicación» son ejemplos de funciones. A los objetos les corresponde lingüísticamente un nombre (o expresión de objeto, o expresión saturada) y a las funciones, una expresión de función (o expresión no saturada).

«París» es nombre, mientras que «la capital de … » es una expresión de función, no saturada. Este recurso permite definir un concepto como «una función cuyo valor es lo verdadero o lo falso». Así, añadiendo el argumento «César» al espacio no saturado de la función «_______ conquistó las Galias», la expresión recibe el valor de verdad, se hace verdadera. Los conceptos son, pues, una clase de funciones.

Al objeto a que se refiere, lo llama su referencia, mientras que al modo de referirse lo denomina sentido. Los nombres poseen sentido y referencia, y dos expresiones nominales distintas, «el lucero del alba» y «el lucero de la tarde» (dos maneras de referirse a lo mismo), tienen la misma referencia (el planeta Venus), aunque distinto sentido.

Toda expresión nominal ha de tener, por lo menos, sentido. Lo mismo sucede con los enunciados: su referencia es su valor de verdad; su sentido, la idea que encierra. Frege no tiene problema alguno en dar objetividad al sentido de los nombres sin referente, puesto que mantiene que también los entes matemáticos y lógicos son objetivos, aunque no sean reales.

 

 

Estando a punto de publicar el segundo volumen de Leyes básicas de la aritmética, Russell le hizo observar (1902) que de sus axiomas sobre conjuntos se derivaba una contradicción: la antinomia del conjunto de conjuntos que no son miembros de sí mismos (¿es este conjunto miembro de sí mismo?).

Esta circunstancia hizo que los trabajos de Frege quedaran paralizados durante algunos años y supuso el fracaso de su programa logicista, pero sus investigaciones han sido el punto de arranque de la lógica moderna.

 

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Bibliografía del autor

 

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Gottlob Frege

Por Tomás Fernández y Elena Tamaro

Biografías y vidas

 

(Wismar, actual Alemania, 1848 – Bad Kleinen, id., 1925) Matemático, filósofo y lógico alemán. Hijo de un humilde profesor, ingresó en la Universidad de Jena en 1869, y dos años después se trasladó a la de Gotinga para completar sus estudios de matemáticas, física, química y filosofía. De regreso a Jena, ejerció la docencia como profesor de matemáticas, función que desempeñaría hasta su muerte.

Desconocido hasta el final de su vida, a Gottlob Frege se le considera hoy el padre de la lógica moderna. Fue el primero que abordó de manera orgánica el problema de los fundamentos de las matemáticas, al establecer una estrecha relación entre la definición filosófica de la esencia del conocimiento matemático y la rigurosa descripción de los procesos demostrativos; también fue el pionero del análisis lógico del lenguaje. En todo momento un objetivo inspiró su actividad: probar que la aritmética es una rama de la lógica y que no necesita extraer una fundamentación demostrativa ni de la experiencia ni de la intuición. Con dicha tesis se relaciona una concepción objetiva de los entes matemáticos y lógicos y de sus leyes, que hasta entonces se consideraban independientes del pensamiento cognoscitivo.

Para demostrar la reconducibilidad de los juicios aritméticos a los axiomas lógicos, Gottlob Frege forjó en primer lugar un instrumento lingüístico nuevo, que evitara la ambigüedad y asistematicidad del lenguaje común, y permitiera expresar la forma de las proposiciones y la cadena deductiva de los razonamientos con la máxima precisión, mediante reglas explícitas y rigurosas. Tal era el objetivo de su obra Escritura conceptual (1879), en la que dio carta de naturaleza a la lógica matemática moderna mediante la introducción de una nueva sintaxis, en la que destaca la inclusión de los llamados cuantificadores («para todo» o «para algún caso de»), siendo el primero en separar la caracterización formal de las leyes lógicas de su contenido semántico. Fue la primera expresión moderna axiomático-deductiva de la lógica de los predicados y de la lógica de los enunciados.

Elaboró además una sofisticada filosofía del lenguaje que influiría sobre la filosofía analítica posterior, con distinciones fundamentales como la de «sentido» y «referencia». Una vez fijados los principios axiomáticos de la lógica, acometió la tarea de edificar la aritmética sobre la base de aquélla; su obra Los fundamentos de la aritmética apareció en 1884. El trabajo de Frege apenas suscitó atención alguna; sólo otros filósofos interesados en los fundamentos de la matemática, como Bertrand Russell o Giuseppe Peano, supieron apreciar su interés.

Durante la década siguiente no publicó libro alguno, aunque sí numerosos escritos en los que fue elaborando una filosofía de la lógica; en 1893 volvió sobre el proyecto iniciado en sus Fundamentos con el primer volumen de Las leyes básicas de la aritmética, en el que presentó un riguroso desarrollo de los principios expuestos en aquéllos. La obra expone ideográficamente los principios de la aritmética, basándose en la célebre definición de los números naturales en términos de clases, según la cual, en general, el número de una clase es la clase de todas las clases «equinumerales» a la clase dada.

