{"id":2307834,"date":"2025-03-24T00:05:16","date_gmt":"2025-03-23T23:05:16","guid":{"rendered":"https:\/\/puntocritico.com\/ausajpuntocritico\/?p=2307834"},"modified":"2025-04-06T10:23:03","modified_gmt":"2025-04-06T08:23:03","slug":"la-filosofia-de-las-matematicas-del-segundo-wittgenstein-por-alejandro-tomasini-bassols-y-parte-3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/puntocritico.com\/ausajpuntocritico\/2025\/03\/24\/la-filosofia-de-las-matematicas-del-segundo-wittgenstein-por-alejandro-tomasini-bassols-y-parte-3\/","title":{"rendered":"LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (y Parte 3)"},"content":{"rendered":"

LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (Parte 1)<\/span><\/strong><\/a><\/p>\n

LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (Parte 2)<\/span><\/strong><\/a><\/p>\n\n

 <\/p>\n

\u00abNosotros sentimos que incluso si todas las posibles cuestiones cient\u00edficas pudieran responderse, el problema de nuestra vida no habr\u00eda sido m\u00e1s penetrado. <\/span><\/em><\/p>\n

Desde luego que no queda ya ninguna pregunta, y precisamente \u00e9sta es la respuesta\u00bb. <\/span><\/em><\/p>\n

(Wittgenstein, \u00abTractatus logico-philosophicus\u00bb, 6.52)<\/span><\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN<\/span><\/h2>\n

y Parte 3<\/span><\/strong><\/p>\n

En este trabajo empiezo por presentar y explicar las nociones clave de la filosof\u00eda del Wittgenstein maduro y que son las que le permiten articular su nueva concepci\u00f3n de las matem\u00e1ticas<\/span> (<\/span>\u201cjuego de lenguaje\u201d, \u201ccriterio\u201d, \u201cgram\u00e1tica\u201d y \u201csemejanzas de familia\u201d, b\u00e1sicamente<\/span>). <\/span><\/em><\/strong><\/p>\n

Acto seguido reconstruyo los puntos de vista desarrollados por Wittgenstein sobre los que son los temas primordiales en su meditaci\u00f3n, como la peculiar naturaleza de las proposiciones matem\u00e1ticas, el an\u00e1lisis del concepto de n\u00famero, el car\u00e1cter decisivo de las demostraciones, el rechazo del fundacionalismo<\/em> y en general de la metamatem\u00e1tica<\/em>, la cuesti\u00f3n de lo que es aplicar una regla y el tema general de las contradicciones. <\/span><\/strong><\/p>\n

Si mi exposici\u00f3n es fiel y acertada, emerge de la exposici\u00f3n un cuadro de las matem\u00e1ticas original y del cual quedaron excluidos los errores de las escuelas tradicionales de filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas.<\/span> <\/strong><\/p>\n

Alejandro Tomasini Bassol<\/span>s<\/span><\/a><\/p>\n

Universidad Nacional Aut\u00f3noma de M\u00e9xico<\/span><\/p>\n

\"LA
El Segundo Wittgenstein (Las investigaciones filos\u00f3ficas)<\/strong><\/a> Esta segunda fase tiene la peculiaridad de contradecir la primera. Afirma que no existe solo una l\u00f3gica, sino muchas<\/strong>. El significado de un t\u00e9rmino no depende s\u00f3lo de una proyecci\u00f3n mental, tambi\u00e9n de su uso social, es esa la condici\u00f3n que garantiza que sea entendida por los dem\u00e1s. <\/span><\/figcaption><\/figure>\n

*******<\/span><\/strong><\/p>\n

Implicaciones<\/strong><\/span><\/h3>\n

Lo que hemos presentado del cuadro que Wittgenstein<\/strong> pinta de las matem\u00e1ticas es realmente aclaratorio, pero en todo caso es una m\u00ednima parte de su trabajo y es b\u00e1sicamente preliminar. De lo que hemos dicho podemos extraer muchas moralejas y conclusiones importantes en relaci\u00f3n con toda una variedad de temas de filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas. <\/strong><\/span><\/p>\n

Aqu\u00ed dir\u00e9 unas cuantas palabras s\u00f3lo en relaci\u00f3n con tres<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

a) Rechazo de la metamatem\u00e1tica<\/strong><\/span><\/span><\/h4>\n

Si lo que dijo Wittgenstein<\/strong> acerca del car\u00e1cter de las ecuaciones<\/em>, de su vacuidad sem\u00e1ntica<\/em>, de su rol puramente normativo<\/em>, es acertado, se sigue que las matem\u00e1ticas no son ni pueden ser acerca de nada<\/strong>. <\/span><\/p>\n

A lo m\u00e1s que podemos asistir en el contexto de la ciencia de las t\u00e9cnicas de c\u00e1lculo<\/strong> es a la expansi\u00f3n de los c\u00e1lculos, a la invenci\u00f3n de nuevos c\u00e1lculos, pero lo que no podr\u00eda haber ser\u00eda un discurso matem\u00e1tico que versara sobre un c\u00e1lculo dado<\/strong>, puesto que en matem\u00e1ticas ni siquiera aparecen palabras (Tomasini<\/strong>, 2006<\/em>) (1)<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

A lo m\u00e1s que podemos asistir en el contexto de la ciencia de las t\u00e9cnicas de c\u00e1lculo es a la expansi\u00f3n de los c\u00e1lculos, a la invenci\u00f3n de nuevos c\u00e1lculos, pero lo que no podr\u00eda haber ser\u00eda un discurso matem\u00e1tico que versara sobre un c\u00e1lculo dado, puesto que en matem\u00e1ticas ni siquiera aparecen palabras.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Por eso son tan peligrosas las reconstrucciones verbales de los resultados simb\u00f3licos<\/strong>, porque lo \u00fanico que se puede hacer al hablar de una proposici\u00f3n<\/em> <\/strong>(digamos, la conclusi\u00f3n de un razonamiento<\/em>) es considerarla formalmente<\/strong> (esto es, describir su estructura,\u00a0<\/em><\/span>sus partes, etc.<\/em>). <\/span>Pero no se describen todos los pasos del procedimiento gracias al cual se lleg\u00f3 a ella<\/strong>, sino solamente lo que nos parece que \u201cdice<\/em>\u201d<\/strong>, cuando lo que dice s\u00f3lo puede comprenderse si se conoce su prueba<\/em><\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

La Proposici\u00f3n no describe todos los pasos del procedimiento gracias al cual se lleg\u00f3 a ella, sino solamente lo que nos parece que \u201cdice<\/em>\u201d, cuando lo que dice s\u00f3lo puede comprenderse si se conoce su prueba.<\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\u00c9sta, sin embargo, tiene una multiplicidad l\u00f3gica<\/em> que dif\u00edcilmente se conserva cuando las matem\u00e1ticas son expuestas \u201cen prosa<\/em>\u201d. Lo que importa de un c\u00e1lculo es que sus \u201cproposiciones<\/em>\u201d est\u00e9n<\/strong> justificadas por la aplicaci\u00f3n de reglas<\/strong>, no por las \u201cexplicaciones<\/em>\u201d externas que se puedan articular.\u00a0<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Lo que importa de un c\u00e1lculo es que sus \u201cproposiciones<\/em>\u201d est\u00e9n justificadas por la aplicaci\u00f3n de reglas, no por las \u201cexplicaciones<\/em>\u201d externas que se puedan articular.\u00a0<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

