LA FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (Parte 1)
LA FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (y Parte 3)
Tabla de contenidos
«Sí la voluntad, buena o mala, cambia el mundo, sólo puede cambiar los límites del mundo, no los hechos. No aquello que puede expresarse con el lenguaje.
En resumen, de este modo el mundo se convierte, completamente, en otro. Debe, por así decirlo, crecer o decrecer como un todo.
El mundo de los felices es distinto del mundo de los infelices».
(Wittgenstein, «Tractatus logico-philosophicus», 6.43)
LA FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN
Parte 2
En este trabajo empiezo por presentar y explicar las nociones clave de la filosofía del Wittgenstein maduro y que son las que le permiten articular su nueva concepción de las matemáticas (“juego de lenguaje”, “criterio”, “gramática” y “semejanzas de familia”, básicamente).
Acto seguido reconstruyo los puntos de vista desarrollados por Wittgenstein sobre los que son los temas primordiales en su meditación, como la peculiar naturaleza de las proposiciones matemáticas, el análisis del concepto de número, el carácter decisivo de las demostraciones, el rechazo del fundacionalismo y en general de la metamatemática, la cuestión de lo que es aplicar una regla y el tema general de las contradicciones.
Si mi exposición es fiel y acertada, emerge de la exposición un cuadro de las matemáticas original y del cual quedaron excluidos los errores de las escuelas tradicionales de filosofía de las matemáticas.
Universidad Nacional Autónoma de México
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FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS
Filosofía tradicional de las matemáticas
Como en cualquier otra rama de la filosofía, en filosofía de las matemáticas un simple punto de partida equivocado, generado por una concepción ingenuamente errónea de la proposición, se convierte rápidamente en el suelo en donde habrán de germinar los más variados puntos de vista, esto es, las más variadas filosofías de las matemáticas.
Y, como veremos en un momento, el punto de partida errado en cuestión en general es simplemente el resultado de una interpretación fácil, aparentemente transparente e inocua, de expresiones y formas de hablar normales en el contexto de las matemáticas.
Por ejemplo, se dicen cosas como ‘dos más dos son cuatro’ o ‘es verdad que “2 + 2 = 4”’.
En casos así, lo espontáneo es ver en estas expresiones afirmaciones de exactamente la misma índole que afirmaciones empíricas, del lenguaje coloquial o de las ciencias naturales o sociales.
Ahora bien, esta lectura inocente pero errada de las expresiones matemáticas trae aparejada consigo la idea de que dichas “proposiciones”, justamente por ser verdaderas, proporcionan o transmiten conocimiento, en cuyo caso lo más probable es que éste sea de una clase especial.
Esta lectura, inocente pero errada, de las expresiones matemáticas trae aparejada consigo la idea de que dichas “proposiciones”, justamente por ser verdaderas, proporcionan o transmiten conocimiento, en cuyo caso lo más probable es que éste sea de una clase especial
Aquí el razonamiento parecería ser el siguiente: no puede ser el caso que tengamos una expresión verdadera y que no obstante ésta no transmita ningún conocimiento. El problema está en que, si es así como se interpretan las matemáticas, automáticamente se abre la posibilidad lógica del error y entonces entra en escena el escepticismo filosófico.
¿Qué se requiere para neutralizarlo o anularlo? Fundamentar las matemáticas.
Hay desde luego otras razones por las cuales se pensó que la fundamentación de las matemáticas era una tarea insoslayable, pero para los efectos de esta exposición llamar la atención sobre esta línea de reconstrucción es suficiente.
El escepticismo filosófico, como es natural, representa una amenaza potencial en el todo de la filosofía, es decir, su espectro puede hacer su aparición en cualquier ámbito en el que pretendamos hablar de conocimiento.
En el caso del supuesto conocimiento matemático, el problema del escepticismo (asumiendo sin conceder que se trata de un problema legítimo) es particularmente agudo, por la clase especial de conocimiento que supuestamente tenemos en matemáticas. En efecto, el conocimiento matemático es, por así decirlo, superior al conocimiento empírico, por refinado y seguro que éste sea.
En el caso del supuesto conocimiento matemático, el problema del escepticismo (asumiendo sin conceder que se trata de un problema legítimo) es particularmente agudo, por la clase especial de conocimiento que supuestamente tenemos en matemáticas.
En terminología filosófica, la diferencia radica en que el conocimiento matemático es a priori y necesario. Y a partir de esto empiezan a surgir nuevos enredos y nuevos rompecabezas.
Por ejemplo, es normal afirmar que puesto que las proposiciones matemáticas son verdaderas, en matemáticas se habla de algo, pues de lo contrario serían vacuas y eso es prima facie inaceptable.
Pero entonces las proposiciones matemáticas tienen que versar sobre algo, es decir, sobre alguna clase de entidades, y dada la clase de conocimiento que proporcionan no podemos sino pensar que versan sobre entidades en verdad muy extrañas. Y de esta manera, casi sin darnos cuenta, nos encontramos en la vía del platonismo, que es un ruta laberíntica de la que, lo sabemos, una vez adentrados en ella no hay salida.
