{"id":2307555,"date":"2025-03-17T00:05:48","date_gmt":"2025-03-16T23:05:48","guid":{"rendered":"https:\/\/puntocritico.com\/ausajpuntocritico\/?p=2307555"},"modified":"2025-03-24T00:16:11","modified_gmt":"2025-03-23T23:16:11","slug":"la-filosofia-de-las-matematicas-del-segundo-wittgenstein-por-alejandro-tomasini-bassols-y-parte-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/puntocritico.com\/ausajpuntocritico\/2025\/03\/17\/la-filosofia-de-las-matematicas-del-segundo-wittgenstein-por-alejandro-tomasini-bassols-y-parte-2\/","title":{"rendered":"LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (Parte 2)"},"content":{"rendered":"

LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (Parte 1)<\/span><\/a><\/p>\n

LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (y Parte 3)<\/span><\/a><\/p>\n\n

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\u00abS\u00ed la voluntad, buena o mala, cambia el mundo, s\u00f3lo puede cambiar los l\u00edmites del mundo, no los hechos. No aquello que puede expresarse con el lenguaje. <\/span><\/em><\/p>\n

En resumen, de este modo el mundo se convierte, completamente, en otro. Debe, por as\u00ed decirlo, crecer o decrecer como un todo. <\/span><\/em><\/p>\n

El mundo de los felices es distinto del mundo de los infelices\u00bb.<\/span><\/em><\/p>\n

(Wittgenstein, \u00abTractatus logico-philosophicus\u00bb, 6.43)<\/span><\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN<\/span><\/h2>\n

Parte 2<\/span><\/strong><\/p>\n

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En este trabajo empiezo por presentar y explicar las nociones clave de la filosof\u00eda del Wittgenstein maduro y que son las que le permiten articular su nueva concepci\u00f3n de las matem\u00e1ticas<\/span> (<\/span>\u201cjuego de lenguaje\u201d, \u201ccriterio\u201d, \u201cgram\u00e1tica\u201d y \u201csemejanzas de familia\u201d, b\u00e1sicamente<\/span>). <\/span><\/em><\/strong><\/p>\n

Acto seguido reconstruyo los puntos de vista desarrollados por Wittgenstein sobre los que son los temas primordiales en su meditaci\u00f3n, como la peculiar naturaleza de las proposiciones matem\u00e1ticas, el an\u00e1lisis del concepto de n\u00famero, el car\u00e1cter decisivo de las demostraciones, el rechazo del fundacionalismo<\/em> y en general de la metamatem\u00e1tica<\/em>, la cuesti\u00f3n de lo que es aplicar una regla y el tema general de las contradicciones. <\/span><\/strong><\/p>\n

Si mi exposici\u00f3n es fiel y acertada, emerge de la exposici\u00f3n un cuadro de las matem\u00e1ticas original y del cual quedaron excluidos los errores de las escuelas tradicionales de filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas.<\/span> <\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

Alejandro Tomasini Bassol<\/span>s<\/span><\/a><\/p>\n

Universidad Nacional Aut\u00f3noma de M\u00e9xico<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\"LA
Ludwig Josef Johann Wittgenstein <\/span><\/figcaption><\/figure>\n

*******<\/span><\/strong><\/p>\n

FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS<\/span><\/h3>\n

\"\"<\/p>\n

Filosof\u00eda tradicional de las matem\u00e1ticas<\/strong><\/span><\/h4>\n

Como en cualquier otra rama de la filosof\u00eda, en filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas un simple punto de partida equivocado, generado por una concepci\u00f3n ingenuamente err\u00f3nea\u00a0<\/span>de la proposici\u00f3n, se convierte r\u00e1pidamente en el suelo en donde habr\u00e1n de germinar los m\u00e1s variados puntos de vista, esto es, las m\u00e1s variadas filosof\u00edas de las matem\u00e1ticas. <\/span><\/p>\n

Y, como veremos en un momento, el punto de partida errado en cuesti\u00f3n en general es simplemente el resultado de una interpretaci\u00f3n f\u00e1cil, aparentemente transparente e inocua, de expresiones y formas de hablar normales en el contexto de las matem\u00e1ticas<\/strong>. <\/span><\/p>\n

\n

Por ejemplo, se dicen cosas como \u2018dos m\u00e1s dos son cuatro<\/em>\u2019 o \u2018es verdad que \u201c2 + 2 = 4<\/em>\u201d\u2019.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

En casos as\u00ed, lo espont\u00e1neo es ver en estas expresiones afirmaciones de exactamente la misma \u00edndole que afirmaciones emp\u00edricas<\/strong>, del lenguaje coloquial o de las ciencias naturales o sociales. <\/span><\/p>\n

Ahora bien, esta lectura inocente pero errada de las expresiones matem\u00e1ticas trae aparejada consigo la idea de que dichas \u201cproposiciones<\/em><\/strong>\u201d, justamente por ser verdaderas, proporcionan o transmiten conocimiento, en cuyo caso lo m\u00e1s probable es que \u00e9ste sea de una clase especial.<\/span><\/p>\n

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Esta lectura, inocente pero errada, de las expresiones matem\u00e1ticas trae aparejada consigo la idea de que dichas \u201cproposiciones<\/em>\u201d, justamente por ser verdaderas, proporcionan o transmiten conocimiento, en cuyo caso lo m\u00e1s probable es que \u00e9ste sea de una clase especial<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Aqu\u00ed el razonamiento parecer\u00eda ser el siguiente<\/strong>: no puede ser el caso que tengamos una expresi\u00f3n verdadera y que no obstante \u00e9sta no transmita ning\u00fan conocimiento<\/strong>. El problema est\u00e1 en que, si es as\u00ed como se interpretan las matem\u00e1ticas, autom\u00e1ticamente se abre la posibilidad l\u00f3gica del error<\/strong> y entonces entra en escena el escepticismo filos\u00f3fico<\/strong>. <\/span><\/p>\n

\u00bfQu\u00e9 se requiere para neutralizarlo o anularlo? Fundamentar las matem\u00e1ticas<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Hay desde luego otras razones por las cuales se pens\u00f3 que la fundamentaci\u00f3n de las matem\u00e1ticas era una tarea insoslayable, pero para los efectos de esta exposici\u00f3n<\/em> llamar la atenci\u00f3n sobre esta l\u00ednea de reconstrucci\u00f3n es suficiente.<\/span><\/p>\n

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\"\"<\/p>\n

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El escepticismo filos\u00f3fico<\/strong>, como es natural, representa una amenaza potencial en el todo de la filosof\u00eda<\/strong>, es decir, su espectro puede hacer su aparici\u00f3n en cualquier \u00e1mbito en el que pretendamos hablar de conocimiento. <\/span><\/p>\n

En el caso del supuesto conocimiento matem\u00e1tico, el problema del escepticismo<\/strong> (asumiendo sin conceder que se trata de un problema leg\u00edtimo<\/em>) es particularmente agudo<\/strong>, por la clase especial de conocimiento que supuestamente tenemos en matem\u00e1ticas. En efecto, el conocimiento matem\u00e1tico es, por as\u00ed decirlo, superior al conocimiento emp\u00edrico, por refinado y seguro que \u00e9ste sea<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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En el caso del supuesto conocimiento matem\u00e1tico, el problema del escepticismo (asumiendo sin conceder que se trata de un problema leg\u00edtimo<\/em>) es particularmente agudo, por la clase especial de conocimiento que supuestamente tenemos en matem\u00e1ticas.<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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En terminolog\u00eda filos\u00f3fica, la diferencia radica en que el conocimiento matem\u00e1tico es a priori y necesario<\/em><\/strong>. Y a partir de esto empiezan a surgir nuevos enredos y nuevos rompecabezas. <\/span><\/p>\n

Por ejemplo<\/em>, es normal afirmar que puesto que las proposiciones matem\u00e1ticas son verdaderas, en matem\u00e1ticas se habla de algo<\/em>, pues de lo contrario ser\u00edan vacuas y eso es prima facie<\/em> inaceptable. <\/span><\/p>\n