Aqu\u00ed quiz\u00e1 valdr\u00eda la pena hacer una aclaraci\u00f3n<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Wittgenstein<\/strong>, como vimos, no pretende erigirse en juez de resultados matem\u00e1ticos<\/strong>. Si alguien inventa un c\u00e1lculo no hay nada que objetar, a menos de que, por ejemplo<\/em>, aplique mal las reglas de inferencia o que su construcci\u00f3n presente alguna clase de falla.\u00a0<\/span><\/p>\n

Lo que Wittgenstein<\/strong> cuestiona es la interpretaci\u00f3n filos\u00f3fica de esos nuevos c\u00e1lculos y en particular la idea de que por medio de ellos se resuelven problemas filos\u00f3ficos<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Lo que Wittgenstein cuestiona es la interpretaci\u00f3n filos\u00f3fica de esos nuevos c\u00e1lculos y en particular la idea de que por medio de ellos se resuelven problemas filos\u00f3ficos.<\/span> <\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Lo que es equ\u00edvoco aqu\u00ed es quiz\u00e1 la expresi\u00f3n misma \u2018metamatem\u00e1tica<\/em><\/strong><\/a>\u2019, porque da la impresi\u00f3n de que los c\u00e1lculos matem\u00e1ticos mismos pueden referirse a c\u00e1lculos matem\u00e1ticos de orden inferior<\/strong>, en el mismo sentido en que podemos en espa\u00f1ol hablar del franc\u00e9s, y eso simplemente no es el caso<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Lo que hace quien hace metamatem\u00e1tica<\/em> <\/strong>es simplemente elaborar nuevos c\u00e1lculos<\/strong>, es decir, establecer nuevos (diferentes<\/em>) sistemas de reglas<\/strong>, reglas para la construcci\u00f3n de c\u00e1lculos o de sistemas formales, por ejemplo<\/em>. <\/span><\/p>\n

Pero no es que haya \u201creferencia<\/em>\u201d a los c\u00e1lculos matem\u00e1ticos<\/strong>. Aqu\u00ed quiz\u00e1 lo que nos confunde es el paralelismo con el lenguaje natural, en el que podemos hablar en espa\u00f1ol del espa\u00f1ol. <\/span><\/p>\n

Pero precisamente es por ser \u201csem\u00e1nticamente<\/em> cerrado<\/em>\u201d que los l\u00f3gicos critican el lenguaje natural<\/strong>, por lo que no resulta prima facie<\/em> comprensible que no acaten sus propias objeciones en el caso de las matem\u00e1ticas y la metamatem\u00e1tica<\/strong>: <\/span><\/p>\n

\n

\u00bfacaso no tendr\u00edamos que decir que las matem\u00e1ticas son \u201csem\u00e1nticamente<\/em> cerradas<\/em>\u201d si las matem\u00e1ticas pudieran referirse a las matem\u00e1ticas?<\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"
Las palabras ya no sirven s\u00f3lo para describir el mundo, tienen otras funciones o usos: mandar, suplicar, explicar, saludar, agradecer, etc, El lenguaje es una forma de conducta, una forma de vida Para entender una palabra hay que saber como se usa dentro de sus \u00abjuegos\u00bb. En vez de estudiar un lenguaje ideal, interesa mas estudiar el lenguaje ordinario. <\/span><\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

Pero, una vez m\u00e1s, el problema no est\u00e1 en los nuevos c\u00e1lculos mismos<\/strong>, los cuales est\u00e1n perfectamente en orden, sino en su lectura<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

El problema no est\u00e1 en los nuevos c\u00e1lculos mismos, los cuales est\u00e1n perfectamente en orden, sino en su lectura<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Por otra parte, Wittgenstein<\/strong> ten\u00eda en la mira ante todo la idea de que por medio de la l\u00f3gica se puede componer (o descomponer<\/em>) algo en las matem\u00e1ticas<\/strong>. Esto me lleva a un punto importante.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Wittgenstein ten\u00eda en la mira ante todo la idea de que por medio de la l\u00f3gica se puede componer (o descomponer<\/em>) algo en las matem\u00e1ticas.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

El tema de la posibilidad o imposibilidad de la<\/strong> metamatem\u00e1tica<\/strong> <\/em>(pensando ante todo en la l\u00f3gica<\/em>) est\u00e1 obviamente vinculado a otros, de los que brota, por lo que realmente la cuesti\u00f3n podr\u00eda dirimirse s\u00f3lo si consideramos esos otros \u201cproblemas<\/em>\u201d<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Un problema as\u00ed es, obviamente, el de las contradicciones en los fundamentos de las matem\u00e1ticas<\/strong>. Sobre este intrincado tema har\u00e9 aqu\u00ed tan s\u00f3lo unos cuantos recordatorios.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"
Es evidente el intento de Wittgenstein por integrar el lenguaje a las relaciones sociales, al uso que hacen los hablantes. Esto nos sugiere cierto pragmatismo, el cual ser\u00eda la principal caracter\u00edstica del lenguaje.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

b) Contradicciones<\/strong><\/span><\/h4>\n

Quiz\u00e1 lo primero que en este caso deba hacerse sea hacer un par de aclaraciones a manera de pre\u00e1mbulo<\/em> para la presentaci\u00f3n de alguna l\u00ednea de pensamiento de Wittgenstein<\/strong> en relaci\u00f3n con las paradojas<\/em> <\/strong>y las contradicciones<\/em><\/strong>. <\/span><\/p>\n

En primer lugar<\/em>, el objetivo de Wittgenstein<\/strong> es, por as\u00ed decirlo, comprender el significado y la importancia de las contradicciones<\/em><\/strong>, no pretender ofrecer un tratamiento correctivo proponiendo alg\u00fan formalismo nuevo con tales o cuales caracter\u00edsticas; en segundo lugar<\/em>, ser\u00eda un error inmenso interpretar esto como una especie de defensa o promoci\u00f3n de las contradicciones<\/strong><\/em>.\u00a0<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Esto es algo que, haciendo una tergiversaci\u00f3n f\u00e1cil de algunas afirmaciones wittgensteinianas<\/strong> <\/em>consideradas aisladamente, se podr\u00eda querer inferir. Con esta advertencia en mente podemos pasar a reconstruir algunas de sus l\u00edneas de pensamiento<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