Esta opción, desde luego es una de las múltiples opciones filosóficas que se pueden generar, si bien el resultado es el mismo: los intentos por resolver un problema filosófico lo único que logran es hacer que se ramifiquen y multipliquen y ese proceso no tiene fin.
Los intentos por resolver un problema filosófico lo único que logran es hacer que se ramifiquen y multipliquen y ese proceso no tiene fin
Uno de los retos para Wittgenstein en este contexto es dar cuenta de las matemáticas in toto (sus expresiones, sus métodos, su conexión con experiencia y el conocimiento, etc.) sin desarrollar una teoría filosófica.
En lo que sigue, trataré de hacer ver que Wittgenstein logra salir adelante frente al reto en cuestión, pero antes quisiera decir unas cuantas palabras acerca del carácter general de su filosofía de las matemáticas.
Rasgos generales de la filosofía de las matemáticas según Wittgenstein
Como es bien sabido, para Wittgenstein los problemas filosóficos son el resultado de incomprensiones y son, por lo tanto, pseudo-problemas. Tenemos, por lo tanto, dos clases de filósofos: el filósofo creador de mitos y el filósofo destructor de mitos.
Tenemos dos clases de filósofos: el filósofo creador de mitos y el filósofo destructor de mitos.
Se sigue que la filosofía liberadora sólo puede ser una reacción
Se sigue que la filosofía liberadora sólo puede ser una reacción. No crece espontáneamente, sino que nace como un requerimiento urgente generado por un descontento intelectual ante los notables fracasos, las notorias falacias, las palpables incongruencias, las aseveraciones incomprensibles de la filosofía tradicional.
Nace como un requerimiento urgente generado por un descontento intelectual ante los notables fracasos, las notorias falacias, las palpables incongruencias, las aseveraciones incomprensibles de la filosofía tradicional
La concepción liberadora de las matemáticas, por lo tanto, se va conformando paulatinamente a partir de la lucha en contra de multitud de tesis de filosofía de las matemáticas convencionales.
Así, Wittgenstein, a través de concienzudos análisis gramaticales, va desechando todo lo que es inservible en los diversos programas de filosofía de las matemáticas y a partir de sus discusiones se va delineando poco a poco la concepción correcta.
En este como en otros casos, el ideal del Tractatus sigue vigente: de lo que se trata es de acceder a la visión correcta de las cosas sin para ello elaborar una nueva doctrina filosófica.
En este como en otros casos, el ideal del Tractatus sigue vigente: de lo que se trata es de acceder a la visión correcta de las cosas sin para ello elaborar una nueva doctrina filosófica
Lo anterior explica por qué de hecho Wittgenstein polemiza con tantos filósofos de las matemáticas y con tantas posiciones: él, en efecto, se enfrenta a logicistas, platonistas, intuicionistas, gödelianos, formalistas, teórico-conjuntistas y así sucesivamente, pero la explicación de ello salta a la vista: por una parte, todos ellos abordan temas importantes en relación con las matemáticas pero, por la otra, todos ellos son al mismo tiempo creadores de mitos filosóficos (referentes a los números, el espacio, el infinito, a la objetividad de las matemáticas, y así sucesivamente).
Esto echa luz tanto sobre la complejidad como sobre la riqueza de la filosofía de las matemáticas de Wittgenstein. De hecho, podemos abordarla prácticamente desde cualquier perspectiva, dado que paulatina pero indefectiblemente terminaremos por abordar las restantes.
Mi elección de punto de partida serán algunos argumentos que Wittgenstein elabora en contra de la idea logicista de que las matemáticas están necesitadas de una fundamentación.
Veremos a continuación algunos argumentos que Wittgenstein elabora en contra de la idea logicista de que las matemáticas están necesitadas de una fundamentación
WITTGENSTEIN Y LAS MATEMÁTICAS
Juegos y matemáticas
Quizá debamos empezar trayendo a la memoria un contraste que Wittgenstein traza y que resulta particularmente atinado, a saber, el contraste entre las matemáticas y los juegos. Hay un sentido en el que es obvio que las matemáticas no son un juego.
Por ejemplo, en las matemáticas no se trata de ganar o perder, así como tampoco podemos hablar de la aplicación de un juego a una teoría científica, como sí podemos hablar de las aplicaciones de las matemáticas. Por otra parte, hay rasgos en común entre las matemáticas y los juegos que dan que pensar.
Por ejemplo, si bien tanto en matemáticas como en los juegos se hacen “movimientos” en concordancia con reglas, en ningún caso las reglas apuntan a algo más que las matemáticas o los juegos mismos. Por medio de ellos no se alude a nada.
Sin embargo, la verdadera importancia de equiparar los juegos con las matemáticas radica en que hacerlo ayuda a ver que el requerimiento de fundamentar las matemáticas está totalmente fuera de lugar.