Pero entonces las proposiciones matem\u00e1ticas tienen que versar sobre algo, es decir, sobre alguna clase de entidades<\/strong>, y dada la clase de conocimiento que proporcionan no podemos sino pensar que versan sobre entidades en verdad muy extra\u00f1as<\/strong>. Y de esta\u00a0<\/span>manera, casi sin darnos cuenta, nos encontramos en la v\u00eda del<\/em> platonismo<\/em><\/strong>, que es un ruta laber\u00edntica de la que, lo sabemos, una vez adentrados en ella no hay salida. <\/span><\/p>\n

Esta opci\u00f3n, desde luego es una de las m\u00faltiples opciones filos\u00f3ficas que se pueden generar, si bien el resultado es el mismo<\/strong>: los intentos por resolver un problema filos\u00f3fico lo \u00fanico que logran es hacer que se ramifiquen y multipliquen y ese proceso no tiene fin.<\/span><\/p>\n

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Los intentos por resolver un problema filos\u00f3fico lo \u00fanico que logran es hacer que se ramifiquen y multipliquen y ese proceso no tiene fin<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Uno de los retos para Wittgenstein<\/strong> en este contexto es dar cuenta de las matem\u00e1ticas in toto<\/strong> (sus expresiones, sus m\u00e9todos, su conexi\u00f3n con experiencia y el conocimiento, etc.<\/em>) sin desarrollar una teor\u00eda filos\u00f3fica<\/strong>. <\/span><\/p>\n

En lo que sigue, tratar\u00e9 de hacer ver que Wittgenstein<\/strong> logra salir adelante frente al reto en cuesti\u00f3n, pero antes quisiera decir unas cuantas palabras acerca del car\u00e1cter general de su filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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\"\"<\/a>
Kurt G\u00f6del<\/strong><\/a> (Kurt Friedrich G\u00f6del, 1906-1978), fue un l\u00f3gico, matem\u00e1tico y fil\u00f3sofo austr\u00edaco.\u200b Se le considera uno de los l\u00f3gicos m\u00e1s importantes de todos los tiempos. Al igual que otros pensadores \u2014como Frege<\/strong>, Russell<\/strong>, Whitehead<\/strong> o Hilbert<\/strong>\u2014, G\u00f6del<\/strong> intent\u00f3 emplear la l\u00f3gica y la teor\u00eda de conjuntos para comprender los fundamentos de la matem\u00e1tica. Se le conoce sobre todo por sus dos teoremas de la incompletitud<\/strong> (1931). El m\u00e1s c\u00e9lebre establece que para todo sistema axiom\u00e1tico recursivo autoconsistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritm\u00e9tica de los n\u00fameros naturales (la aritm\u00e9tica de Peano<\/em>), existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. <\/span><\/figcaption><\/figure>\n

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Rasgos generales de la filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas seg\u00fan Wittgenstein<\/strong><\/span><\/h4>\n

Como es bien sabido, para Wittgenstein los problemas filos\u00f3ficos son el resultado de incomprensiones y son, por lo tanto, pseudo-problemas<\/em><\/strong>. Tenemos, por lo tanto, dos clases de fil\u00f3sofos<\/strong>: el fil\u00f3sofo creador de mitos y el fil\u00f3sofo destructor de mitos<\/em>.<\/span><\/p>\n

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Tenemos dos clases de fil\u00f3sofos: el fil\u00f3sofo creador de mitos y el fil\u00f3sofo destructor de mitos<\/em>. <\/span><\/strong><\/p>\n

Se sigue que la filosof\u00eda liberadora s\u00f3lo puede ser una reacci\u00f3n<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Se sigue que la filosof\u00eda liberadora s\u00f3lo puede ser una reacci\u00f3n<\/strong>.\u00a0<\/span>No crece espont\u00e1neamente, sino que nace como un requerimiento urgente generado por un descontento intelectual<\/strong> ante los notables fracasos, las notorias falacias, las palpables incongruencias, las aseveraciones incomprensibles de la filosof\u00eda tradicional.<\/span><\/p>\n

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Nace como un requerimiento urgente generado por un descontento intelectual ante los notables fracasos, las notorias falacias, las palpables incongruencias, las aseveraciones incomprensibles de la filosof\u00eda tradicional<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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La concepci\u00f3n liberadora de las matem\u00e1ticas<\/strong>, por lo tanto, se va conformando paulatinamente<\/strong> a partir de la lucha en contra de multitud de tesis de filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas convencionales<\/strong>. <\/span><\/p>\n

As\u00ed, Wittgenstein<\/strong>, a trav\u00e9s de concienzudos an\u00e1lisis gramaticales<\/em>, va desechando todo lo que es inservible en los diversos programas de filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas y a partir de sus discusiones se va delineando poco a poco la concepci\u00f3n correcta<\/strong>. <\/span><\/p>\n

En este como en otros casos, el ideal del Tractatus<\/strong> <\/em>sigue vigente<\/strong>: de lo que se trata es de acceder a la visi\u00f3n correcta de las cosas sin para ello elaborar una nueva doctrina filos\u00f3fica<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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En este como en otros casos, el ideal del Tractatus <\/em>sigue vigente: de lo que se trata es de acceder a la visi\u00f3n correcta de las cosas sin para ello elaborar una nueva doctrina filos\u00f3fica<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Lo anterior explica por qu\u00e9 de hecho Wittgenstein polemiza con tantos fil\u00f3sofos de las matem\u00e1ticas y con tantas posiciones<\/strong>: \u00e9l, en efecto, se enfrenta a logicistas<\/strong><\/em>, platonistas<\/strong><\/em>, intuicionistas<\/strong><\/em>, g\u00f6delianos<\/strong><\/em>, formalistas<\/strong><\/em>, te\u00f3rico-conjuntistas<\/strong><\/em> y as\u00ed sucesivamente, pero la explicaci\u00f3n de ello salta a la vista: por una parte, todos ellos abordan temas importantes en relaci\u00f3n con las matem\u00e1ticas<\/strong> pero, por la otra, todos ellos son al mismo tiempo creadores de mitos filos\u00f3ficos<\/strong> (referentes a los n\u00fameros, el espacio, el infinito, a la objetividad de las matem\u00e1ticas, y as\u00ed sucesivamente<\/em>). <\/span><\/p>\n

Esto echa luz tanto sobre la complejidad como sobre la riqueza de la filosof\u00eda de las\u00a0<\/strong><\/span>matem\u00e1ticas de<\/strong> Wittgenstein<\/strong>. De hecho, podemos abordarla pr\u00e1cticamente desde cualquier perspectiva, dado que paulatina pero indefectiblemente terminaremos por abordar las restantes<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Mi elecci\u00f3n de punto de partida ser\u00e1n algunos argumentos que Wittgenstein<\/strong> elabora en contra de la idea logicista de que las matem\u00e1ticas est\u00e1n necesitadas de una fundamentaci\u00f3n<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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Veremos a continuaci\u00f3n algunos argumentos que Wittgenstein elabora en contra de la idea logicista de que las matem\u00e1ticas est\u00e1n necesitadas de una fundamentaci\u00f3n<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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WITTGENSTEIN Y LAS MATEM\u00c1TICAS<\/span><\/h3>\n

Juegos y matem\u00e1ticas<\/strong><\/span><\/span><\/h4>\n

Quiz\u00e1 debamos empezar trayendo a la memoria un contraste que Wittgenstein<\/strong> traza y que resulta particularmente atinado, a saber, el contraste entre las matem\u00e1ticas y los juegos<\/strong>. Hay un sentido en el que es obvio que las matem\u00e1ticas no son un juego<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Por ejemplo<\/em>, en las matem\u00e1ticas no se trata de ganar o perder<\/strong>, as\u00ed como tampoco podemos hablar de la aplicaci\u00f3n de un juego a una teor\u00eda cient\u00edfica, como s\u00ed podemos hablar de las aplicaciones de las matem\u00e1ticas.\u00a0<\/span>Por otra parte, hay rasgos en com\u00fan entre las matem\u00e1ticas y los juegos<\/strong> que dan que pensar. <\/span><\/p>\n