A Wittgenstein siempre le llam\u00f3 la atenci\u00f3n lo que \u00e9l ve\u00eda como un \u201cterror supersticioso<\/em>\u201d hacia las contradicciones por parte de los matem\u00e1ticos y los l\u00f3gicos<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Es un hecho que a Wittgenstein<\/strong> siempre le llam\u00f3 la atenci\u00f3n lo que \u00e9l ve\u00eda como un \u201cterror supersticioso<\/em>\u201d hacia las contradicciones por parte de los matem\u00e1ticos y los l\u00f3gicos<\/strong>. Desde luego que \u00e9stas representan un problema, pero lo que no est\u00e1 en lo m\u00e1s m\u00ednimo claro es en qu\u00e9 sentido. El tratamiento tradicional, ejemplificado a la perfecci\u00f3n en la teor\u00eda de conjuntos, ilustra muy bien la cuesti\u00f3n<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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\n

La historia es bien conocida: <\/span><\/strong><\/p>\n

Russell le presenta su paradoja<\/em> por carta a Frege con lo cual le hace ver que su sistema es inconsistente y que, por lo tanto, contiene una paradoja<\/em>. Russell, quien de manera independiente desarrolla un programa muy semejante al de Frege, intenta dar soluci\u00f3n al problema de la paradoja<\/em>, la cual concierne sobre todo a la fundamental noci\u00f3n de clase<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

La historia es bien conocida<\/strong>: <\/span><\/p>\n

Russell<\/strong><\/a> le presenta su paradoja<\/em><\/strong><\/a> por carta a Frege<\/strong><\/a> con lo cual le hace ver que su sistema es inconsistente y que, por lo tanto, contiene una paradoja<\/em><\/strong>. Russell<\/strong>, quien de manera independiente desarrolla un programa muy semejante al de Frege<\/strong>, intenta dar soluci\u00f3n al problema de la paradoja<\/em><\/strong>, la cual concierne sobre todo a la fundamental noci\u00f3n de clase<\/strong><\/a>, mediante su muy alambicada Teor\u00eda de los Tipos L\u00f3gicos<\/strong><\/em>.<\/span><\/p>\n

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\"\"<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

La reconstrucci\u00f3n russelliana<\/em> de las matem\u00e1ticas resuelve el problema de la paradoja<\/strong> pero, por razones en las que aqu\u00ed no entraremos, a un costo tanto t\u00e9cnica como filos\u00f3ficamente excesivo, por lo que de hecho termina igualmente en un fracaso<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Ahora bien, uno de sus elementos fundamentales, viz., la teor\u00eda de conjuntos<\/strong><\/em>, es por as\u00ed decirlo reformateado por Zermelo<\/strong><\/a>, esto es, queda debidamente axiomatizada<\/strong> <\/em>de manera que se bloquea el mecanismo de producci\u00f3n de paradojas<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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La idea y el proceder subyacentes podr\u00edan quedar presentados como sigue: en el juego de lo que se conoce como \u2018teor\u00eda de conjuntos\u2019<\/em>, ciertas combinaciones de signos son ileg\u00edtimas y quedan proscritas. <\/span><\/strong><\/p>\n

La idea de axiomatizaci\u00f3n<\/em> posteriormente se apodera de los matem\u00e1ticos quienes la convierten en el objetivo supremo de su tarea qua matem\u00e1ticos.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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\"\"
Wittgenstein<\/strong> defiende su teor\u00eda partiendo de lo siguiente: \u00bfC\u00f3mo aprende a hablar un beb\u00e9? Aprende simplemente viviendo, conviviendo con su familia<\/strong>. \u00abTodo el proceso del uso de palabras (…) es uno de esos juegos por medio de los cuales aprenden los ni\u00f1os su lengua materna. Llamaremos a estos juegos juegos del lenguaje<\/em>\u00ab.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

\u00bfC\u00f3mo se logra esto? B\u00e1sicamente, mediante una serie de estipulaciones<\/strong>. La idea y el proceder subyacentes podr\u00edan quedar presentados como sigue: en el juego<\/strong> de lo que se conoce como \u2018teor\u00eda de conjuntos<\/em><\/strong>\u2019, ciertas combinaciones de signos son ileg\u00edtimas y quedan proscritas<\/strong>. <\/span><\/p>\n

La idea de axiomatizaci\u00f3n posteriormente se apodera de los matem\u00e1ticos quienes la convierten en el objetivo supremo de su tarea qua matem\u00e1ticos<\/strong>. La axiomatizaci\u00f3n<\/strong> <\/em>de las matem\u00e1ticas, esto es, de cada teor\u00eda dentro de cada rama de las matem\u00e1ticas, ofrece a no dudarlo diversas ventajas, pero la mayor parecer\u00eda ser sin duda que quedamos blindados frente a las contradicciones<\/strong>, las cuales quedan excluidas sistem\u00e1ticamente<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

La axiomatizaci\u00f3n <\/em>de las matem\u00e1ticas, esto es, de cada teor\u00eda dentro de cada rama de las matem\u00e1ticas, ofrece a no dudarlo diversas ventajas, pero la mayor parecer\u00eda ser sin duda que quedamos blindados frente a las contradicciones, las cuales quedan excluidas sistem\u00e1ticamente<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Independientemente del inmenso impulso que recibieron las ciencias formales gracias a programas como el reci\u00e9n mencionado, la pregunta sigue en el aire<\/strong>: <\/span><\/p>\n

\n

\u00bfCu\u00e1l es realmente el problema que plantean las contradicciones?<\/strong><\/span><\/p>\n

\u00bfDe d\u00f3nde viene ese temor tan grande de que se demuestre que un sistema, un c\u00e1lculo, es inconsistente?<\/strong><\/span><\/p>\n

\u00bfPor qu\u00e9 tanto temor a la aparici\u00f3n de una contradicci\u00f3n?<\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
WITTGENSTEIN Y LA FILOSOF\u00cdA DE LA MATEM\u00c1TICA <\/span><\/a><\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

La posici\u00f3n de Wittgenstein<\/strong> a este respecto es no s\u00f3lo original, sino interesante per se, inclusive si fuera equivocada, lo cual no creo. Pregunt\u00e9monos: en verdad \u00bfpor qu\u00e9 nos preocupa tanto una contradicci\u00f3n? <\/strong><\/span><\/p>\n

El lenguaje natural, por ejemplo, es (en el sentido que importa a los l\u00f3gicos<\/em>) contradictorio, puesto que incorpora a la paradoja del mentiroso, por lo que de seguro que podr\u00edamos encontrarnos con un mentiroso que afirmara que todo lo que dice es falso y que por lo tanto todo lo que dice es verdad, lo cual implica que lo que dice es falso, luego es verdad<\/em>, etc., y que as\u00ed pasara d\u00edas y noches, teniendo a la l\u00f3gica de su lado. <\/span><\/p>\n