En 1902, con las pruebas corregidas del segundo volumen ya en la imprenta, recibió una carta de Russell en la que le advertía acerca de una grave inconsistencia en su sistema lógico, conocida más adelante como la paradoja de Russell. Frege introdujo a toda prisa una modificación en uno de sus axiomas, de la que dejó constancia en un apéndice de la obra. El propio Russell encontraría la solución, intentando conservar el programa logicista de Frege con la «teoría de los tipos«. Pero este golpe a la estructura de su obra prácticamente puso fin a su actividad académica. Ante la casi total indiferencia de sus contemporáneos, tras la muerte de su esposa se recluyó en su nueva residencia de Bad Kleinen y murió en el anonimato.

 

 

Cómo citar este artículo:
Tomás Fernández y Elena Tamaro. «Biografia de Gottlob Frege» [Internet]. Barcelona, España: Editorial Biografías y Vidas, 2004. Disponible en https://www.biografiasyvidas.com/biografia/f/frege.htm 

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Sentido y referencia

 

Traducción de los términos alemanes Sinn y Bedeutung, respectivamente, con los que Gottlob Frege explicó su teoría sobre el significado. Referencia de un término es aquello que el término denota (o refiere) -concepto parecido al de denotación (aunque a veces se dice que es aquello que «designa»)-, mientras que sentido de un término es el modo como un término se refiere a un objeto; concepto parecido al de designación.

Dos términos pueden tener la misma referencia, pero distinto sentido, por el hecho de presentarla bajo un modo o aspecto distinto; así, las expresiones «el autor de El Quijote» y «el Manco de Lepanto» tienen igual referente, pues ambas se refieren a Cervantes, aunque presentándolo bajo distinto aspecto. Toda expresión nominal ha de tener sentido, aunque no es necesario que siempre tenga un referente.

Tienen sentido y referencia nombres como «2» (el primer número par), o «Roma» (capital de Italia); tienen propiamente sólo sentido, sin referente real, nombres como «centauro» (hombres-caballo mitológicos) o «Edipo» (hijo de Layo y Yocasta, en la mitología).

Los nombres propios, de los que se dice que no designan, sino que sólo denotan, tienen para Frege no sólo referencia, sino también sentido: el sentido que tienen para quien los usa, que podría sustituirlos por cualquier otra expresión equivalente; así, «Bruto» es «el asesino de César».

Cuando se trata de enunciados, esto es, la «idea» o el «pensamiento» (terminología de Frege) es el sentido, mientras que la referencia es su valor de verdad, y así como el sentido de un término es la condición que el objeto ha de satisfacer para ser un referente de dicho término, así también, para que un enunciado sea verdadero, ha de haber un estado de cosas que satisfaga su sentido.

De aquí que se diga que entender un enunciado sea conocer sus condiciones de verdad.

 

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Para presentar el primer capítulo de la Conceptografía (1),tomo como puerta de entrada lo que dice Lacan sobre Frege en el capítulo I del Seminario 19 justo delante del símbolo:

“Cuando comenta la función de la aserción en relación con una función f(x) verdadera o falsa, alguien como Frege no deja, para que x tenga existencia de argumento–aquí ubicada en este huequito, imagen del sitio vacío–, de situar, delante, algo que se llama todo x, que conviene a la función”(2) .

Frege consideró que el lenguaje natural era impreciso: lleno de ambigüedades y exuberancias. Como instrumento para el conocimiento científico y el pensamiento puro (3), creó una escritura conceptual basada en el lenguaje de la aritmética.

Frege sostiene en el prólogo que la conceptografía respecto al lenguaje común es como el microscopio respecto al ojo (4). El ojo es más adaptable y sirve para más cosas que el microscopio, pero éste es mucho más preciso. La conceptografía es un lenguaje para controlar las inferencias: para proporcionar rigurosidad científica y certeza sobre la verdad.

El punto de partida es que la distinción entre el sujeto y el predicado, tal y como había sido empleada por la lógica aristotélica, ya no sirve. Con Aristóteles, los enunciados se analizaban según la división entre sujeto y predicado; y luego según la cópula, la cantidad, la calidad… etc. Frege descarta esa división, y considera que en una oración ciertas partes pueden ser reemplazadas por otras y la expresión puede seguir teniendo sentido, tiene contenido conceptual. La parte estable es la función, y aquello que se puede reemplazar el argumento.

 

 

Al no tener en consideración la distinción entre sujeto y predicado, para Frege el enunciado Sócrates come una manzana (forma activa) y el enunciado Una manzana es comida por Sócrates (forma pasiva) son equivalentes, o sea, tienen el mismo contenido. En el lenguaje natural son diferentes, y escogemos una u otra por el énfasis que queramos dar al sujeto en el contexto del habla, o para ligar la frase con la anterior.