Por ejemplo<\/em>, si bien tanto en matem\u00e1ticas como en los juegos se hacen \u201cmovimientos<\/em>\u201d en concordancia con reglas, en ning\u00fan caso las reglas apuntan a algo m\u00e1s que las matem\u00e1ticas o los juegos mismos<\/strong>. Por medio de ellos no se alude a nada. <\/span><\/p>\n

Sin embargo, la verdadera importancia de equiparar los juegos con las matem\u00e1ticas<\/strong> radica en que hacerlo ayuda a ver que el requerimiento de fundamentar las matem\u00e1ticas est\u00e1 totalmente fuera de lugar<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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La verdadera importancia de equiparar los juegos con las matem\u00e1ticas radica en que hacerlo ayuda a ver que el requerimiento de fundamentar las matem\u00e1ticas est\u00e1 totalmente fuera de lugar. <\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

Es tan chocante la idea de fundamentar las matem\u00e1ticas como la de fundamentar un juego.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Si efectivamente las matem\u00e1ticas y los juegos se parecen en algo es porque es tan chocante la idea de fundamentar las matem\u00e1ticas como la de fundamentar un juego: la aritm\u00e9tica o la geometr\u00eda necesitan de fundamentaci\u00f3n tanto como el ajedrez o el p\u00f3ker<\/strong>.<\/span><\/p>\n

As\u00ed como los juegos se justifican a s\u00ed mismos, las matem\u00e1ticas se componen de c\u00e1lculos auto-subsistentes que son ellos mismos su propia justificaci\u00f3n<\/strong>. Las matem\u00e1ticas son tambi\u00e9n una especie de juego en el sentido de que sus movimientos no se efect\u00faan<\/strong> propiamente hablando por medio de<\/strong> proposiciones<\/em><\/strong>.<\/span><\/p>\n

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Las matem\u00e1ticas son tambi\u00e9n una especie de juego en el sentido de que sus movimientos no se efect\u00faan propiamente hablando por medio de proposiciones<\/em><\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Ciertamente sus expresiones est\u00e1n en conexi\u00f3n con las proposiciones<\/em><\/strong>, lo cual es desde luego algo que hay que dilucidar, pero no son estrictamente hablando<\/strong> proposiciones<\/em><\/strong>.\u00a0<\/span>En este punto, la continuidad con el Tractatus<\/strong> <\/em>es tangible.<\/span><\/p>\n

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En este punto, la continuidad con el Tractatus <\/em>es tangible<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Proposiciones y reglas<\/strong><\/span><\/span><\/h4>\n

Wittgenstein<\/strong> acepta que las expresiones que normalmente identificamos como \u201cproposiciones matem\u00e1ticas<\/em><\/strong>\u201d tienen efectivamente un status especial<\/em>, pero lo que eso sugiere es precisamente que en el fondo no son proposiciones<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Una oraci\u00f3n como \u2018hace calor<\/em>\u2019 puede ser utilizada hoy para decir algo verdadero, pero su uso ma\u00f1ana puede dar lugar a una falsedad<\/strong>, en tanto que una \u201cproposici\u00f3n matem\u00e1tica<\/em>\u201d, una vez aceptada, ya no se modifica. Una vez establecida, la \u201carchivamos<\/em>\u201d, <\/span>la metemos en el caj\u00f3n.<\/span><\/p>\n

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Una oraci\u00f3n como \u2018hace calor<\/em>\u2019 puede ser utilizada hoy para decir algo verdadero, pero su uso ma\u00f1ana puede dar lugar a una falsedad, en tanto que una \u201cproposici\u00f3n matem\u00e1tica<\/em>\u201d, una vez aceptada, ya no se modifica.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Lo que hay que entender es que si no estamos dispuestos a ponerla en tela de juicio es porque nosotros, los usuarios (i.e., la comunidad ling\u00fc\u00edstica<\/em>), as\u00ed lo decidimos<\/strong> y por consiguiente inexorablemente la imponemos. <\/span><\/p>\n

Por ejemplo<\/em>, no hay m\u00e1s que una respuesta a la pregunta \u2018\u00bfcu\u00e1nto es \u201c2 + 2\u201d?<\/em>\u2019, es decir, no se le permite a ning\u00fan ni\u00f1o (mejor dicho, a nadie<\/em>) dudar de que 2 + 2 = 4<\/em>. <\/span><\/p>\n

Y es esto lo que explica su car\u00e1cter de \u201cnecesarias<\/em>\u201d<\/strong>. Una vez establecidas, nos dejamos guiar por ellas, es decir, razonamos en concordancia con ellas. El todo de nuestra experiencia queda moldeada por ellas.<\/span><\/p>\n

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Es esto lo que explica su car\u00e1cter de \u201cnecesarias<\/em>\u201d. <\/span><\/strong><\/p>\n

Una vez establecidas, nos dejamos guiar por ellas, es decir, razonamos en concordancia con ellas. <\/span><\/strong><\/p>\n

El todo de nuestra experiencia queda moldeada por ellas. <\/span><\/strong><\/p>\n

Las \u201cproposiciones<\/em>\u201d de las matem\u00e1ticas son como canales de experiencia; \u00e9sta, por as\u00ed decirlo, fluye a trav\u00e9s de ellas.<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Las \u201cproposiciones<\/em>\u201d de las matem\u00e1ticas son como canales de experiencia; \u00e9sta, por as\u00ed decirlo, fluye a trav\u00e9s de ellas<\/strong>. Pero lo que todo esto pone de manifiesto es que en realidad m\u00e1s que proposiciones se trata de reglas de sintaxis l\u00f3gica<\/strong> o, en terminolog\u00eda wittgensteiniana<\/strong><\/em>, de reglas de gram\u00e1tica<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Es porque son empleadas en conexi\u00f3n con el lenguaje que se les considera<\/strong> proposiciones<\/strong><\/em>, pero esto \u00faltimo es ya una interpretaci\u00f3n del simbolismo<\/em> <\/strong>y desde luego una interpretaci\u00f3n no s\u00f3lo no garantizada, sino simplista y declaradamente desorientadora<\/strong>.\u00a0<\/span><\/p>\n

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Es porque son empleadas en conexi\u00f3n con el lenguaje que se les considera proposiciones<\/em>, pero esto \u00faltimo es ya una interpretaci\u00f3n del simbolismo<\/em> y desde luego una interpretaci\u00f3n no s\u00f3lo no garantizada, sino simplista y declaradamente desorientadora<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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\"\"<\/a><\/p>\n

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Un ejemplo no estar\u00e1 de m\u00e1s<\/em>. Consideremos la geometr\u00eda euclidiana<\/a><\/strong>. El matem\u00e1tico com\u00fan y el fil\u00f3sofo est\u00e1ndar de las matem\u00e1ticas nos dir\u00e1 que cualquier teorema es una descripci\u00f3n de entidades abstractas o ideales<\/strong> como lo son los \u00e1ngulos, las l\u00edneas rectas, las superficies, etc., y de relaciones entre ellas. <\/span><\/p>\n

Pero esto es una lectura totalmente gratuita del simbolismo<\/strong> y no s\u00f3lo poco esclarecedora, sino que complica desmesuradamente el panorama.\u00a0<\/span>El contraste con la posici\u00f3n de Wittgenstein es en todo caso muy marcado<\/strong>. <\/span><\/p>\n

El punto de vista de \u00e9ste consiste en hacer ver que los teoremas de la geometr\u00eda euclidiana<\/a><\/strong><\/em> son b\u00e1sicamente \u201creglas de sintaxis<\/em><\/strong>\u201d, esto es, \u201cgramaticales<\/em><\/strong>\u201d, para los enunciados acerca de dimensiones, vol\u00famenes, distancias, \u00e1reas, etc., es decir, los teoremas de la geometr\u00eda le permiten hacer las aseveraciones factuales que requiere<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Por ejemplo<\/em>, si alguien quiere comprar un terreno lo que necesita es saber de cu\u00e1ntos metros cuadrados es<\/strong>. Las mediciones son obviamente emp\u00edricas, pero lo que la geometr\u00eda aporta es la gram\u00e1tica misma de las afirmaciones concernientes a mediciones<\/strong> y gracias a las cuales expresiones como \u2018la superficie de esta casa es X<\/em>\u2019 se vuelven significativas<\/em>.<\/span><\/p>\n