Obviamente, esa situaci\u00f3n a primera vista posible en el fondo es irreal, pero \u00bfqu\u00e9 har\u00edamos si alguien se condujera ling\u00fc\u00edsticamente de esa manera?<\/strong> A m\u00ed me parece que simplemente ignorar\u00edamos lo que el sujeto en cuesti\u00f3n dijera, puesto que estar\u00edamos conscientes de que el tener un lenguaje sem\u00e1nticamente abierto no lo afecta ni un \u00e1pice y nos sigue siendo tan \u00fatil como siempre<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"
La proposici\u00f3n significativa, tendr\u00e1 sentido si representa un estado de cosas l\u00f3gicamente posible. Para lo cual es imprescindible que los nombres que aparecen en una proposici\u00f3n refieran a ciertos objetos del mundo. Una proposici\u00f3n con sentido figura un estado de cosas posible; para que la proposici\u00f3n sea verdadera, el hecho que debe describir debe darse efectivamente, si el hecho descrito no se da, entonces la proposici\u00f3n es falsa, pero sea falsa o verdadera, la proposici\u00f3n tiene sentido por que describe un estado de cosas posible.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

Ahora bien, dado que lo que nos interesa son los peligros que entra\u00f1an las contradicciones en los lenguajes matem\u00e1ticos o formales m\u00e1s en general<\/strong>, nuestra pregunta es entonces: <\/span><\/p>\n

\n

\u00bfpodr\u00edamos reaccionar del mismo modo cuando en lugar de una paradoja en el lenguaje natural nos top\u00e1ramos con una en un c\u00e1lculo?<\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\u00bfPor qu\u00e9 s\u00ed o por qu\u00e9 no? <\/span><\/p>\n

Una contradicci\u00f3n no tiene en s\u00ed misma nada de excepcional<\/strong>. Es simplemente una f\u00f3rmula de la forma \u2018(p & ~ p)<\/em>\u2019. \u00bfPor qu\u00e9 no podr\u00eda ser el caso que, si en un c\u00e1lculo de pronto nos topamos con una f\u00f3rmula as\u00ed, exclam\u00e1ramos: \u2018mira qu\u00e9 curioso.\u00a0<\/em><\/span>Una contradicci\u00f3n<\/strong><\/em>\u2019 y simplemente la ignor\u00e1ramos y sigui\u00e9ramos adelante?<\/span><\/p>\n

\u00bfO no podr\u00eda darse el caso de que inclusive pudi\u00e9ramos querer generar una contradicci\u00f3n<\/strong><\/em>, por ejemplo como una curiosidad muy especial o, como sugiere Wittgenstein<\/strong>, para hacer ver que en el fondo nada en este mundo es totalmente cierto? <\/strong><\/span><\/p>\n

En todo caso, lo que parece incuestionable es que urge cambiar nuestra actitud hacia la contradicci\u00f3n y dejar de lado el horror que invade a los matem\u00e1ticos y a los l\u00f3gicos<\/strong>. Esto por una parte.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Lo que parece incuestionable es que urge cambiar nuestra actitud hacia la contradicci\u00f3n y dejar de lado el horror que invade a los matem\u00e1ticos y a los l\u00f3gicos.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

En segundo lugar, podemos preguntarnos: \u00bfqu\u00e9 pasar\u00eda si, per impossibile<\/em>, se demostrara que las matem\u00e1ticas actuales son inconsistentes?<\/strong>\u00bfEmpezar\u00edan a caerse los aviones, se derrumbar\u00edan los puentes o habr\u00eda que demoler los edificios que los ingenieros construyeron por medio de ella? Eso suena\u00a0<\/span>fant\u00e1stico, por no decir declaradamente absurdo. <\/span><\/p>\n

Por otra parte, \u00bfes seguro que no podr\u00eda un ingeniero usar un sistema formal inconsistente y que cada vez que apareciera una contradicci\u00f3n simplemente la ignorara o la hiciera a un lado? <\/strong><\/span><\/p>\n

La situaci\u00f3n ser\u00eda semejante a la siguiente: <\/span><\/p>\n

\n

queremos jugar ajedrez y alguien introduce la regla de que la reina tambi\u00e9n se mueve como el caballo, s\u00f3lo que se trata de una regla a la que de hecho nunca se recurre. \u00bfNo estar\u00edamos entonces jugando ajedrez? No parece haber razones para decir algo as\u00ed.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Por otra parte, qu\u00e9 pasar\u00eda si hubiera un sistema que fuera contradictorio, que nadie hiciera caso de las contradicciones que aparecieran<\/strong> y que cuando alguien se dedicara a producirlas la respuesta usual fuera: <\/span><\/p>\n

\n

\u2018No seas ocioso! Ded\u00edcate a expandir el sistema, no a divertirte buscando f\u00f3rmulas que no sirven para nada<\/em>\u2019.<\/span> <\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Pero si ello efectivamente fuera as\u00ed: \u00bfen d\u00f3nde est\u00e1, en qu\u00e9 consistir\u00eda realmente el problema con las contradicciones? <\/strong><\/span><\/p>\n

Me parece que podemos presentar, parcialmente al menos, el punto de vista de Wittgenstein<\/strong> siguiendo con la analog\u00eda del ajedrez y la nueva regla<\/strong>. El problema no es tanto la jugada extra\u00f1a misma, sino m\u00e1s bien que simplemente no sabemos cu\u00e1ndo uno de los jugadores va a querer servirse de la nueva regla. <\/span><\/p>\n

El problema es, m\u00e1s que otra cosa, que con una regla as\u00ed se desquicia nuestra idea de juego de ajedrez<\/strong>. Y es eso lo que no podemos permitir, porque entonces lo que se violentado es nuestra idea misma de c\u00e1lculo<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Dejar\u00edamos de saber si estamos trabajando en un c\u00e1lculo o en una teor\u00eda emp\u00edrica<\/strong>, por ejemplo. Wittgenstein<\/strong> expresa la idea como sigue: <\/span><\/p>\n

\n

\u201c\u00bfPodr\u00eda decirse: \u2018La contradicci\u00f3n es inocua si se le puede sellar\u2019? <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

Y \u00bfqu\u00e9 nos impide que la sellemos? Que no nos reconocemos en el c\u00e1lculo. Luego ese es el problema. <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

Y eso es lo que se quiere decir cuando se dice: la contradicci\u00f3n muestra que hay algo que no est\u00e1 en orden en nuestro c\u00e1lculo.<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

Es simplemente el s\u00edntoma local de una enfermedad de todo el cuerpo. Pero el cuerpo est\u00e1 enfermo s\u00f3lo si no nos reconocemos\u201d <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

(Wittgenstein, 1975: 104).<\/span> <\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"
La figura l\u00f3gica de los hechos es el pensamiento Entonces, el pensamiento es una proposici\u00f3n con sentido. De este modo, si algo es pensable ha de ser tambi\u00e9n posible. El pensamiento es una representaci\u00f3n de la realidad y esta se puede describir con el lenguaje descriptivo. Como consecuencia de lo anterior podemos determinar que podemos hablar con sentido y de que no podemos hablar. Podemos hablar, (verdad o falsedad) siempre y cuando utilicemos el lenguaje para figurar estados de cosas o hechos posibles en el mundo. Solo es posible hablar con sentido de la realidad. \u201cSolo la ciencia es capaz de decir algo con sentido\u201d. <\/span><\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

