{"id":2307309,"date":"2025-03-10T00:05:51","date_gmt":"2025-03-09T23:05:51","guid":{"rendered":"https:\/\/puntocritico.com\/ausajpuntocritico\/?p=2307309"},"modified":"2025-03-24T00:15:04","modified_gmt":"2025-03-23T23:15:04","slug":"la-filosofia-de-las-matematicas-del-segundo-wittgenstein","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/puntocritico.com\/ausajpuntocritico\/2025\/03\/10\/la-filosofia-de-las-matematicas-del-segundo-wittgenstein\/","title":{"rendered":"LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (Parte 1)"},"content":{"rendered":"

LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN<\/span><\/p>\n\n

 <\/p>\n

LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN<\/span><\/h2>\n

Parte 1<\/span><\/strong><\/p>\n

\n

En este trabajo empiezo por presentar y explicar las nociones clave de la filosof\u00eda del Wittgenstein maduro y que son las que le permiten articular su nueva concepci\u00f3n de las matem\u00e1ticas<\/span> (<\/span>\u201cjuego de lenguaje\u201d, \u201ccriterio\u201d, \u201cgram\u00e1tica\u201d y \u201csemejanzas de familia\u201d, b\u00e1sicamente<\/span>). <\/span><\/em><\/strong><\/p>\n

Acto seguido reconstruyo los puntos de vista desarrollados por Wittgenstein sobre los que son los temas primordiales en su meditaci\u00f3n, como la peculiar naturaleza de las proposiciones matem\u00e1ticas, el an\u00e1lisis del concepto de n\u00famero, el car\u00e1cter decisivo de las demostraciones, el rechazo del fundacionalismo<\/em> y en general de la metamatem\u00e1tica<\/em>, la cuesti\u00f3n de lo que es aplicar una regla y el tema general de las contradicciones. <\/span><\/strong><\/p>\n

Si mi exposici\u00f3n es fiel y acertada, emerge de la exposici\u00f3n un cuadro de las matem\u00e1ticas original y del cual quedaron excluidos los errores de las escuelas tradicionales de filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas.<\/span> <\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

Alejandro Tomasini Bassol<\/span>s<\/span><\/a><\/p>\n

Universidad Nacional Aut\u00f3noma de M\u00e9xico<\/span><\/p>\n

\"LA
El Segundo Wittgenstein (Las investigaciones filos\u00f3ficas)<\/strong><\/a>: Esta segunda fase tiene la peculiaridad de contradecir la primera. Afirma que no existe solo una l\u00f3gica, sino muchas. El significado de un t\u00e9rmino no depende s\u00f3lo de una proyecci\u00f3n mental, tambi\u00e9n de su uso social, es esa la condici\u00f3n que garantiza que sea entendida por los dem\u00e1s.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

INTRODUCCI\u00d3N<\/span><\/h3>\n
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El cambio en cuesti\u00f3n represent\u00f3 el abandono, primero gradual y luego acelerado, del paradigma l\u00f3gico defendido en el Tractatus<\/em> en favor del paradigma que por el momento llamar\u00e9 \u2018praxiol\u00f3gico<\/em>\u2019. <\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

Es en las Investigaciones Filos\u00f3ficas<\/em> en donde se puede encontrar, de manera sumamente comprimida, la destrucci\u00f3n de los supuestos fundamentales del modo de pensar \u2018tractariano\u2019<\/em>.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Como era de esperarse, el cambio operado por Wittgenstein<\/strong> en el terreno de la filosof\u00eda del lenguaje desde principios de los a\u00f1os 30 del siglo pasado acarre\u00f3 dr\u00e1sticas modificaciones en su concepci\u00f3n de las matem\u00e1ticas. <\/span><\/p>\n

Dichas modificaciones no se operaron abruptamente, pero de todos modos s\u00ed se efectuaron con sorprendente rapidez<\/strong>. En efecto, en el curso de unos cuantos a\u00f1os, menos de un lustro, Wittgenstein<\/strong> transform\u00f3 dram\u00e1ticamente quiz\u00e1 no su concepci\u00f3n global de las matem\u00e1ticas, pero ciertamente s\u00ed su forma de dar cuenta de ellas.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

En el curso de unos cuantos a\u00f1os, menos de un lustro, Wittgenstein transform\u00f3 dram\u00e1ticamente quiz\u00e1 no su concepci\u00f3n global de las matem\u00e1ticas, pero ciertamente s\u00ed su forma de dar cuenta de ellas<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

El cambio en cuesti\u00f3n represent\u00f3 el abandono, primero gradual y luego acelerado, del paradigma l\u00f3gico defendido en el Tractatus<\/em><\/strong><\/a> en favor del paradigma que por el momento llamar\u00e9 \u2018praxiol\u00f3gico<\/em><\/strong>\u2019. Es en las Investigaciones Filos\u00f3ficas<\/strong><\/a> en donde se puede encontrar, de manera sumamente comprimida, la destrucci\u00f3n de los supuestos fundamentales del modo de pensar tractariano<\/em>. <\/span><\/p>\n