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Para Wittgenstein las mediciones son obviamente emp\u00edricas, pero lo que la geometr\u00eda aporta es la gram\u00e1tica misma de las afirmaciones concernientes a mediciones y gracias a las cuales expresiones como \u2018la superficie de esta casa es X<\/em>\u2019 se vuelven significativas<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Las mediciones y los c\u00e1lculos que se hagan inevitablemente se articulan en t\u00e9rminos de las \u201cverdades<\/em>\u201d de la geometr\u00eda, pero la geometr\u00eda misma no describe nada<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Las mediciones y los c\u00e1lculos que se hagan inevitablemente se articulan en t\u00e9rminos de las \u201cverdades<\/em>\u201d de la geometr\u00eda, pero la geometr\u00eda misma no describe nada<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Aqu\u00ed lo interesante es notar que es inconcebible que alguien \u201crefute<\/em>\u201d o \u201cfalsifique<\/em>\u201d emp\u00edricamente los<\/strong> teoremas de la geometr\u00eda euclidiana<\/strong><\/em>, por ejemplo<\/em>, que alguien el d\u00eda de ma\u00f1ana \u201cdescubra<\/em>\u201d que la superficie de un terreno cuadrado no es l 2<\/sup><\/em><\/span>, pero decir eso no es m\u00e1s que decir que no se le permitir\u00eda hacer un uso diferente de la geometr\u00eda, puesto que eso alterar\u00eda todo nuestro sistema de mediciones y c\u00e1lculos<\/strong>. Si eso llegara a\u00a0<\/span>pasar lo declaramos sin sentido. <\/strong><\/em><\/span><\/p>\n

En condiciones normales, si (supongamos<\/em>) cada lado mide 100 metros, la superficie es 10,000 metros cuadrados y si alguien da un resultado diferente nosotros sabemos a priori<\/em><\/a> que lo que afirma ser\u00e1 absurdo, puesto que entrar\u00e1 en conflicto con las reglas de significaci\u00f3n presupuestas en su aseveraci\u00f3n<\/strong>. \u00a1Y si alguien insistiera en que su c\u00e1lculo es el correcto lo m\u00e1s probable es que todos pensaran que lo que quiere es defraudar a alguien!<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

As\u00ed vistas las cosas, la utilidad de las reglas matem\u00e1ticas salta a la vista<\/strong>. Es claro que la yuxtaposici\u00f3n de las nociones involucradas no es como en el caso de los conceptos \u201choy\u201d<\/em> y \u201chacer fr\u00edo<\/em>\u201d, es decir, que puede tanto darse como no darse. Las ideas de tri\u00e1ngulo y de suma son tales que, dados los postulados de Euclides<\/strong><\/a>, la suma de los \u00e1ngulos de un tri\u00e1ngulo tiene que dar como resultado 180\u00ba. Con base en esa regla se hacen los m\u00e1s diversos c\u00e1lculos<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

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Las ideas de tri\u00e1ngulo y de suma son tales que, dados los postulados de Euclides, la suma de los \u00e1ngulos de un tri\u00e1ngulo tiene que dar como resultado 180\u00ba. <\/span><\/strong><\/p>\n

Con base en esa regla se hacen los m\u00e1s diversos c\u00e1lculos.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

En la sentencia (teorema<\/em>) \u201cLa suma de los \u00e1ngulos de un tri\u00e1ngulo es igual a 180\u00ba<\/strong><\/em>\u201d se establece una nueva conexi\u00f3n<\/strong>, a saber, entre medidas de \u00e1ngulos y n\u00fameros<\/strong>. Lo que esto significa es que en matem\u00e1ticas se establecen nuevas conexiones con o entre las nociones introducidas, conexiones que una vez m\u00e1s son r\u00edgidas, inamovibles, definitivas<\/strong>, es decir, se construyen conceptos<\/em><\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

En matem\u00e1ticas se establecen nuevas conexiones con o entre las nociones introducidas, conexiones que una vez m\u00e1s son r\u00edgidas, inamovibles, definitivas, es decir, se construyen conceptos<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Es porque hay creaci\u00f3n conceptual que las \u201cproposiciones<\/strong><\/em>\u201d de las matem\u00e1ticas no son ni meras identidades ni proposiciones emp\u00edricas, sino proposiciones sint\u00e9ticas a priori<\/em><\/a><\/strong>. <\/span><\/p>\n

En concordancia con la concepci\u00f3n que poco a poco se va delineando, Wittgenstein<\/strong> argumenta que en matem\u00e1ticas, dado que sus proposiciones carecen de contenido y que por medio de ellas no se habla de nada, es imposible que en ellas se \u201cdescubra<\/em>\u201d algo<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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Wittgenstein argumenta que en matem\u00e1ticas, dado que sus proposiciones carecen de contenido y que por medio de ellas no se habla de nada, es imposible que en ellas se \u201cdescubra<\/em>\u201d algo<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Usando su ejemplo<\/em>, una investigaci\u00f3n matem\u00e1tica no puede ser como una exploraci\u00f3n al Polo Norte<\/em> a la que uno se lanza pero no sabe ni d\u00f3nde ni c\u00f3mo va a terminar<\/strong>.\u00a0<\/span>Eso es justamente lo que no puede pasar en matem\u00e1ticas<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Pero, adem\u00e1s, la idea de exploraci\u00f3n de un mundo de entidades abstractas llamadas \u2018n\u00fameros<\/em>\u2019 o \u2018espacios<\/em>\u2019 o \u2018conjuntos\u2019 o … etc.<\/strong>, (\u00bfqu\u00e9 clase de objeto podr\u00eda ser una \u201cestructura algebraica\u201d, por ejemplo?<\/em>), es no s\u00f3lo innecesaria sino carente por completo de poder explicativo<\/strong>, porque <\/span><\/p>\n

\n

\u00bfqu\u00e9 se explica cuando se nos dice que los n\u00fameros son entidades y que es porque son lo que son que 2 + 2 = 4<\/em>?<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Adem\u00e1s de los matem\u00e1ticos intoxicados de filosof\u00eda f\u00e1cil<\/strong>: \u00bfqui\u00e9n tiene contacto con semejantes entidades<\/strong>: los matem\u00e1ticos, los ni\u00f1os que hacen sus ejercicios en la escuela, la gente que hace filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas? Al establecer conexiones definitivas, lo que el matem\u00e1tico hace es, como dice Wittgenstein<\/strong>, \u201ccrear esencia<\/em>\u201d.<\/span><\/p>\n

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Al establecer conexiones definitivas, lo que el matem\u00e1tico hace es, como dice Wittgenstein, \u201ccrear esencia<\/em>\u201d. <\/span><\/strong><\/p>\n

Dichas conexiones no son arbitrarias, pero la explicaci\u00f3n de la objetividad de las matem\u00e1ticas es algo mucho m\u00e1s complejo que el de una mera postulaci\u00f3n de mundos abstractos<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Desde luego que dichas conexiones no son arbitrarias, pero la explicaci\u00f3n de la objetividad de las matem\u00e1ticas es algo mucho m\u00e1s complejo que el de una mera postulaci\u00f3n de mundos abstractos<\/strong>. Sobre eso dir\u00e9 algo m\u00e1s abajo.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"
Popper y Wittgenstein <\/span><\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

Demostraci\u00f3n<\/strong><\/span><\/span><\/h4>\n

Contrariamente a quienes creen que Frege<\/strong> <\/a>introdujo su famoso \u201cprincipio contextual<\/strong><\/em>\u201d pensando ante todo en el lenguaje natural, yo soy m\u00e1s bien de la opini\u00f3n de que su principio<\/em> fue pensado y se aplica ante todo y primeramente al simbolismo matem\u00e1tico<\/strong><\/em>. <\/span><\/p>\n