\n

Lo que la contradicci\u00f3n echa por tierra es nuestra noci\u00f3n de c\u00e1lculo como un sistema de signos construido a base de pruebas, un sistema de reglas que establecemos de manera definitiva. <\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

No es, pues, la contradicci\u00f3n en s\u00ed misma lo que es peligroso. <\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

Lo que sucede es que una contradicci\u00f3n en el contexto de disciplinas como las matem\u00e1ticas, la l\u00f3gica o la teor\u00eda de conjuntos indica que hay opciones respecto a la aplicaci\u00f3n de las reglas<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

O sea, lo que la contradicci\u00f3n echa por tierra es nuestra noci\u00f3n de c\u00e1lculo como un sistema de signos construido a base de pruebas, un sistema de reglas que establecemos de manera definitiva, en relaci\u00f3n con las cuales no hay titubeos de ninguna \u00edndole, etc. No es, pues, la contradicci\u00f3n en s\u00ed misma lo que es peligroso<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Lo que sucede es que una contradicci\u00f3n en el contexto de disciplinas como las matem\u00e1ticas, la l\u00f3gica o la teor\u00eda de conjuntos indica que hay opciones respecto a la aplicaci\u00f3n de las reglas<\/strong>. Eso significa que nuestra idea de lo que es un c\u00e1lculo se vio afectada y ello a su vez entra\u00f1a cambios y reajustes conceptuales que no estamos preparados para hacer<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

No podemos darnos el lujo de confundir reglas con proposiciones, sistemas con totalidades, investigaci\u00f3n emp\u00edrica con creaci\u00f3n conceptual. <\/strong><\/span><\/p>\n

No es, pues, por consideraciones abstractas sobre la maldad intr\u00ednseca de\u00a0<\/span>las contradicciones ni por peligros te\u00f3ricos o formales que la contradicci\u00f3n plantea un problema.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

No podemos darnos el lujo de confundir reglas con proposiciones, sistemas con totalidades, investigaci\u00f3n emp\u00edrica con creaci\u00f3n conceptual<\/strong>. No es, pues, por consideraciones abstractas sobre la maldad intr\u00ednseca de\u00a0<\/span>las contradicciones ni por peligros te\u00f3ricos o formales que la contradicci\u00f3n plantea un problema. <\/span><\/p>\n

Lo que he presentado no es m\u00e1s que una l\u00ednea de pensamiento de las muchas desarrolladas por Wittgenstein<\/strong> en torno al tema de las contradicciones<\/em> <\/strong>y las paradojas<\/em><\/strong>. No podemos hacer otra cosa en una exposici\u00f3n de estas magnitudes. <\/span><\/p>\n

En todo caso, es claro que las perplejidades que las contradicciones generan en nosotros no se despejan mediante la construcci\u00f3n de c\u00e1lculos cada vez m\u00e1s complejos y sofisticados<\/strong>. <\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Las perplejidades que las contradicciones generan en nosotros no se despejan mediante la construcci\u00f3n de c\u00e1lculos cada vez m\u00e1s complejos y sofisticados<\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Ciertamente, la funci\u00f3n del fil\u00f3sofo no es trabajar dentro del c\u00e1lculo, sino m\u00e1s bien comprenderlo<\/strong>, situ\u00e1ndolo por as\u00ed decirlo en conexi\u00f3n con resto de nuestros conceptos<\/strong> y examinando el modus operandi<\/em> de sus conceptos, el status de sus afirmaciones, etc. <\/span><\/p>\n

En todo caso, me parece justo afirmar que lo que podr\u00edamos denominar la \u2018concepci\u00f3n antropol\u00f3gica de la contradicci\u00f3n<\/em>\u2019 es con mucho de lo m\u00e1s esclarecedor que hay en la literatura sobre el tema.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Lo que podr\u00edamos denominar la \u2018concepci\u00f3n antropol\u00f3gica de la contradicci\u00f3n<\/em>\u2019 es con mucho de lo m\u00e1s esclarecedor que hay en la literatura sobre el tema<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"
No existe un lenguaje, sino que hay varios<\/strong>. \u201cLO QUE LLAMAMOS LENGUAJE SON \u201cJUEGOS DE LENGUAJE\u201d , LOS CUALES VARIAN SEG\u00daN LA SITUACION EN LA QUE SE ENCUENTRA EL HOMBRE<\/em>\u201d. Ludwig Wittgenstein (Investigaciones filos\u00f3ficas<\/em>)<\/strong>.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

c) Clases de n\u00fameros<\/strong><\/span><\/h4>\n

Que la filosof\u00eda del lenguaje es decisiva para el todo de la filosof\u00eda de Wittgenstein<\/strong>, y en particular para su filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas, es algo que dejan en claro sus reflexiones sobre los n\u00fameros<\/strong>. Esto es as\u00ed porque el exitoso tratamiento de diversos fen\u00f3menos ling\u00fc\u00edsticos puede posteriormente extenderse al caso de los n\u00fameros, inter alia<\/em>. Veamos r\u00e1pidamente de qu\u00e9 se trata. <\/span><\/p>\n

La perspectiva praxiol\u00f3gica<\/strong> <\/em>del lenguaje se articula en t\u00e9rminos de la noci\u00f3n de juegos de lenguaje y de movimientos en ellos<\/strong>. Desde este punto de vista, el significado de una palabra sigue siendo su contribuci\u00f3n al sentido<\/strong> <\/em>del movimiento ling\u00fc\u00edstico que se haga y aunque un elemento de ostensi\u00f3n deba estar involucrado, el sentido<\/em> <\/strong><\/a>brota o se deriva no de la mera referencia<\/strong><\/em><\/a> sino de la naturaleza del juego de lenguaje<\/strong> de que se trate.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Desde la perspectiva praxiol\u00f3gica<\/em> del lenguaje, el sentido<\/em> brota o se deriva, no de la mera referencia <\/em>,sino de la naturaleza del juego de lenguaje de que se trate. <\/span><\/strong><\/p>\n

Es el juego de lenguaje lo que determina la clase de movimiento que se hace, no al rev\u00e9s.<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

Es el juego de lenguaje<\/strong> lo que determina la clase de movimiento que se hace, no al rev\u00e9s. Por ejemplo<\/em>, la expresi\u00f3n \u2018el perro<\/em>\u2019, acerca de la cual Russell<\/strong> nos ense\u00f1\u00f3 que cuando forma parte de una oraci\u00f3n no es un nombre sino una expresi\u00f3n existencial encriptada<\/strong>, aunque evidentemente asociada con el animal que llamamos \u2018perro<\/em>\u2019, tiene significados diferentes si los movimientos que se hacen son de o en juegos de lenguaje diferentes<\/strong>. <\/span><\/p>\n

As\u00ed, por ejemplo<\/em>, \u2018perro<\/em>\u2019 o \u2018el perro<\/em>\u2019 no significa lo mismo en:<\/strong> <\/span><\/p>\n