Sin entrar en detalles, quiz\u00e1 sea \u00fatil decir en unas cuantas palabras en qu\u00e9 consisti\u00f3 dicha \u201cdestrucci\u00f3n<\/em>\u201d<\/strong>. <\/span><\/p>\n

L<\/span><\/strong>a situaci\u00f3n es b\u00e1sicamente la siguiente<\/strong>: a trav\u00e9s de diversas aclaraciones y experimentos de pensamiento, Wittgenstein<\/strong> desmantela la teor\u00eda agustiniana del lenguaje<\/em>, lo cual incluye la teor\u00eda de los nombres<\/em>, la teor\u00eda est\u00e1ndar de los predicados<\/em> y la idea de que decir algo es ante todo enunciar una proposici\u00f3n<\/strong><\/em>, esto es, una \u201centidad<\/em>\u201d cuyo rasgo esencial es ser verdadera o falsa. <\/span><\/p>\n

En realidad, es el todo de la concepci\u00f3n usual del lenguaje, la que aunque con variantes importantes es la compartida por pr\u00e1cticamente todos los fil\u00f3sofos, lo que Wittgenstein\u00a0<\/strong><\/span>echa por tierra. <\/span><\/p>\n

Lo que en su lugar elabora es una concepci\u00f3n del lenguaje contemplado desde la perspectiva del uso que de \u00e9l hacen los hablantes y de la utilidad que presta<\/strong>, para lo cual tiene que ser visto en t\u00e9rminos de lo que Wittgenstein<\/strong> denomin\u00f3 \u2018juegos de lenguaje<\/em><\/strong>\u2019 y \u2018formas de vida<\/em><\/strong>\u2019.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Una concepci\u00f3n del lenguaje contemplado desde la perspectiva del uso que de \u00e9l hacen los hablantes y de la utilidad que presta<\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Apoyada entonces por un nuevo aparato conceptual y toda una bater\u00eda de estrategias para enfrentar los enigmas de la filosof\u00eda<\/strong> es que hace su aparici\u00f3n una nueva filosof\u00eda del lenguaje<\/strong> en la que el eje de las reflexiones lo constituye el uso de las expresiones<\/strong> y no las categor\u00edas y la estructura de la gram\u00e1tica superficial.<\/span><\/p>\n

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Hace su aparici\u00f3n una nueva filosof\u00eda del lenguaje en la que el eje de las reflexiones lo constituye el uso de las expresiones y no las categor\u00edas y la estructura de la gram\u00e1tica superficial; aprender a examinar los signos en acci\u00f3n, no meras oraciones muertas<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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\"\"<\/p>\n

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Probablemente no ser\u00eda inapropiado proclamar que el gran giro operado por Wittgenstein<\/strong> consisti\u00f3 en aprender a examinar los signos en acci\u00f3n, no meras oraciones muertas<\/strong>, para lo cual se requiere aprender a dejar de ocuparse de su orden aparente, de las distinciones puramente formales<\/em>, como lo son las gramaticales<\/strong> <\/em>(sujeto, predicado, oraci\u00f3n, afirmar, negar, etc.<\/em>) y las que de \u00e9stas de una u otra forma se derivan, como las l\u00f3gicas<\/strong> <\/em>(argumento, funci\u00f3n, proposici\u00f3n y dem\u00e1s<\/em>). <\/span><\/p>\n

De ah\u00ed que no sea factible comprender y apreciar el pensamiento del as\u00ed llamado \u2018segundo Wittgenstein<\/strong><\/em>\u2019 si uno no se ha familiarizado, aunque sea m\u00ednimamente, con su terminolog\u00eda, su enfoque y sus ejercicios filos\u00f3ficos. As\u00ed, pues, aunque no nos propongamos hacer una exposici\u00f3n detallada de este marco general del nuevo modo de pensar wittgensteiniano<\/em> <\/strong>es ineludible no decir unas cuantas palabras al respecto.<\/span><\/p>\n

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El aparato conceptual del segundo Wittgenstein es totalmente original. Dicho aparato constituye el apero o instrumental que le permitir\u00e1 efectuar lo que qued\u00f3 categorizado como \u201can\u00e1lisis gramaticales<\/em>\u201d<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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El aparato conceptual del segundo Wittgenstein<\/strong> es totalmente original<\/strong>. Dicho aparato constituye el apero o instrumental<\/em> que le permitir\u00e1 efectuar lo que qued\u00f3 categorizado como \u201can\u00e1lisis gramaticales<\/em><\/strong>\u201d. Ejemplos de nociones conformadas por Wittgenstein<\/strong> para desarrollar su neo-filosof\u00eda<\/em> son las bien conocidas de \u201csemejanza de familia<\/em><\/strong>\u201d, \u201cver como<\/em><\/strong>\u201d y \u201cforma de vida<\/em><\/strong>\u201d. <\/span><\/p>\n