La verdadera importancia de equiparar los juegos con las matemáticas radica en que hacerlo ayuda a ver que el requerimiento de fundamentar las matemáticas está totalmente fuera de lugar.
Es tan chocante la idea de fundamentar las matemáticas como la de fundamentar un juego.
Si efectivamente las matemáticas y los juegos se parecen en algo es porque es tan chocante la idea de fundamentar las matemáticas como la de fundamentar un juego: la aritmética o la geometría necesitan de fundamentación tanto como el ajedrez o el póker.
Así como los juegos se justifican a sí mismos, las matemáticas se componen de cálculos auto-subsistentes que son ellos mismos su propia justificación. Las matemáticas son también una especie de juego en el sentido de que sus movimientos no se efectúan propiamente hablando por medio de proposiciones.
Las matemáticas son también una especie de juego en el sentido de que sus movimientos no se efectúan propiamente hablando por medio de proposiciones
Ciertamente sus expresiones están en conexión con las proposiciones, lo cual es desde luego algo que hay que dilucidar, pero no son estrictamente hablando proposiciones. En este punto, la continuidad con el Tractatus es tangible.
En este punto, la continuidad con el Tractatus es tangible
Proposiciones y reglas
Wittgenstein acepta que las expresiones que normalmente identificamos como “proposiciones matemáticas” tienen efectivamente un status especial, pero lo que eso sugiere es precisamente que en el fondo no son proposiciones.
Una oración como ‘hace calor’ puede ser utilizada hoy para decir algo verdadero, pero su uso mañana puede dar lugar a una falsedad, en tanto que una “proposición matemática”, una vez aceptada, ya no se modifica. Una vez establecida, la “archivamos”, la metemos en el cajón.
Una oración como ‘hace calor’ puede ser utilizada hoy para decir algo verdadero, pero su uso mañana puede dar lugar a una falsedad, en tanto que una “proposición matemática”, una vez aceptada, ya no se modifica.
Lo que hay que entender es que si no estamos dispuestos a ponerla en tela de juicio es porque nosotros, los usuarios (i.e., la comunidad lingüística), así lo decidimos y por consiguiente inexorablemente la imponemos.
Por ejemplo, no hay más que una respuesta a la pregunta ‘¿cuánto es “2 + 2”?’, es decir, no se le permite a ningún niño (mejor dicho, a nadie) dudar de que 2 + 2 = 4.
Y es esto lo que explica su carácter de “necesarias”. Una vez establecidas, nos dejamos guiar por ellas, es decir, razonamos en concordancia con ellas. El todo de nuestra experiencia queda moldeada por ellas.
Es esto lo que explica su carácter de “necesarias”.
Una vez establecidas, nos dejamos guiar por ellas, es decir, razonamos en concordancia con ellas.
El todo de nuestra experiencia queda moldeada por ellas.
Las “proposiciones” de las matemáticas son como canales de experiencia; ésta, por así decirlo, fluye a través de ellas.
Las “proposiciones” de las matemáticas son como canales de experiencia; ésta, por así decirlo, fluye a través de ellas. Pero lo que todo esto pone de manifiesto es que en realidad más que proposiciones se trata de reglas de sintaxis lógica o, en terminología wittgensteiniana, de reglas de gramática.
Es porque son empleadas en conexión con el lenguaje que se les considera proposiciones, pero esto último es ya una interpretación del simbolismo y desde luego una interpretación no sólo no garantizada, sino simplista y declaradamente desorientadora.
Es porque son empleadas en conexión con el lenguaje que se les considera proposiciones, pero esto último es ya una interpretación del simbolismo y desde luego una interpretación no sólo no garantizada, sino simplista y declaradamente desorientadora
Un ejemplo no estará de más. Consideremos la geometría euclidiana. El matemático común y el filósofo estándar de las matemáticas nos dirá que cualquier teorema es una descripción de entidades abstractas o ideales como lo son los ángulos, las líneas rectas, las superficies, etc., y de relaciones entre ellas.
Pero esto es una lectura totalmente gratuita del simbolismo y no sólo poco esclarecedora, sino que complica desmesuradamente el panorama. El contraste con la posición de Wittgenstein es en todo caso muy marcado.
El punto de vista de éste consiste en hacer ver que los teoremas de la geometría euclidiana son básicamente “reglas de sintaxis”, esto es, “gramaticales”, para los enunciados acerca de dimensiones, volúmenes, distancias, áreas, etc., es decir, los teoremas de la geometría le permiten hacer las aseveraciones factuales que requiere.
Por ejemplo, si alguien quiere comprar un terreno lo que necesita es saber de cuántos metros cuadrados es. Las mediciones son obviamente empíricas, pero lo que la geometría aporta es la gramática misma de las afirmaciones concernientes a mediciones y gracias a las cuales expresiones como ‘la superficie de esta casa es X’ se vuelven significativas.