\n

a. el perro es un mam\u00edfero (verdad cient\u00edfica<\/em>) <\/span><\/strong><\/p>\n

b. el perro de mi vecino me acus\u00f3 con el maestro (insulto<\/em>) <\/span><\/strong><\/p>\n

c. el perro de mi t\u00eda me mordi\u00f3 (descripci\u00f3n<\/em>) <\/span><\/strong><\/p>\n

d. \u201cPor el perro, vengo ma\u00f1ana a verte\u201d (juramento<\/em>) <\/span><\/strong><\/p>\n

e. \u201cEl perro andaluz\u201d es la mejor pel\u00edcula de Bu\u00f1uel (nombre propio)\u00a0<\/em><\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Desde la perspectiva de Wittgenstein y contrariamente a c\u00f3mo normalmente se procede, no pasamos de los significados de las partes componentes a la expresi\u00f3n completa sino al rev\u00e9s: del sentido total de la expresi\u00f3n al significado de sus componentes.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Dicho de manera esquem\u00e1tica y poco fina, lo cierto es que desde la perspectiva de Wittgenstein<\/strong> y contrariamente a c\u00f3mo normalmente se procede, no pasamos de los significados de las partes componentes a la expresi\u00f3n completa sino al rev\u00e9s: del sentido total de la expresi\u00f3n al significado de sus componentes<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

El significado de las partes componentes es una funci\u00f3n de lo que se dice y esto \u00faltimo puede ser de lo m\u00e1s variado<\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

La raz\u00f3n es simple: el significado de las partes componentes es una funci\u00f3n de lo que se dice y esto \u00faltimo puede ser de lo m\u00e1s variado<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Ahora bien, independientemente de cu\u00e1l sea el juego de lenguaje <\/em><\/strong>en el que participemos, de todos modos los movimientos que hagamos quedan revestidos con un mismo uniforme<\/strong>, a saber, la estructura que impone la gram\u00e1tica superficial<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Esto es lo que nos confunde, pues autom\u00e1ticamente borra las distinciones entre juegos de lenguaje<\/em>, y nos obliga a hablar en t\u00e9rminos de estructuras, de componentes y de proposiciones. <\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

De esta manera se unifican bajo el rubro \u2018proposici\u00f3n<\/em>\u2019 m\u00faltiples movimientos que desde el punto de vista del funcionamiento del lenguaje no tienen pr\u00e1cticamente nada en com\u00fan.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Como ya sabemos, esto es lo que nos confunde<\/strong>, pues autom\u00e1ticamente borra las distinciones entre juegos de lenguaje<\/strong><\/em>, y nos obliga a hablar en t\u00e9rminos de estructuras, de componentes y de proposiciones. De esta manera se unifican bajo el rubro \u2018proposici\u00f3n<\/strong><\/em>\u2019 m\u00faltiples movimientos que desde el punto de vista del funcionamiento del lenguaje no tienen pr\u00e1cticamente nada en com\u00fan. <\/span><\/p>\n

La filosof\u00eda del \u00faltimo Wittgenstein<\/strong> constituye un mecanismo para rescatar el sentido<\/em> <\/strong>de las garras de las formas gramatical y l\u00f3gica.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

La filosof\u00eda del \u00faltimo Wittgenstein constituye un mecanismo para rescatar el sentido<\/em> de las garras de las formas gramatical y l\u00f3gica.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"
\u00abEl lenguaje es como una pintura de la realidad<\/em>\u00bb (Tractatus l\u00f3gico-philosophicus)<\/strong>. Reconstruimos una copia de la estructura l\u00f3gica de la realidad que nos permite conocerla y hablar sobre ella. Hay una correspondencia mundo-lenguaje l\u00f3gico. Una proposici\u00f3n es una figura, dibujo o representaci\u00f3n de un hecho. Se da un isomorfismo El pensamiento es la pintura l\u00f3gica de los hechos. La gu\u00eda para comprender el mundo est\u00e1 en la l\u00f3gica. <\/span><\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

Vale la pena observar que lo que pasa en el contexto de las proposiciones <\/em>pasa tambi\u00e9n en otros contextos<\/strong>. Consideremos r\u00e1pidamente el de los n\u00fameros<\/strong><\/em>. El hecho de que tengamos la categor\u00eda general \u201cn\u00famero<\/em>\u201d autom\u00e1ticamente nos induce a incluir en ella a \u201ccosas<\/em>\u201d que son dr\u00e1sticamente diferentes.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

El hecho de que tengamos la categor\u00eda general \u201cn\u00famero<\/em>\u201d autom\u00e1ticamente nos induce a incluir en ella a \u201ccosas<\/em>\u201d que son dr\u00e1sticamente diferentes. <\/span><\/strong><\/p>\n

La idea de n\u00famero est\u00e1 asociada en primer t\u00e9rmino con la idea de n\u00famero natural<\/em>. Lo que con los n\u00fameros hacemos son operaciones<\/em>. Es a trav\u00e9s de \u00e9stas, que se les caracteriza.<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Esto no es muy dif\u00edcil de hacer ver. La idea de n\u00famero est\u00e1 asociada en primer t\u00e9rmino con la idea de n\u00famero natural<\/em>. Lo que con los n\u00fameros hacemos son operaciones<\/em><\/strong>. Es a trav\u00e9s de \u00e9stas, que se les caracteriza (2)<\/strong>. <\/span><\/p>\n

El 2<\/em>, por ejemplo<\/em>, es ese n\u00famero par que s\u00f3lo se divide por s\u00ed mismo y por la unidad, el n\u00famero que es igual a \u20181 + 1<\/em>\u2019, etc. Aunque esto no pretende ser una definici\u00f3n, s\u00ed caracterizamos a los n\u00fameros naturales<\/strong><\/em> por sus propiedades habr\u00eda que decir que sus rasgos esenciales son que son inductivos<\/strong> (i.e., que tienen todas las propiedades hereditarias del 0<\/em>) y no reflexivos<\/strong> (esto es, que se modifican si se les a\u00f1ade 1<\/em>). <\/span><\/p>\n

Nos encontramos aqu\u00ed en el dominio de la aritm\u00e9tica<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Hay otras operaciones que dan resultados que, por as\u00ed decirlo, nos sacan del universo de la aritm\u00e9tica.<\/strong><\/span><\/p>\n