¿Qué implica usar la distinción entre función y argumento frente a la de sujeto y predicado? Por un lado, permite detectar similitudes lógicamente relevantes entre enunciados muy distintos, cosa que no ocurría con la lógica aristotélica. En ésta solo se percibían similitudes cuando el sujeto era el mismo y variaban los predicados. Con la nueva notación, se tiene mucha mayor flexibilidad. Además, la escritura fregeana permite ocuparse, gracias a los cuantificadores, de inferencias que la silogística aristotélica (rama de la lógica que estudia la validez de los silogismos) no había podido resolver.

A continuación, voy a dar una breve explicación de la notación de Frege:

— ( )

Una barra horizontal es la barra de contenido. Lo que viene después de la barra debe tener un contenido juzgable, es decir, algo sobre lo que se puede juzgar. Es la “mera combinación de ideas sobre la que no expresa, quien la escribe, si reconoce o no verdad en ella”. Frege propone parafrasearlo como «la circunstancia de que» o «la proposición de que» (5). Conviene tomar nota de que Frege también dice que “la barra de contenido sirve, además, para poner en relación cualquier símbolo con el todo de símbolos que esté en la barra”. Pongo en cursiva esta palabra porque el núcleo de la conceptografía reside en esta agrupación en todos.

 ├─ ( )

Si la barra horizontal lleva una barra vertical corta a la izquierda, se llama barra de juicio, y supone un enunciado sobre lo que se ha emitido el juicio de que es verdadero o falso. El juicio expresado por esta barra se relaciona con el todo de la barra de contenido. Frege también sostiene que con esta nueva notación, al no haber sujetos y predicados, hay juicios, y todos ellos tienen un predicado común: la barra del juicio (6).

Cuando además, «el juicio de que esa función, sea cual fuere lo que se considere como su argumento, es un hecho» (7), la barra de juicio es intercalada por una concavidad: el cuantificador del todo. Por ejemplo, en el enunciado Sócrates es mortal, separamos entre argumento y función, siendo Sócrates el argumento y es mortal, la función. Si Sócrates es mortal es un enunciado verdadero, la función es verdadera para el enunciado Sócrates. Entonces Frege introduce un símbolo, para indicar que determinada función es verdadera,  con independencia del argumento que se tome. Sea cual sea el nombre que se tome como argumento de la función es mortal, la función es verdadera.

Lacan se fija en el detalle de que Frege hable de, e incluso dibuje, una Höhlung, un hueco o vacío. Para una función verdadera para todo x la función necesita un vacío. En la notación contemporánea del cuantificador se pierde ese huequito: ∀x F(x)

A continuación, un resumen de los pasos hasta llegar al símbolo que reproduce Lacan en la p.14, desde la generalidad que está implícita como punto de partida, hasta la que se hace explícita con un símbolo para ello:

 

 

En la lógica aristotélica no había vacío porque el sujeto del enunciado era siempre una sustancia, incluso una esencia, sobre la que se afirmaba o negaba un predicado. Con Frege, la aseveración del juicio, lo que lo dicho sea un hecho o algo verdadero, requiere la reunión en un todo y la creación de un hueco – un sujeto que no es ni agente, ni sustancia, sino simplemente un vacío.

Para finalizar, Lacan sostiene en estas páginas dos cosas más sobre Frege, que desarrollará después para tratar la sexuación como la lógica:

Primero, que la “introducción del no todo es aquí esencial” (8).Como la notación fregeana consiste en su núcleo en la creación de todos, el no todo ocurre de modo casi espontáneo, lo que no era posible como la lógica aristotélica. Como Frege rechaza la distinción gramatical sujeto-predicado, adjunta el signo de la negación no al predicado gramatical, sino a la oración en su totalidad, al todo:

 

 

Segundo, Lacan dice: “cuando intentan convertir una proposición en función, el verbo es lo que constituye la función, y pueden convertir en argumento lo que le rodea. Entonces al vaciar ese verbo hago de él el argumento, es decir, cierta sustancia. No es decir, sino un decir” (9) Frege introduce la función como algo constante que se llena con un argumento, puesto que contiene un vacío. Lacan toma la función fregeana, pero vacía ese verbo, convirtiéndola en argumento también. La lógica de Frege aún depende del sentido, del contenido conceptual. La lógica de Lacan, no.

 

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Notas

1. Frege, Gottlob. Conceptografía. Los fundamentos de la aritmética, Universidad Nacional de México, México, 1972 .

2. Lacan, Jacques. El Seminario, libro 19, …O peor, Paidós, Buenos Aires, 2012, p. 14.

3. Ibíd.,p.3.

4. Ibíd.

5. Ibíd.,p. 6.

6. Ibíd.,p. 7.

7. Ibíd.,p.16.

8. Lacan, Jacques. El seminario, libro 19, … O peor, op. cit., p. 19.

9. Ibíd.,p.12.

 

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