Es realmente en este contexto de signos que el principio se vuelve palpablemente obvio<\/strong>. Ahora bien, a m\u00ed me parece que ciertamente Wittgenstein<\/strong> sigue en este punto los pasos de Frege<\/strong><\/a>, pero tambi\u00e9n que lleva la idea subyacente a un nivel superior de aplicaci\u00f3n.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

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Wittgenstein sigue en este punto los pasos de Frege, pero tambi\u00e9n lleva la idea subyacente a un nivel superior de aplicaci\u00f3n<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

En efecto, para Wittgenstein<\/strong> a final de cuentas <\/span><\/p>\n

\n

\u201cS\u00f3lo en el flujo del pensamiento y de la vida tienen significado las palabras<\/em>\u201d (Wittgenstein, 1967: Sec. 173).<\/span> <\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Por otra parte, las razones<\/strong> que da Wittgenstein<\/strong> en favor de dicho principio son diferentes<\/strong> de las que Frege<\/strong> ofrece. Para \u00e9l, como ya se\u00f1alamos, las proposiciones matem\u00e1ticas forman sistemas<\/strong>, por lo que lo m\u00e1s absurdo para determinar su status<\/em> ser\u00eda considerarlas aisladamente.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

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Para Wittgenstein las proposiciones matem\u00e1ticas forman sistemas, por lo que lo m\u00e1s absurdo para determinar su status<\/em> ser\u00eda considerarlas aisladamente<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Gottlob Frege<\/strong><\/a> dio un vuelco a la filosof\u00eda del lenguaje y puso las bases para el posterior desarrollo de la sem\u00e1ntica.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

En matem\u00e1ticas, una proposici\u00f3n\/regla no integrada a un sistema de proposiciones\/reglas no es m\u00e1s que una secuencia de signos enteramente asignificativa<\/em><\/strong>. En este contexto<\/em> <\/strong>es s\u00f3lo de una \u201cproposici\u00f3n<\/em><\/strong>\u201d que qued\u00f3 demostrada, esto es, para la cual se construy\u00f3 una prueba<\/strong> <\/em>a trav\u00e9s de la cual qued\u00f3 integrada a un sistema<\/em><\/strong>, que decimos que es verdadera<\/strong><\/em>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

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En matem\u00e1ticas, una proposici\u00f3n\/regla no integrada a un sistema de proposiciones\/reglas no es m\u00e1s que una secuencia de signos enteramente asignificativa<\/em>. <\/strong><\/span><\/p>\n

La demostraci\u00f3n de una proposici\u00f3n\/regla es lo que establece la conexi\u00f3n conceptual que posteriormente queda fija, es decir, se vuelve definitiva.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

La demostraci\u00f3n de una proposici\u00f3n\/regla<\/em> es lo que establece la conexi\u00f3n conceptual que posteriormente queda fija<\/strong>, es decir, que se vuelve definitiva<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Si hablamos de \u201csistemas<\/em><\/strong>\u201d, hay que recordar la muy \u00fatil dicotom\u00eda que Wittgenstein<\/strong> introduce de <sistema versus totalidad<\/strong><\/em>>. <\/span><\/p>\n

Las totalidades son emp\u00edricas<\/strong>: la de los ni\u00f1os de mi escuela, la de los habitantes de mi pa\u00eds, la de los \u00e1rboles del planeta, la de los objetos del universo. <\/span><\/p>\n

Los objetos de una totalidad<\/strong> est\u00e1n vinculados entre s\u00ed por relaciones externas<\/strong>, esto es, contingentes<\/strong>. En cambio, los elementos de los sistemas<\/strong> est\u00e1n conectados entre s\u00ed por relaciones internas<\/strong>, o sea, necesarias<\/em>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

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Los objetos de una totalidad est\u00e1n vinculados entre s\u00ed por relaciones externas, esto es, contingentes. <\/span><\/strong><\/p>\n

En cambio, los elementos de los sistemas est\u00e1n conectados entre s\u00ed por relaciones internas, o sea, necesarias.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Una investigaci\u00f3n de una totalidad da lugar a una hip\u00f3tesis<\/strong>. Se sigue que en matem\u00e1ticas no hay hip\u00f3tesis<\/strong> y la tesis de que s\u00ed las hay (conjeturas, por ejemplo<\/em>) es uno de los blancos preferidos de Wittgenstein<\/strong>. <\/span><\/p>\n

La conjetura de Goldbach<\/strong><\/em>, por ejemplo<\/em>. No es una proposici\u00f3n matem\u00e1tica sino una regla de gram\u00e1tica para los juegos de lenguaje de los n\u00fameros pares y primos<\/strong> (por eso, dicho sea de paso, no es \u201cdemostrable\u201d<\/em>). <\/span><\/p>\n

Esto est\u00e1 vinculado con la idea de que la \u00fanica forma de tener proposiciones matem\u00e1ticas es mediante sus respectivas demostraciones<\/strong>. Es a trav\u00e9s de su prueba como una expresi\u00f3n escrita en el vocabulario de las matem\u00e1ticas c\u00f3mo \u00e9sta adquiere su verdadero sentido. Es la prueba lo que dice lo que la expresi\u00f3n matem\u00e1tica expresa. De ah\u00ed que mientras no haya prueba no hay proposici\u00f3n matem\u00e1tica, estrictamente hablando.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Es a trav\u00e9s de su prueba como una expresi\u00f3n escrita en el vocabulario de las matem\u00e1ticas c\u00f3mo \u00e9sta adquiere su verdadero sentido. <\/span><\/strong><\/p>\n

Es la prueba lo que dice lo que la expresi\u00f3n matem\u00e1tica expresa. <\/span><\/strong><\/p>\n

De ah\u00ed que mientras no haya prueba no hay proposici\u00f3n matem\u00e1tica, estrictamente hablando.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

Es intuitivamente obvio que los usuarios del lenguaje tienen que tener a su disposici\u00f3n toda una gama de mecanismos para corroborar o rechazar las afirmaciones que se hagan. Ahora bien, es evidente que el m\u00e9todo de confirmaci\u00f3n de lo que se diga tiene que estar de alguna manera conectado con su sentido<\/em><\/a><\/strong>. <\/span><\/p>\n

Por ejemplo<\/em>, no se confirma de la misma manera una afirmaci\u00f3n sobre el surgimiento de una estrella que una afirmaci\u00f3n referente a un sue\u00f1o<\/strong>, lo cual indica que el <\/strong>sentido de las proposiciones<\/strong> que se hacen en astronom\u00eda es dr\u00e1sticamente diferente al sentido de las proposiciones que conforman la narrativa<\/strong> de un sue\u00f1o<\/em> y la diferencia<\/strong>, obviamente, no es de gram\u00e1tica superficial<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Pasa lo mismo con las matem\u00e1ticas<\/strong>: \u00e9stas tiene su peculiar sentido<\/strong> <\/em>y \u00e9ste toma cuerpo a trav\u00e9s de su mecanismo<\/strong> de confirmaci\u00f3n<\/strong>, esto es, a trav\u00e9s de su prueba<\/em><\/strong>, es decir, de lo que se reconoce como prueba est\u00e1ndar de la<\/em> proposici\u00f3n\/regla<\/em><\/strong> en cuesti\u00f3n<\/em> (puede ser por sustituciones, por inducci\u00f3n, etc<\/em>.).<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

En las matem\u00e1ticas, tiene su peculiar sentido que toma cuerpo a trav\u00e9s de su mecanismo de confirmaci\u00f3n, esto es, a trav\u00e9s de su prueba, es decir, de lo que se reconoce como prueba est\u00e1ndar de la proposici\u00f3n\/regla<\/em> en cuesti\u00f3n<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Es claro que la proposici\u00f3n\/regla<\/em><\/strong> puede quedar integrada dentro de un sistema<\/em> s\u00f3lo gracias a una demostraci\u00f3n<\/em> y es por eso que lo que \u00e9sta logra es precisamente dotarla de sentido<\/em><\/strong>. En matem\u00e1ticas si no hay demostraci\u00f3n<\/strong> <\/em>entonces no hay proposici\u00f3n\/regla<\/em> <\/strong>matem\u00e1tica, propiamente hablando.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