Para Wittgenstein las mediciones son obviamente empíricas, pero lo que la geometría aporta es la gramática misma de las afirmaciones concernientes a mediciones y gracias a las cuales expresiones como ‘la superficie de esta casa es X’ se vuelven significativas
Las mediciones y los cálculos que se hagan inevitablemente se articulan en términos de las “verdades” de la geometría, pero la geometría misma no describe nada
Las mediciones y los cálculos que se hagan inevitablemente se articulan en términos de las “verdades” de la geometría, pero la geometría misma no describe nada.
Aquí lo interesante es notar que es inconcebible que alguien “refute” o “falsifique” empíricamente los teoremas de la geometría euclidiana, por ejemplo, que alguien el día de mañana “descubra” que la superficie de un terreno cuadrado no es l 2, pero decir eso no es más que decir que no se le permitiría hacer un uso diferente de la geometría, puesto que eso alteraría todo nuestro sistema de mediciones y cálculos. Si eso llegara a pasar lo declaramos sin sentido.
En condiciones normales, si (supongamos) cada lado mide 100 metros, la superficie es 10,000 metros cuadrados y si alguien da un resultado diferente nosotros sabemos a priori que lo que afirma será absurdo, puesto que entrará en conflicto con las reglas de significación presupuestas en su aseveración. ¡Y si alguien insistiera en que su cálculo es el correcto lo más probable es que todos pensaran que lo que quiere es defraudar a alguien!
Así vistas las cosas, la utilidad de las reglas matemáticas salta a la vista. Es claro que la yuxtaposición de las nociones involucradas no es como en el caso de los conceptos “hoy” y “hacer frío”, es decir, que puede tanto darse como no darse. Las ideas de triángulo y de suma son tales que, dados los postulados de Euclides, la suma de los ángulos de un triángulo tiene que dar como resultado 180º. Con base en esa regla se hacen los más diversos cálculos.
Las ideas de triángulo y de suma son tales que, dados los postulados de Euclides, la suma de los ángulos de un triángulo tiene que dar como resultado 180º.
Con base en esa regla se hacen los más diversos cálculos.
En la sentencia (teorema) “La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º” se establece una nueva conexión, a saber, entre medidas de ángulos y números. Lo que esto significa es que en matemáticas se establecen nuevas conexiones con o entre las nociones introducidas, conexiones que una vez más son rígidas, inamovibles, definitivas, es decir, se construyen conceptos.
En matemáticas se establecen nuevas conexiones con o entre las nociones introducidas, conexiones que una vez más son rígidas, inamovibles, definitivas, es decir, se construyen conceptos
Es porque hay creación conceptual que las “proposiciones” de las matemáticas no son ni meras identidades ni proposiciones empíricas, sino proposiciones sintéticas a priori.
En concordancia con la concepción que poco a poco se va delineando, Wittgenstein argumenta que en matemáticas, dado que sus proposiciones carecen de contenido y que por medio de ellas no se habla de nada, es imposible que en ellas se “descubra” algo.
Wittgenstein argumenta que en matemáticas, dado que sus proposiciones carecen de contenido y que por medio de ellas no se habla de nada, es imposible que en ellas se “descubra” algo
Usando su ejemplo, una investigación matemática no puede ser como una exploración al Polo Norte a la que uno se lanza pero no sabe ni dónde ni cómo va a terminar. Eso es justamente lo que no puede pasar en matemáticas.
Pero, además, la idea de exploración de un mundo de entidades abstractas llamadas ‘números’ o ‘espacios’ o ‘conjuntos’ o … etc., (¿qué clase de objeto podría ser una “estructura algebraica”, por ejemplo?), es no sólo innecesaria sino carente por completo de poder explicativo, porque
¿qué se explica cuando se nos dice que los números son entidades y que es porque son lo que son que 2 + 2 = 4?
Además de los matemáticos intoxicados de filosofía fácil: ¿quién tiene contacto con semejantes entidades: los matemáticos, los niños que hacen sus ejercicios en la escuela, la gente que hace filosofía de las matemáticas? Al establecer conexiones definitivas, lo que el matemático hace es, como dice Wittgenstein, “crear esencia”.
Al establecer conexiones definitivas, lo que el matemático hace es, como dice Wittgenstein, “crear esencia”.
Dichas conexiones no son arbitrarias, pero la explicación de la objetividad de las matemáticas es algo mucho más complejo que el de una mera postulación de mundos abstractos
Desde luego que dichas conexiones no son arbitrarias, pero la explicación de la objetividad de las matemáticas es algo mucho más complejo que el de una mera postulación de mundos abstractos. Sobre eso diré algo más abajo.
Demostración
Contrariamente a quienes creen que Frege introdujo su famoso “principio contextual” pensando ante todo en el lenguaje natural, yo soy más bien de la opinión de que su principio fue pensado y se aplica ante todo y primeramente al simbolismo matemático.
Es realmente en este contexto de signos que el principio se vuelve palpablemente obvio. Ahora bien, a mí me parece que ciertamente Wittgenstein sigue en este punto los pasos de Frege, pero también que lleva la idea subyacente a un nivel superior de aplicación.