Por ejemplo<\/em>, la divisi\u00f3n de 7 entre 3<\/em> no da como resultado un n\u00famero natural<\/em>, sino uno irracional<\/em>. <\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Ahora bien, hay multitud de operaciones que se pueden hacer con n\u00fameros enteros naturales que dan como resultado n\u00fameros enteros naturales<\/strong>, como si multiplicamos 2 por 3<\/em>, pero es claro que hay otras operaciones que dan resultados que, por as\u00ed decirlo, nos sacan del universo de la aritm\u00e9tica<\/strong>.\u00a0<\/span>Por ejemplo<\/em>, la divisi\u00f3n de 7 entre 3<\/em> no da como resultado un n\u00famero<\/strong> natural<\/strong><\/em>, sino uno irracional<\/em><\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Dado que seguimos empleando n\u00fameros naturales en la construcci\u00f3n de uno irracional es comprensible que tambi\u00e9n\u00a0<\/strong><\/span>sigamos refiri\u00e9ndonos a dicho resultado como un \u201cn\u00famero<\/em>\u201d, por m\u00e1s que ya no corresponda a la idea original de n\u00famero<\/strong>.<\/span> <\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Dado que seguimos empleando n\u00fameros naturales en la construcci\u00f3n de uno irracional es comprensible que tambi\u00e9n\u00a0<\/span>sigamos refiri\u00e9ndonos a dicho resultado como un \u201cn\u00famero<\/em>\u201d, por m\u00e1s que ya no corresponda a la idea original de n\u00famero<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Esto, que es una estipulaci\u00f3n, es gramaticalmente inobjetable, pero filos\u00f3ficamente de lo m\u00e1s enga\u00f1oso.<\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Esto, que es una estipulaci\u00f3n, es gramaticalmente inobjetable, pero filos\u00f3ficamente de lo m\u00e1s enga\u00f1oso<\/strong>. Es simplemente porque eso que denominamos \u2018n\u00fameros irracionales<\/em>\u2019 \u201cse parecen<\/em>\u201d lo suficiente<\/strong> a los n\u00fameros naturales<\/em> que los seguimos llamando \u2018n\u00fameros<\/em>\u2019, pero en realidad son \u201ccosas<\/em>\u201d muy diferentes<\/strong> y, sobre todo, tienen propiedades diferentes<\/strong> y entran en operaciones muy diferentes a las de la aritm\u00e9tica elemental<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Eso que denominamos \u2018n\u00fameros irracionales<\/em>\u2019 \u201cse parecen<\/em>\u201d lo suficiente a los n\u00fameros naturales<\/em> que los seguimos llamando \u2018n\u00fameros<\/em>\u2019, pero en realidad son \u201ccosas<\/em>\u201d muy diferentes y, sobre todo, tienen propiedades diferentes y entran en operaciones muy diferentes a las de la aritm\u00e9tica elemental.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

O sea, superficialmente son lo mismo, esto es, n\u00fameros, pero en realidad se trata de cosas distintas<\/strong>. Lo que sucede es que marcamos a los n\u00fameros irracionales<\/em> mediante signos que usamos como n\u00fameros, puesto que entran en c\u00e1lculos, pero identificarlos como n\u00fameros cuando la idea de n\u00famero era la de n\u00famero natural<\/em> es un error<\/strong> equivalente al de decir, por<\/em> ejemplo<\/em>, que dado que la oraci\u00f3n \u2018\u00c9l jura que lo vio entrando al edificio<\/em>\u2019 tiene la misma forma que \u2018el peso at\u00f3mico del oro es 79<\/em>\u2019, entonces en ambos casos nos las habremos con lo mismo, esto es, con proposiciones<\/em><\/strong>. <\/span><\/p>\n

Es cierto que ambas pueden ser vistas como elementos de funciones de verdad y por lo tanto como siendo esencialmente verdaderas o falsas, pero<\/strong> si la concepci\u00f3n praxiol\u00f3gica<\/strong> <\/em>es acertada, ah\u00ed justamente est\u00e1 el error<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Si nos fijamos en la utilidad que prestan, en la clase de cosas que permiten expresar, etc., salta a la vista que se trata de instrumentos ling\u00fc\u00edsticos con los que hacemos movimientos (decimos cosas<\/em>) que no tienen nada en com\u00fan<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

En efecto, si nos fijamos en la utilidad que prestan, en la clase de cosas que permiten expresar, etc.<\/strong>, salta a la vista que se trata de instrumentos ling\u00fc\u00edsticos<\/strong> con los que hacemos movimientos (decimos cosas<\/em>) que no tienen nada en com\u00fan.\u00a0<\/span>Es, pues, tan equ\u00edvoco hablar de \u201cla proposici\u00f3n<\/em><\/strong>\u201d como de \u201cel n\u00famero<\/strong><\/em>\u201d y de sus respectivas esencias.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Es tan equ\u00edvoco hablar de \u201cla proposici\u00f3n<\/em>\u201d como de \u201cel n\u00famero<\/em>\u201d y de sus respectivas esencias<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

R\u00e1pidamente pregunt\u00e9monos: dado que es obvio que un n\u00famero irracional<\/em> no es un n\u00famero en el sentido de \u2018n\u00famero natural<\/em>\u2019: \u00bfqu\u00e9 es entonces un n\u00famero irracional<\/em>?<\/strong><\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Dado que un n\u00famero irracional<\/em> no es un n\u00famero en el sentido de \u2018n\u00famero natural<\/em>\u2019: \u00bfqu\u00e9 es entonces un n\u00famero irracional<\/em>? <\/strong><\/span><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n<\/blockquote>\n

Wittgenstein<\/strong> considera el caso de \u03c0<\/strong>. Es claro que si quisi\u00e9ramos preguntar \u2018\u00bfqu\u00e9 n\u00famero es \u03c0?<\/em>\u2019, la respuesta tendr\u00eda que ser \u2018ninguno en particular<\/em>\u2019<\/strong>. M\u00e1s bien \u2018\u03c0<\/em>\u2019 sirve para indicar una relaci\u00f3n especial<\/strong> entre las longitudes de la circunferencia<\/em> y del di\u00e1metro<\/em>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Wittgenstein considera el caso de \u03c0<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Podemos pasar esa relaci\u00f3n geom\u00e9trica al lenguaje de los n\u00fameros naturales y si queremos podemos llamar al resultado un \u2018n\u00famero<\/em>\u2019, s\u00f3lo que se trata de un n\u00famero que no se le puede, por as\u00ed decirlo, determinar<\/strong>. La raz\u00f3n es que, como dice Wittgenstein<\/strong>, un n\u00famero irracional<\/em> es m\u00e1s bien una ley de expansi\u00f3n de n\u00fameros<\/strong>, esto es, una ley que nos permite, en funci\u00f3n de nuestros requerimientos, se\u00f1alar un punto particular en dicha expansi\u00f3n.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Para Wittgenstein, un n\u00famero irracional<\/em> es m\u00e1s bien una ley de expansi\u00f3n de n\u00fameros, esto es, una ley que nos permite, en funci\u00f3n de nuestros requerimientos, se\u00f1alar un punto particular en dicha expansi\u00f3n.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Tomemos, por ejemplo<\/em>, \u2018\u221a2<\/em>\u2019. Este \u201cn\u00famero<\/em>\u201d puede ser<\/strong>:<\/span><\/p>\n

1.4,<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

1.41<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

1.414<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

1,4141<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

1.41421<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

1.414213 … etc.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n<\/blockquote>\n