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En matem\u00e1ticas si no hay demostraci\u00f3n<\/em> entonces no hay proposici\u00f3n\/regla<\/em> matem\u00e1tica, propiamente hablando. <\/span><\/strong><\/p>\n

Lo que la proposici\u00f3n\/regla<\/em> dice es lo que su prueba<\/em> exhibe.<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Como dije m\u00e1s arriba, de hecho lo que la proposici\u00f3n\/regla<\/em><\/strong> dice es lo que su prueba exhibe<\/strong>. Hay una conexi\u00f3n esencial<\/em> entre la proposici\u00f3n\/regla<\/em><\/strong> y su prueba, una conexi\u00f3n<\/strong> tal que si se rompe entonces la proposici\u00f3n\/regla<\/strong><\/em> qua proposici\u00f3n matem\u00e1tica en cierto sentido se destruye, puesto que el sentido<\/em> de la proposici\u00f3n<\/em> est\u00e1 en la prueba<\/em> misma, es decir, es el todo de las transiciones que culmina en ella<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Y aqu\u00ed se genera una situaci\u00f3n que en una primera instancia resulta un tanto parad\u00f3jica, pero que una vez hechas las aclaraciones se vuelve perfectamente comprensible, a saber, que una expresi\u00f3n elaborada con signos matem\u00e1ticos<\/strong> (lo que llamamos una <\/em>\u2018proposici\u00f3n\/regla\u2019<\/em><\/strong>) sin prueba no significa absolutamente nada<\/strong>, pero se vuelve significativa tan pronto se proporciona su prueba. Esto tiene, como veremos, muy importantes consecuencias.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

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Una expresi\u00f3n elaborada con signos matem\u00e1ticos (lo que llamamos una <\/em>\u2018proposici\u00f3n\/regla\u2019<\/em>) sin prueba no significa absolutamente nada, pero se vuelve significativa tan pronto se proporciona su prueba. <\/span><\/strong><\/p>\n

Una vez alcanzada la demostraci\u00f3n de una proposici\u00f3n\/regla<\/em> \u00e9sta, por as\u00ed decirlo, queda inscrita en el sistema y se vuelve inamovible; se convierte en un paradigma de acuerdo con el cual podemos empezar a hacer nuevos c\u00e1lculos.<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Una caracter\u00edstica de los sistemas matem\u00e1ticos es que una vez alcanzada la demostraci\u00f3n<\/strong> de una proposici\u00f3n\/regla<\/em><\/strong> \u00e9sta, por as\u00ed decirlo, queda inscrita en el sistema y se vuelve inamovible. Lo que esto significa es que se convierte en un paradigma de acuerdo con el cual podemos empezar a hacer nuevos c\u00e1lculos<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Pero para que ello suceda, y esto es de vital importancia, la prueba tiene que ser pr\u00edstina, conspicua, reconocible como tal<\/strong>; en terminolog\u00eda de Wittgenstein<\/strong>, tiene que poder ser f\u00e1cilmente examinable<\/strong><\/em> (surveyable<\/em>), es decir, tenemos que tener de ella una representaci\u00f3n sin\u00f3ptica o perspicua<\/strong><\/em> (\u00dcbersichlichkeit<\/em>).<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

la prueba tiene que ser pr\u00edstina, conspicua, reconocible como tal: en terminolog\u00eda de Wittgenstein, tiene que poder ser f\u00e1cilmente examinable (surveyable<\/em>), es decir, tenemos que tener de ella una representaci\u00f3n sin\u00f3ptica o perspicua (\u00dcbersichlichkeit<\/em>).<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

En matem\u00e1ticas no puede haber pruebas borrosas, meramente probables, tentativas<\/strong>, etc. Una prueba no contundente no sirve para nada en matem\u00e1ticas y hablando con mayor rigor simplemente no es\u00a0<\/span>una prueba.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Una prueba no contundente no sirve para nada en matem\u00e1ticas y hablando con mayor rigor simplemente no es\u00a0<\/span>una prueba. <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

En matem\u00e1ticas no puede haber meras \u201chip\u00f3tesis<\/em>\u201d, no puede haber resultados meramente probables, porque las matem\u00e1ticas no son estrictamente hablando una ciencia<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Esto es comprensible: ya vimos que en matem\u00e1ticas no puede haber meras \u201chip\u00f3tesis<\/em>\u201d, no puede haber resultados meramente probables, porque las matem\u00e1ticas no son estrictamente hablando una ciencia<\/strong>. Esto est\u00e1 directamente relacionado con las distinciones previamente trazadas entre \u201cproposici\u00f3n\/regla<\/em><\/strong>\u201d e \u201chip\u00f3tesis cient\u00edfica<\/em><\/strong>\u201d y entre sistema<\/strong> <\/em>y totalidad<\/strong><\/em>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Esto est\u00e1 directamente relacionado con las distinciones previamente trazadas entre \u201cproposici\u00f3n\/regla<\/em>\u201d e \u201chip\u00f3tesis cient\u00edfica<\/em>\u201d y entre sistema <\/em>y totalidad<\/em><\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Las matem\u00e1ticas tienen ese car\u00e1cter normativo del que precisamente carecen las teor\u00edas cient\u00edficas<\/strong>. As\u00ed, pues, si no me equivoco es m\u00e1s o menos el todo de la concepci\u00f3n corriente de las matem\u00e1ticas lo que est\u00e1 mal y poco a poco se desmorona.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

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Las matem\u00e1ticas tienen ese car\u00e1cter normativo del que precisamente carecen las teor\u00edas cient\u00edficas<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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\"\"<\/a><\/p>\n

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La idea de que una prueba en matem\u00e1ticas debe poder ser en todo momento inspeccionable coadyuva a hacer ver que el proyecto logicista<\/em> es absurdo<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

La idea de que una prueba en matem\u00e1ticas debe poder ser en todo momento inspeccionable coadyuva a hacer ver que el proyecto logicista<\/strong><\/em><\/a> es absurdo. <\/span><\/p>\n

No hay nada m\u00e1s f\u00e1cil que sumar mil y mil<\/em>. El resultado es dos mil. Pero si tenemos que ofrecer la prueba de esa simple suma en el lenguaje russelliano<\/em><\/strong> vamos a necesitar un cuaderno completo para poder hacer la transcripci\u00f3n y en esas condiciones: \u00bfDe qu\u00e9 sirve la supuesta \u201cdemostraci\u00f3n<\/em>\u201d?\u00a0<\/strong><\/span><\/p>\n

\u00bfQui\u00e9n nos puede asegurar que no nos equivocamos en alguna de las operaciones de la transcripci\u00f3n de la suma al lenguaje de la l\u00f3gica y la teor\u00eda de conjuntos? \u00bfC\u00f3mo sabemos que no necesitamos una prueba para esa prueba?\u00a0<\/strong><\/span><\/p>\n

Si eso pasa con una operaci\u00f3n tan simple como la mencionada: \u00bfc\u00f3mo ser\u00eda una transcripci\u00f3n logicista<\/em><\/strong> de, e.g.<\/em>, una ecuaci\u00f3n de segundo grado<\/em>? <\/span><\/p>\n

Peor a\u00fan<\/strong>: \u00bfno es justamente el hecho de que sepamos, de que estemos totalmente seguros de que llegamos al resultado correcto en una operaci\u00f3n aritm\u00e9tica<\/strong> lo que nos asegura, lo que nos hace aceptar la idea de que la transcripci\u00f3n russelliana<\/em><\/strong>, asumiendo que es fiel, es una tautolog\u00eda<\/em><\/strong><\/a>?<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Peor a\u00fan: \u00bfNo es justamente el hecho de que sepamos, de que estemos totalmente seguros de que llegamos al resultado correcto en una operaci\u00f3n aritm\u00e9tica lo que nos asegura, lo que nos hace aceptar la idea de que la transcripci\u00f3n russelliana<\/em>, asumiendo que es fiel, es una tautolog\u00eda<\/em>?<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Pero si ello es as\u00ed \u00bfcu\u00e1l es el sentido de la fundamentaci\u00f3n logicista<\/em> de las matem\u00e1ticas?<\/strong> Es claro que estamos en presencia de una profunda incomprensi\u00f3n. <\/span><\/p>\n