Wittgenstein sigue en este punto los pasos de Frege, pero también lleva la idea subyacente a un nivel superior de aplicación
En efecto, para Wittgenstein a final de cuentas
“Sólo en el flujo del pensamiento y de la vida tienen significado las palabras” (Wittgenstein, 1967: Sec. 173).
Por otra parte, las razones que da Wittgenstein en favor de dicho principio son diferentes de las que Frege ofrece. Para él, como ya señalamos, las proposiciones matemáticas forman sistemas, por lo que lo más absurdo para determinar su status sería considerarlas aisladamente.
Para Wittgenstein las proposiciones matemáticas forman sistemas, por lo que lo más absurdo para determinar su status sería considerarlas aisladamente
En matemáticas, una proposición/regla no integrada a un sistema de proposiciones/reglas no es más que una secuencia de signos enteramente asignificativa. En este contexto es sólo de una “proposición” que quedó demostrada, esto es, para la cual se construyó una prueba a través de la cual quedó integrada a un sistema, que decimos que es verdadera.
En matemáticas, una proposición/regla no integrada a un sistema de proposiciones/reglas no es más que una secuencia de signos enteramente asignificativa.
La demostración de una proposición/regla es lo que establece la conexión conceptual que posteriormente queda fija, es decir, se vuelve definitiva.
La demostración de una proposición/regla es lo que establece la conexión conceptual que posteriormente queda fija, es decir, que se vuelve definitiva.
Si hablamos de “sistemas”, hay que recordar la muy útil dicotomía que Wittgenstein introduce de <sistema versus totalidad>.
Las totalidades son empíricas: la de los niños de mi escuela, la de los habitantes de mi país, la de los árboles del planeta, la de los objetos del universo.
Los objetos de una totalidad están vinculados entre sí por relaciones externas, esto es, contingentes. En cambio, los elementos de los sistemas están conectados entre sí por relaciones internas, o sea, necesarias.
Los objetos de una totalidad están vinculados entre sí por relaciones externas, esto es, contingentes.
En cambio, los elementos de los sistemas están conectados entre sí por relaciones internas, o sea, necesarias.
Una investigación de una totalidad da lugar a una hipótesis. Se sigue que en matemáticas no hay hipótesis y la tesis de que sí las hay (conjeturas, por ejemplo) es uno de los blancos preferidos de Wittgenstein.
La conjetura de Goldbach, por ejemplo. No es una proposición matemática sino una regla de gramática para los juegos de lenguaje de los números pares y primos (por eso, dicho sea de paso, no es “demostrable”).
Esto está vinculado con la idea de que la única forma de tener proposiciones matemáticas es mediante sus respectivas demostraciones. Es a través de su prueba como una expresión escrita en el vocabulario de las matemáticas cómo ésta adquiere su verdadero sentido. Es la prueba lo que dice lo que la expresión matemática expresa. De ahí que mientras no haya prueba no hay proposición matemática, estrictamente hablando.
Es a través de su prueba como una expresión escrita en el vocabulario de las matemáticas cómo ésta adquiere su verdadero sentido.
Es la prueba lo que dice lo que la expresión matemática expresa.
De ahí que mientras no haya prueba no hay proposición matemática, estrictamente hablando.
Es intuitivamente obvio que los usuarios del lenguaje tienen que tener a su disposición toda una gama de mecanismos para corroborar o rechazar las afirmaciones que se hagan. Ahora bien, es evidente que el método de confirmación de lo que se diga tiene que estar de alguna manera conectado con su sentido.
Por ejemplo, no se confirma de la misma manera una afirmación sobre el surgimiento de una estrella que una afirmación referente a un sueño, lo cual indica que el sentido de las proposiciones que se hacen en astronomía es drásticamente diferente al sentido de las proposiciones que conforman la narrativa de un sueño y la diferencia, obviamente, no es de gramática superficial.
Pasa lo mismo con las matemáticas: éstas tiene su peculiar sentido y éste toma cuerpo a través de su mecanismo de confirmación, esto es, a través de su prueba, es decir, de lo que se reconoce como prueba estándar de la proposición/regla en cuestión (puede ser por sustituciones, por inducción, etc.).
En las matemáticas, tiene su peculiar sentido que toma cuerpo a través de su mecanismo de confirmación, esto es, a través de su prueba, es decir, de lo que se reconoce como prueba estándar de la proposición/regla en cuestión
Es claro que la proposición/regla puede quedar integrada dentro de un sistema sólo gracias a una demostración y es por eso que lo que ésta logra es precisamente dotarla de sentido. En matemáticas si no hay demostración entonces no hay proposición/regla matemática, propiamente hablando.
En matemáticas si no hay demostración entonces no hay proposición/regla matemática, propiamente hablando.
Lo que la proposición/regla dice es lo que su prueba exhibe.
Como dije más arriba, de hecho lo que la proposición/regla dice es lo que su prueba exhibe. Hay una conexión esencial entre la proposición/regla y su prueba, una conexión tal que si se rompe entonces la proposición/regla qua proposición matemática en cierto sentido se destruye, puesto que el sentido de la proposición está en la prueba misma, es decir, es el todo de las transiciones que culmina en ella.