En otras palabras, podemos extendernos en la expansi\u00f3n tanto como queramos<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Nuestra pregunta ahora es: \u00bfson lo mismo un n\u00famero natural que uno irracional o, si se prefiere, es lo mismo un n\u00famero que una ley para la expansi\u00f3n de una secuencia de n\u00fameros?<\/strong> <\/span>El hecho de que bauticemos la regla misma con un signo al que le damos tratamiento de n\u00famero \u00bfbasta para convertirlo en un \u201cn\u00famero<\/em>\u201d?<\/span><\/p>\n

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\u00bfSon lo mismo un n\u00famero natural que uno irracional o, si se prefiere, es lo mismo un n\u00famero que una ley para la expansi\u00f3n de una secuencia de n\u00fameros?<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

El hecho de que bauticemos la regla misma con un signo al que le damos tratamiento de n\u00famero \u00bfbasta para convertirlo en un \u201cn\u00famero<\/em>\u201d?<\/span><\/strong><\/p>\n

Gramatical o simb\u00f3licamente s\u00ed, filos\u00f3ficamente no<\/strong>.<\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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La respuesta me parece que deber\u00eda ser la siguiente: gramatical o simb\u00f3licamente s\u00ed, filos\u00f3ficamente no<\/strong>. Obs\u00e9rvese que an\u00e1lisis semejantes se pueden efectuar en relaci\u00f3n con los n\u00fameros complejos<\/em>, los n\u00fameros imaginarios<\/em> o los n\u00fameros transfinitos<\/em>. Se trata de nociones matem\u00e1ticas unidas entre s\u00ed<\/strong> no por una esencia, sino por<\/strong> semejanzas de familia<\/strong><\/em>.<\/span><\/p>\n

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An\u00e1lisis semejantes se pueden efectuar en relaci\u00f3n con los n\u00fameros complejos<\/em>, los n\u00fameros imaginarios<\/em> o los n\u00fameros transfinitos<\/em>.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

Se trata de nociones matem\u00e1ticas unidas entre s\u00ed no por una esencia, sino por semejanzas de familia<\/em>.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Me parece que estamos en posici\u00f3n de sostener que el panorama de las matem\u00e1ticas que brota del filosofar wittgensteiniano<\/strong> <\/em>es a la vez rico, complejo y elucidatorio. En todo caso, lo que debe quedar claro es que se trata de un panorama filos\u00f3fico que s\u00f3lo puede ser generado por la perspectiva praxiol\u00f3gica del lenguaje y el m\u00e9todo de los juegos de lenguaje<\/em><\/strong>.<\/span><\/p>\n

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El panorama de las matem\u00e1ticas que brota del filosofar wittgensteiniano <\/em>es a la vez rico, complejo y elucidatorio. <\/span><\/strong><\/p>\n

En todo caso, lo que debe quedar claro es que se trata de un panorama filos\u00f3fico que s\u00f3lo puede ser generado por la perspectiva praxiol\u00f3gica del lenguaje y el m\u00e9todo de los juegos de lenguaje<\/em>.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Observaciones Finales<\/span><\/h3>\n

Hemos hecho un relampagueante recorrido por los dominios de la filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas del Wittgenstein<\/strong> maduro. Nuestro problema no es que percibamos fallas en sus planteamientos, sino que fue tan poco el material abarcado y fue presentado de manera tan superficial que si bien no equivale a una distorsi\u00f3n del pensamiento de Wittgenstein s\u00ed representa un empobrecimiento brutal de su filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Pasamos sin rozar siquiera temas tan variados como la cuesti\u00f3n de la aplicaci\u00f3n de las matem\u00e1ticas, el tema de las diferentes clases de pruebas que se emplean en matem\u00e1ticas<\/strong> (inductivas, por reducci\u00f3n al absurdo, directas, mediante diagramas, etc.<\/em>), la naturaleza de la inducci\u00f3n, todo lo relacionado con el infinito, el asunto de la compulsi\u00f3n matem\u00e1tica y muchos otros m\u00e1s<\/strong>. <\/span><\/p>\n

La verdad es que un problema que constantemente se nos plantea cuando examinamos aspectos del pensamiento de Wittgenstein<\/strong> es que casi forzosamente terminaremos con un mal sabor de boca. \u00bfPor qu\u00e9? <\/strong><\/span><\/p>\n

Porque es casi imposible no sentir que a lo m\u00e1s que llegamos en nuestro esfuerzo por sintetizarlo y por enunciar algunos de sus resultados es a entenderlo a medias, quiz\u00e1 hasta a trivializarlo y con toda seguridad a no hacerle justicia ni a su profundidad ni a su sabidur\u00eda.<\/span><\/p>\n

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Es casi imposible no sentir que a lo m\u00e1s que llegamos en nuestro esfuerzo por sintetizarlo y por enunciar algunos de sus resultados es a entenderlo a medias, quiz\u00e1 hasta a trivializarlo y con toda seguridad a no hacerle justicia ni a su profundidad ni a su sabidur\u00eda.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Notas<\/strong><\/span><\/h2>\n

(1)<\/strong> Estas consideraciones wittgensteinianas<\/strong> <\/em>podr\u00edan ayudar a echar luz sobre la naturaleza del teorema de<\/strong> G\u00f6del<\/strong>. Habr\u00eda que preguntarse: \u00bfc\u00f3mo puede un numeral referirse a algo? S\u00f3lo si ese numeral no est\u00e1 siendo usando como numeral. Por lo tanto, el proceso de aritmetizaci\u00f3n de la sintaxis es un mecanismo de sem\u00e1ntica matem\u00e1tica,<\/strong> m\u00e1s que de matem\u00e1ticas tout court<\/em>. En todo caso, es obvio que Wittgenstein<\/strong> proporciona elementos para una reflexi\u00f3n filos\u00f3fica seria en relaci\u00f3n con el famoso teorema de G\u00f6del<\/strong>.<\/span><\/p>\n

(2)<\/strong> La caracterizaci\u00f3n del n\u00famero no es lo mismo que la definici\u00f3n de \u00abn\u00famero<\/em>\u00ab.<\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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La familia Wittgenstein en Viena, verano de 1917<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

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Bibliograf\u00eda<\/span><\/h3>\n

Dummett, M. (1978). \u201cWittgenstein\u2019s Philosophy of Mathematics\u201d en Truth and Other Enigmas, London: Duckworth.<\/span><\/p>\n

Tomasini Bassols, A. (2006). Filosof\u00eda y Matem\u00e1ticas: ensayos en torno a Wittgenstein, M\u00e9xico: Plaza y Vald\u00e9s.<\/span><\/p>\n

Wittgenstein, L. (1967). Zettel, Oxford: Basil Blackwell.<\/span><\/p>\n

__________ (1974). Philosophical Investigations, Oxford: Basil Blackwell.<\/span><\/p>\n

__________ (1975). Remarks on the Foundations of Mathematics, London: The M.I.T. Press.<\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (Parte 1)<\/span><\/strong><\/a><\/p>\n

LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (Parte 2)<\/span><\/strong><\/a><\/p>\n

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RELACIONADOS:<\/span><\/h2>\n

LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (Parte 1)<\/a><\/p><\/blockquote>\n