Aqu\u00ed vale la pena observar lo siguiente: una demostraci\u00f3n l\u00f3gica dentro de un c\u00e1lculo cualquiera<\/strong> tiene exactamente las caracter\u00edsticas que Wittgenstein<\/strong> reclama para las pruebas matem\u00e1ticas<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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Una demostraci\u00f3n l\u00f3gica dentro de un c\u00e1lculo cualquiera tiene exactamente las caracter\u00edsticas que Wittgenstein reclama para las pruebas matem\u00e1ticas<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

El problema es cuando la t\u00e9cnica l\u00f3gica es puesta al servicio de un programa filos\u00f3fico desorientado<\/strong> (en este caso, de fundamentaci\u00f3n de las matem\u00e1ticas<\/em>). <\/span><\/p>\n

Lo que no se entiende son las relaciones entre los c\u00e1lculos matem\u00e1ticos y los c\u00e1lculos l\u00f3gicos<\/strong>. Que unos se puedan poner en conexi\u00f3n<\/em> con otros de manera sistem\u00e1tica<\/em> no significa que unos sirvan para \u201cfundamentar<\/em>\u201d a otros.<\/span><\/p>\n

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Lo que no se entiende son las relaciones entre los c\u00e1lculos matem\u00e1ticos y los c\u00e1lculos l\u00f3gicos.<\/span><\/strong><\/p>\n

Que unos se puedan poner en conexi\u00f3n con otros de manera sistem\u00e1tica no significa que unos sirvan para \u201cfundamentar<\/em>\u201d a otros.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Es la conexi\u00f3n<\/em> lo que no se entiende<\/strong> y es por eso que Wittgenstein<\/strong> cuestiona la pretensi\u00f3n logicista<\/strong><\/em>. Sobre la idea espuria de metamatem\u00e1tica<\/em> dir\u00e9 brevemente algo m\u00e1s abajo.<\/span><\/p>\n

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Es la conexi\u00f3n lo que no se entiende y es por eso que Wittgenstein cuestiona la pretensi\u00f3n logicista<\/em><\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Ortega y Wittgenstein<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

Seguir una regla<\/strong><\/span><\/h4>\n

Sin duda, en el n\u00facleo de la filosof\u00eda wittgensteiniana de las matem\u00e1ticas<\/strong><\/em> est\u00e1 su parte m\u00e1s original, viz., las consideraciones en torno a lo que es seguir una regla.<\/strong> Hasta donde logro ver, esta discusi\u00f3n es\u00a0<\/span>muy probablemente la \u00fanica contribuci\u00f3n en los \u00faltimos siglos de un t\u00f3pico filos\u00f3fico nuevo. <\/span><\/p>\n

El tema es de primera importancia, puesto que lo que est\u00e1 en juego es el car\u00e1cter objetivo de las matem\u00e1ticas<\/strong>. Lo que aqu\u00ed har\u00e9 ser\u00e1 ofrecer una presentaci\u00f3n sint\u00e9tica de la argumentaci\u00f3n wittgensteiniana<\/em><\/strong>, dejando de lado multitud de sutilezas de su planteamiento, recogido b\u00e1sicamente en las Investigaciones Filos\u00f3ficas<\/em><\/strong>. <\/span><\/p>\n

Para nuestros prop\u00f3sitos quiz\u00e1 la pregunta pertinente de arranque sea: \u00bfc\u00f3mo dar cuenta de la objetividad de las matem\u00e1ticas sin crear un mito filos\u00f3fico al respecto?<\/strong><\/span><\/p>\n

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\u00bfC\u00f3mo dar cuenta de la objetividad de las matem\u00e1ticas sin crear un mito filos\u00f3fico al respecto?<\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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La cuesti\u00f3n es: en matem\u00e1ticas, en todos sus niveles, operamos con reglas<\/strong>, como por ejemplo las reglas para las operaciones elementales de la aritm\u00e9tica (sumar, restar, etc<\/em>.). Es porque aplicamos estas reglas que obtenemos los resultados correctos<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Pero \u00bfc\u00f3mo descubrimos e interiorizamos dichas reglas?<\/strong> Aqu\u00ed respuestas en t\u00e9rminos de intuiciones o inspiraciones son obviamente inaceptables.<\/span><\/p>\n

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El argumento definitivo en contra de las respuestas usuales es: una regla como la de la adici\u00f3n vale para un n\u00famero infinito de casos<\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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El argumento definitivo en contra de las respuestas usuales es: una regla como la de la adici\u00f3n vale para un n\u00famero infinito de casos<\/strong>. Nadie ha realizado un n\u00famero finito de operaciones, sino m\u00e1s bien un muy reducido n\u00famero de aplicaciones de dicha regla. \u00bfC\u00f3mo entonces, sobre la base de un n\u00famero finito de casos, se puede aprehender una regla que vale para un n\u00famero infinito de ellos?<\/span><\/p>\n

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Nadie ha realizado un n\u00famero finito de operaciones, sino m\u00e1s bien un muy reducido n\u00famero de aplicaciones de dicha regla. <\/span><\/strong><\/p>\n

\u00bfC\u00f3mo entonces, sobre la base de un n\u00famero finito de casos, se puede aprehender una regla que vale para un n\u00famero infinito de ellos?<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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\"\"<\/a>
\u00abEl infinito enigma\u00bb (Dali)<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

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Muy r\u00e1pidamente puede hacerse ver que la respuesta en t\u00e9rminos de flash mental, de aprehensi\u00f3n instant\u00e1nea, de intuici\u00f3n trascendental, de sentido com\u00fan, de inspiraci\u00f3n divina sencillamente no sirven. <\/span><\/p>\n

Pero entonces \u00bfc\u00f3mo es que logramos aprehender reglas as\u00ed? <\/strong><\/span><\/p>\n

Es obvio que las reglas de la aritm\u00e9tica, como cualesquiera otra regla (de gram\u00e1tica o de m\u00fasica, por ejemplo<\/em>), nos son ense\u00f1adas<\/strong>. Nadie nace sabiendo nada. El primer paso en el proceso de interiorizaci\u00f3n de una regla es que a partir de cierto momento el aprendiz reaccione como los dem\u00e1s, esto es, como todos nosotros.<\/span><\/p>\n

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El primer paso en el proceso de interiorizaci\u00f3n de una regla es que a partir de cierto momento el aprendiz reaccione como los dem\u00e1s, esto es, como todos nosotros<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Es sobre esa plataforma que se inicia el proceso que culmina en \u2018\u00a1Ya entend\u00ed<\/em>!\u2019 o en \u2018Ya comprendi\u00f3<\/em>\u2019<\/strong>. Aqu\u00ed la noci\u00f3n de criterio<\/em><\/strong><\/a> se revela como decisiva, puesto que la oraci\u00f3n \u2018Ya entend\u00ed<\/em>\u2019 no es una descripci\u00f3n de nada, sino una interjecci\u00f3n, la expresi\u00f3n del sentimiento de que la regla ya fue interiorizada y que ya puede uno seguir adelante por su cuenta<\/strong>. Por eso el que alguien diga que ya entendi\u00f3 no basta: necesitamos corroborarlo y para eso tenemos criterios<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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El que alguien diga que ya entendi\u00f3 no basta: necesitamos corroborarlo y para eso tenemos criterios<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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En el caso de la suma nuestros criterios<\/strong> (los cuales, evidentemente, son compartidos por los usuarios de los juegos de lenguaje<\/em>) son cosas como la resoluci\u00f3n de ejercicios por parte del aprendiz, el hecho de que sume en muchas ocasiones correctamente, que pueda corregir a otros, etc<\/strong>. Y obviamente nada habr\u00eda de m\u00e1s rid\u00edculo que a alguien se le ocurriera preguntar cosas \u2018\u00bfCu\u00e1ndo aprendi\u00f3 ya el ni\u00f1o a sumar?<\/em>\u2019 o \u2018\u00bfcu\u00e1ntas operaciones tiene que hacer bien alguien para que\u00a0<\/em><\/span>digamos que ya comprendi\u00f3?<\/em>\u2019. <\/span><\/p>\n