Y aquí se genera una situación que en una primera instancia resulta un tanto paradójica, pero que una vez hechas las aclaraciones se vuelve perfectamente comprensible, a saber, que una expresión elaborada con signos matemáticos (lo que llamamos una ‘proposición/regla’) sin prueba no significa absolutamente nada, pero se vuelve significativa tan pronto se proporciona su prueba. Esto tiene, como veremos, muy importantes consecuencias.
Una expresión elaborada con signos matemáticos (lo que llamamos una ‘proposición/regla’) sin prueba no significa absolutamente nada, pero se vuelve significativa tan pronto se proporciona su prueba.
Una vez alcanzada la demostración de una proposición/regla ésta, por así decirlo, queda inscrita en el sistema y se vuelve inamovible; se convierte en un paradigma de acuerdo con el cual podemos empezar a hacer nuevos cálculos.
Una característica de los sistemas matemáticos es que una vez alcanzada la demostración de una proposición/regla ésta, por así decirlo, queda inscrita en el sistema y se vuelve inamovible. Lo que esto significa es que se convierte en un paradigma de acuerdo con el cual podemos empezar a hacer nuevos cálculos.
Pero para que ello suceda, y esto es de vital importancia, la prueba tiene que ser prístina, conspicua, reconocible como tal; en terminología de Wittgenstein, tiene que poder ser fácilmente examinable (surveyable), es decir, tenemos que tener de ella una representación sinóptica o perspicua (Übersichlichkeit).
la prueba tiene que ser prístina, conspicua, reconocible como tal: en terminología de Wittgenstein, tiene que poder ser fácilmente examinable (surveyable), es decir, tenemos que tener de ella una representación sinóptica o perspicua (Übersichlichkeit).
En matemáticas no puede haber pruebas borrosas, meramente probables, tentativas, etc. Una prueba no contundente no sirve para nada en matemáticas y hablando con mayor rigor simplemente no es una prueba.
Una prueba no contundente no sirve para nada en matemáticas y hablando con mayor rigor simplemente no es una prueba.
En matemáticas no puede haber meras “hipótesis”, no puede haber resultados meramente probables, porque las matemáticas no son estrictamente hablando una ciencia
Esto es comprensible: ya vimos que en matemáticas no puede haber meras “hipótesis”, no puede haber resultados meramente probables, porque las matemáticas no son estrictamente hablando una ciencia. Esto está directamente relacionado con las distinciones previamente trazadas entre “proposición/regla” e “hipótesis científica” y entre sistema y totalidad.
Esto está directamente relacionado con las distinciones previamente trazadas entre “proposición/regla” e “hipótesis científica” y entre sistema y totalidad
Las matemáticas tienen ese carácter normativo del que precisamente carecen las teorías científicas. Así, pues, si no me equivoco es más o menos el todo de la concepción corriente de las matemáticas lo que está mal y poco a poco se desmorona.
Las matemáticas tienen ese carácter normativo del que precisamente carecen las teorías científicas
La idea de que una prueba en matemáticas debe poder ser en todo momento inspeccionable coadyuva a hacer ver que el proyecto logicista es absurdo
La idea de que una prueba en matemáticas debe poder ser en todo momento inspeccionable coadyuva a hacer ver que el proyecto logicista es absurdo.
No hay nada más fácil que sumar mil y mil. El resultado es dos mil. Pero si tenemos que ofrecer la prueba de esa simple suma en el lenguaje russelliano vamos a necesitar un cuaderno completo para poder hacer la transcripción y en esas condiciones: ¿De qué sirve la supuesta “demostración”?
¿Quién nos puede asegurar que no nos equivocamos en alguna de las operaciones de la transcripción de la suma al lenguaje de la lógica y la teoría de conjuntos? ¿Cómo sabemos que no necesitamos una prueba para esa prueba?
Si eso pasa con una operación tan simple como la mencionada: ¿cómo sería una transcripción logicista de, e.g., una ecuación de segundo grado?
Peor aún: ¿no es justamente el hecho de que sepamos, de que estemos totalmente seguros de que llegamos al resultado correcto en una operación aritmética lo que nos asegura, lo que nos hace aceptar la idea de que la transcripción russelliana, asumiendo que es fiel, es una tautología?
Peor aún: ¿No es justamente el hecho de que sepamos, de que estemos totalmente seguros de que llegamos al resultado correcto en una operación aritmética lo que nos asegura, lo que nos hace aceptar la idea de que la transcripción russelliana, asumiendo que es fiel, es una tautología?
Pero si ello es así ¿cuál es el sentido de la fundamentación logicista de las matemáticas? Es claro que estamos en presencia de una profunda incomprensión.
Aquí vale la pena observar lo siguiente: una demostración lógica dentro de un cálculo cualquiera tiene exactamente las características que Wittgenstein reclama para las pruebas matemáticas.
Una demostración lógica dentro de un cálculo cualquiera tiene exactamente las características que Wittgenstein reclama para las pruebas matemáticas
El problema es cuando la técnica lógica es puesta al servicio de un programa filosófico desorientado (en este caso, de fundamentación de las matemáticas).
Lo que no se entiende son las relaciones entre los cálculos matemáticos y los cálculos lógicos. Que unos se puedan poner en conexión con otros de manera sistemática no significa que unos sirvan para “fundamentar” a otros.
Lo que no se entiende son las relaciones entre los cálculos matemáticos y los cálculos lógicos.
Que unos se puedan poner en conexión con otros de manera sistemática no significa que unos sirvan para “fundamentar” a otros.
Es la conexión lo que no se entiende y es por eso que Wittgenstein cuestiona la pretensión logicista. Sobre la idea espuria de metamatemática diré brevemente algo más abajo.
Es la conexión lo que no se entiende y es por eso que Wittgenstein cuestiona la pretensión logicista
Seguir una regla
Sin duda, en el núcleo de la filosofía wittgensteiniana de las matemáticas está su parte más original, viz., las consideraciones en torno a lo que es seguir una regla. Hasta donde logro ver, esta discusión es muy probablemente la única contribución en los últimos siglos de un tópico filosófico nuevo.
El tema es de primera importancia, puesto que lo que está en juego es el carácter objetivo de las matemáticas. Lo que aquí haré será ofrecer una presentación sintética de la argumentación wittgensteiniana, dejando de lado multitud de sutilezas de su planteamiento, recogido básicamente en las Investigaciones Filosóficas.
Para nuestros propósitos quizá la pregunta pertinente de arranque sea: ¿cómo dar cuenta de la objetividad de las matemáticas sin crear un mito filosófico al respecto?
¿Cómo dar cuenta de la objetividad de las matemáticas sin crear un mito filosófico al respecto?
La cuestión es: en matemáticas, en todos sus niveles, operamos con reglas, como por ejemplo las reglas para las operaciones elementales de la aritmética (sumar, restar, etc.). Es porque aplicamos estas reglas que obtenemos los resultados correctos.
Pero ¿cómo descubrimos e interiorizamos dichas reglas? Aquí respuestas en términos de intuiciones o inspiraciones son obviamente inaceptables.
El argumento definitivo en contra de las respuestas usuales es: una regla como la de la adición vale para un número infinito de casos
El argumento definitivo en contra de las respuestas usuales es: una regla como la de la adición vale para un número infinito de casos. Nadie ha realizado un número finito de operaciones, sino más bien un muy reducido número de aplicaciones de dicha regla. ¿Cómo entonces, sobre la base de un número finito de casos, se puede aprehender una regla que vale para un número infinito de ellos?
Nadie ha realizado un número finito de operaciones, sino más bien un muy reducido número de aplicaciones de dicha regla.
¿Cómo entonces, sobre la base de un número finito de casos, se puede aprehender una regla que vale para un número infinito de ellos?
Muy rápidamente puede hacerse ver que la respuesta en términos de flash mental, de aprehensión instantánea, de intuición trascendental, de sentido común, de inspiración divina sencillamente no sirven.
Pero entonces ¿cómo es que logramos aprehender reglas así?
Es obvio que las reglas de la aritmética, como cualesquiera otra regla (de gramática o de música, por ejemplo), nos son enseñadas. Nadie nace sabiendo nada. El primer paso en el proceso de interiorización de una regla es que a partir de cierto momento el aprendiz reaccione como los demás, esto es, como todos nosotros.
El primer paso en el proceso de interiorización de una regla es que a partir de cierto momento el aprendiz reaccione como los demás, esto es, como todos nosotros
Es sobre esa plataforma que se inicia el proceso que culmina en ‘¡Ya entendí!’ o en ‘Ya comprendió’. Aquí la noción de criterio se revela como decisiva, puesto que la oración ‘Ya entendí’ no es una descripción de nada, sino una interjección, la expresión del sentimiento de que la regla ya fue interiorizada y que ya puede uno seguir adelante por su cuenta. Por eso el que alguien diga que ya entendió no basta: necesitamos corroborarlo y para eso tenemos criterios.
El que alguien diga que ya entendió no basta: necesitamos corroborarlo y para eso tenemos criterios
En el caso de la suma nuestros criterios (los cuales, evidentemente, son compartidos por los usuarios de los juegos de lenguaje) son cosas como la resolución de ejercicios por parte del aprendiz, el hecho de que sume en muchas ocasiones correctamente, que pueda corregir a otros, etc. Y obviamente nada habría de más ridículo que a alguien se le ocurriera preguntar cosas ‘¿Cuándo aprendió ya el niño a sumar?’ o ‘¿cuántas operaciones tiene que hacer bien alguien para que digamos que ya comprendió?’.
La situación es obvia: es cuando ya en un número suficiente de casos hace las cosas bien, cuando puede corregir a otros y auto-corregirse, que entonces decimos del aprendiz que ya sabe sumar, que ya interiorizó la regla de la adición, que (por así decirlo) ya se dejó convencer por ella, es decir, que ya la aplica tal como los demás lo hacen.