La situaci\u00f3n es obvia: es cuando ya en un n\u00famero suficiente de casos hace las cosas bien, cuando puede corregir a otros y auto-corregirse, que entonces decimos del aprendiz que ya sabe sumar, que ya interioriz\u00f3 la regla de la adici\u00f3n<\/strong>, que (por as\u00ed decirlo<\/em>) ya se dej\u00f3 convencer por ella, es decir, que ya la aplica tal como los dem\u00e1s lo hacen<\/strong>. <\/span><\/p>\n

En otras palabras: su educaci\u00f3n progres\u00f3 y ya reacciona como los usuarios normales del simbolismo en este contexto<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Es muy importante entender que el resultado de la regla no es una arbitrariedad, sino el resultado correcto<\/strong>.\u00a0<\/span>Lo correcto no es meramente lo que una comunidad ling\u00fc\u00edstica determina. Este es el quid del asunto, es claro que para cada suma hay un n\u00famero infinito de reglas que podr\u00eda ofrecerse.<\/span><\/p>\n

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El resultado de la regla no es una arbitrariedad, sino el resultado correcto. <\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

Lo correcto no es meramente lo que una comunidad ling\u00fc\u00edstica determina.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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\"\"<\/a><\/p>\n

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No obstante, hay s\u00f3lo una que es, por as\u00ed decirlo, v\u00e1lida<\/strong>. Aqu\u00ed nos topamos con la paradoja de Wittgenstein<\/strong>, una paradoja que \u00e9l mismo plantea pero que tiene una resoluci\u00f3n. <\/span><\/p>\n

Aqu\u00ed s\u00ed me voy a permitir citarlo in extenso. Dice Wittgenstein<\/strong>: <\/span><\/p>\n

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\u201cEsta era nuestra paradoja: una regla no podr\u00eda determinar ning\u00fan curso de acci\u00f3n, porque todo curso de acci\u00f3n podr\u00eda hacerse concordar con una regla. La respuesta era: si todo se puede hacer concordar con la regla, entonces tambi\u00e9n se le puede hacer entrar en conflicto con ella. Por lo que no habr\u00eda aqu\u00ed ni acuerdo ni conflicto. <\/span><\/strong><\/p>\n

Que hay aqu\u00ed una incomprensi\u00f3n se muestra en que en este ejercicio de pensamiento dimos interpretaci\u00f3n tras interpretaci\u00f3n; como si cada una de ellas por un momento nos dejara satisfechos, hasta que pensamos en otra interpretaci\u00f3n que est\u00e1 detr\u00e1s de ella. Con lo que ello mostramos es que hay un modo de aprehender una regla que no es una interpretaci\u00f3n, sino que se exhibe de caso en caso de aplicaci\u00f3n en lo que llamamos \u2018obedecer la regla\u2019\u2019 e \u2018ir en contra de ella\u2019. <\/span><\/strong><\/p>\n

De ah\u00ed que haya una inclinaci\u00f3n a decir: toda acci\u00f3n en concordancia con la regla es una interpretaci\u00f3n. Pero s\u00f3lo se deber\u00eda llamar \u2018interpretaci\u00f3n\u2019 a la sustituci\u00f3n de una expresi\u00f3n de la regla por otra\u201d <\/span><\/strong><\/p>\n

(Wittgenstein, 1974: sec. 201). <\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

O sea, hay una forma de usar una regla que es lo que llamamos \u2018obedecer la regla<\/em>\u2019, \u2018acatar la regla<\/em>\u2019, \u2018actuar en concordancia con la regla<\/em>\u2019, etc. <\/span><\/p>\n

La pr\u00e1ctica misma de \u201cseguir una regla<\/em>\u201d es posible porque se produce entre nosotros una \u201cconcordancia en reacciones<\/em>\u201d<\/strong>: es un hecho de la naturaleza que todos tendemos a reaccionar de la misma manera<\/strong>. Es s\u00f3lo sobre la base de esa \u201cconcordancia<\/em>\u201d que se pueden generar los acuerdos, las convenciones, etc., por medio de las cuales las matem\u00e1ticas se construyen y desarrollan.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

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Es un hecho de la naturaleza que todos tendemos a reaccionar de la misma manera. Es s\u00f3lo sobre la base de esa \u201cconcordancia<\/em>\u201d que se pueden generar los acuerdos, las convenciones, etc., por medio de las cuales las matem\u00e1ticas se construyen y desarrollan.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Michael Anthony Eardley Dummett<\/strong><\/a> F.B.A. (1925- 2011) fue un destacado fil\u00f3sofo brit\u00e1nico, particularmente conocido por su labor como comentarista de Gottlob Frege<\/strong>.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

As\u00ed, el fundamento \u00faltimo de la idea de regla objetiva y correctamente aplicada son\u00a0<\/span>ciertos hechos brutos de la naturaleza humana y del mundo en general (los objetos no aparecen y desaparecen s\u00fabitamente, no se derriten y solidifican de manera sorpresiva, etc.<\/em>), que son lo que permite que se gesten. Y esto, obviamente, no es un vulgar convencionalismo, como en alg\u00fan momento lo sostuvo Dummett<\/strong> (Dummett<\/em><\/strong>, 1978<\/em>).<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

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El fundamento \u00faltimo de la idea de regla objetiva y correctamente aplicada son <\/span>ciertos hechos brutos de la naturaleza humana y del mundo en general, que son lo que permite que se gesten.<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Esto explica la expansi\u00f3n de las matem\u00e1ticas: cuando se trabaja en matem\u00e1ticas no se tienen visiones especiales, sino que simplemente lo que se hace es aplicar reglas, tal como las asimilamos e interiorizamos<\/strong>. No se necesita en lo absoluto apelar a entidades ideales fant\u00e1sticas, procesos internos especiales ni nada que se les parezca.<\/span><\/p>\n

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No se necesita en lo absoluto apelar a entidades ideales fant\u00e1sticas, procesos internos especiales ni nada que se les parezca.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Ciertamente puede haber ocasionalmente discrepancias entre matem\u00e1ticos, pero lo cierto es que en general todos concordamos en los resultados<\/strong>. Desde esta perspectiva las cosas cobran sentido: las matem\u00e1ticas son sistemas de t\u00e9cnicas de c\u00e1lculo hechas posible gracias a que reaccionamos de las mismas formas frente a los mismos est\u00edmulos<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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Las matem\u00e1ticas son sistemas de t\u00e9cnicas de c\u00e1lculo hechas posible gracias a que reaccionamos de las mismas formas frente a los mismos est\u00edmulos.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Las matem\u00e1ticas constituyen una compleja pr\u00e1ctica humana determinada<\/strong>, una pr\u00e1ctica como la de comer, ayudar a alguien si est\u00e1 en peligro, etc. Calcular es algo que nosotros, los humanos, hacemos<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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Bibliograf\u00eda<\/span><\/h3>\n

Dummett, M. (1978). \u201cWittgenstein\u2019s Philosophy of Mathematics\u201d en Truth and Other Enigmas, London: Duckworth.<\/span><\/p>\n

Tomasini Bassols, A. (2006). Filosof\u00eda y Matem\u00e1ticas: ensayos en torno a Wittgenstein, M\u00e9xico: Plaza y Vald\u00e9s.<\/span><\/p>\n

Wittgenstein, L. (1967). Zettel, Oxford: Basil Blackwell.<\/span><\/p>\n

__________ (1974). Philosophical Investigations, Oxford: Basil Blackwell.<\/span><\/p>\n

__________ (1975). Remarks on the Foundations of Mathematics, London: The M.I.T. Press.<\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

\u00a0<\/p>\n

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LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (Parte 1)<\/span><\/strong><\/a><\/p>\n

LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (y Parte 3)<\/span><\/strong><\/a><\/p>\n

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RELACIONADOS:<\/span><\/h2>\n

LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (y Parte 3)<\/a><\/p><\/blockquote>\n