En otras palabras: su educación progresó y ya reacciona como los usuarios normales del simbolismo en este contexto.
Es muy importante entender que el resultado de la regla no es una arbitrariedad, sino el resultado correcto. Lo correcto no es meramente lo que una comunidad lingüística determina. Este es el quid del asunto, es claro que para cada suma hay un número infinito de reglas que podría ofrecerse.
El resultado de la regla no es una arbitrariedad, sino el resultado correcto.
Lo correcto no es meramente lo que una comunidad lingüística determina.
No obstante, hay sólo una que es, por así decirlo, válida. Aquí nos topamos con la paradoja de Wittgenstein, una paradoja que él mismo plantea pero que tiene una resolución.
Aquí sí me voy a permitir citarlo in extenso. Dice Wittgenstein:
“Esta era nuestra paradoja: una regla no podría determinar ningún curso de acción, porque todo curso de acción podría hacerse concordar con una regla. La respuesta era: si todo se puede hacer concordar con la regla, entonces también se le puede hacer entrar en conflicto con ella. Por lo que no habría aquí ni acuerdo ni conflicto.
Que hay aquí una incomprensión se muestra en que en este ejercicio de pensamiento dimos interpretación tras interpretación; como si cada una de ellas por un momento nos dejara satisfechos, hasta que pensamos en otra interpretación que está detrás de ella. Con lo que ello mostramos es que hay un modo de aprehender una regla que no es una interpretación, sino que se exhibe de caso en caso de aplicación en lo que llamamos ‘obedecer la regla’’ e ‘ir en contra de ella’.
De ahí que haya una inclinación a decir: toda acción en concordancia con la regla es una interpretación. Pero sólo se debería llamar ‘interpretación’ a la sustitución de una expresión de la regla por otra”
(Wittgenstein, 1974: sec. 201).
O sea, hay una forma de usar una regla que es lo que llamamos ‘obedecer la regla’, ‘acatar la regla’, ‘actuar en concordancia con la regla’, etc.
La práctica misma de “seguir una regla” es posible porque se produce entre nosotros una “concordancia en reacciones”: es un hecho de la naturaleza que todos tendemos a reaccionar de la misma manera. Es sólo sobre la base de esa “concordancia” que se pueden generar los acuerdos, las convenciones, etc., por medio de las cuales las matemáticas se construyen y desarrollan.
Es un hecho de la naturaleza que todos tendemos a reaccionar de la misma manera. Es sólo sobre la base de esa “concordancia” que se pueden generar los acuerdos, las convenciones, etc., por medio de las cuales las matemáticas se construyen y desarrollan.
Así, el fundamento último de la idea de regla objetiva y correctamente aplicada son ciertos hechos brutos de la naturaleza humana y del mundo en general (los objetos no aparecen y desaparecen súbitamente, no se derriten y solidifican de manera sorpresiva, etc.), que son lo que permite que se gesten. Y esto, obviamente, no es un vulgar convencionalismo, como en algún momento lo sostuvo Dummett (Dummett, 1978).
El fundamento último de la idea de regla objetiva y correctamente aplicada son ciertos hechos brutos de la naturaleza humana y del mundo en general, que son lo que permite que se gesten.
Esto explica la expansión de las matemáticas: cuando se trabaja en matemáticas no se tienen visiones especiales, sino que simplemente lo que se hace es aplicar reglas, tal como las asimilamos e interiorizamos. No se necesita en lo absoluto apelar a entidades ideales fantásticas, procesos internos especiales ni nada que se les parezca.
No se necesita en lo absoluto apelar a entidades ideales fantásticas, procesos internos especiales ni nada que se les parezca.
Ciertamente puede haber ocasionalmente discrepancias entre matemáticos, pero lo cierto es que en general todos concordamos en los resultados. Desde esta perspectiva las cosas cobran sentido: las matemáticas son sistemas de técnicas de cálculo hechas posible gracias a que reaccionamos de las mismas formas frente a los mismos estímulos.
Las matemáticas son sistemas de técnicas de cálculo hechas posible gracias a que reaccionamos de las mismas formas frente a los mismos estímulos.
Las matemáticas constituyen una compleja práctica humana determinada, una práctica como la de comer, ayudar a alguien si está en peligro, etc. Calcular es algo que nosotros, los humanos, hacemos.
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Bibliografía
Dummett, M. (1978). “Wittgenstein’s Philosophy of Mathematics” en Truth and Other Enigmas, London: Duckworth.
Tomasini Bassols, A. (2006). Filosofía y Matemáticas: ensayos en torno a Wittgenstein, México: Plaza y Valdés.
Wittgenstein, L. (1967). Zettel, Oxford: Basil Blackwell.
__________ (1974). Philosophical Investigations, Oxford: Basil Blackwell.
__________ (1975). Remarks on the Foundations of Mathematics, London: The M.I.T. Press.
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LA FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (Parte 1)
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