Sin embargo, para nuestros prop\u00f3sitos, las cruciales o decisivas son las de gram\u00e1tica y regla gramatical, juego de lenguaje, criterio y semejanzas de familia<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Al aplicar estas nociones, Wittgenstein<\/strong> puede dar cuenta de las diversas cuestiones que va enfrentando gracias a lo cual poco a poco emerge una concepci\u00f3n realmente esclarecedora de las matem\u00e1ticas en su conjunto<\/strong>. Muy r\u00e1pidamente dir\u00e9 unas cuantas palabras acerca de cada una de ellas sin adentrarme mayormente en la cuesti\u00f3n de su justificaci\u00f3n filos\u00f3fica.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

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Sin embargo, para nuestros prop\u00f3sitos, las cruciales o decisivas son las de gram\u00e1tica y regla gramatical, juego de lenguaje, criterio y semejanzas de familia.<\/span> <\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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\"\"<\/a><\/p>\n

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Juego de lenguaje<\/strong><\/span><\/h4>\n

En su lucha contra las concepciones puramente formales del lenguaje, las cuales se sirven de grandes clasificaciones<\/strong> (afirmar\/ negar, sujeto\/predicado, nombrar\/adscribir, descripci\u00f3n\/evaluaci\u00f3n, etc.<\/em>), Wittgenstein<\/strong> se ve llevado a promover una concepci\u00f3n del lenguaje en la que \u00e9ste es considerado desde la perspectiva de su aplicaci\u00f3n o empleo por parte de los hablantes y por consiguiente de la utilidad que efectivamente\u00a0<\/strong><\/span>presta<\/strong>. Dicha utilidad, naturalmente, est\u00e1 vinculada a las actividades de los usuarios del lenguaje.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

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Una concepci\u00f3n del lenguaje en la que \u00e9ste es considerado desde la perspectiva de su aplicaci\u00f3n o empleo por parte de los hablantes y por consiguiente de la utilidad que efectivamente <\/span>presta. <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

Dicha utilidad, naturalmente, est\u00e1 vinculada a las actividades de los usuarios del lenguaje. <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

A las actividades, socialmente reconocidas como tales, asociadas con las palabras las llama Wittgenstein \u2018formas de vida<\/em>\u2019. <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

Lo humano se manifiesta o toma cuerpo a trav\u00e9s de dichas actividades y es en conexi\u00f3n con ellas que brota el significado de nuestras palabras. <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

Para saber qu\u00e9 quiso decir el hablante se requiere ver en conexi\u00f3n <\/em>con qu\u00e9 actividades fueron empleadas as\u00ed como tener una idea del contexto <\/em>de la emisi\u00f3n<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Desde esta perspectiva praxiol\u00f3gica<\/em><\/strong>, lo que cuenta es lo que los hablantes de hecho hacen con las palabras, pero eso es algo que las palabras por s\u00ed solas no indican<\/strong>: para saber qu\u00e9 quiso decir el hablante se requiere ver en conexi\u00f3n<\/strong> <\/em>con qu\u00e9 actividades fueron empleadas as\u00ed como tener una idea del contexto<\/strong> <\/em>de la emisi\u00f3n.<\/span><\/p>\n

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Desde la perspectiva praxiol\u00f3gica<\/em>, lo que cuenta es lo que los hablantes de hecho hacen con las palabras, pero eso es algo que las palabras por s\u00ed solas no indican<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

A las actividades, socialmente reconocidas como tales, asociadas con las palabras las llama Wittgenstein<\/strong> \u2018formas de vida<\/em><\/strong>\u2019. <\/span><\/p>\n

Desde este punto de vista, lo humano se manifiesta o toma cuerpo a trav\u00e9s de dichas actividades y es en conexi\u00f3n con ellas que brota el significado de nuestras palabras<\/strong>. El significado de lo que decimos no puede quedar establecido a priori<\/em><\/a><\/strong>, puesto que s\u00f3lo puede emerger cuando el hablante manifiesta ling\u00fc\u00edsticamente lo que quiere y eso depender\u00e1 de factores emp\u00edricos, como son lo que haga y sus circunstancias.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

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El significado de lo que decimos no puede quedar establecido a priori<\/em>, puesto que s\u00f3lo puede emerger cuando el hablante manifiesta ling\u00fc\u00edsticamente lo que quiere y eso depender\u00e1 de factores emp\u00edricos, como son lo que haga y sus circunstancias<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

El significado no es, por as\u00ed decirlo, un derecho natural de las palabras<\/strong>, algo que ellas tengan per se<\/em>, por el mero hecho de ser signos<\/strong><\/em>, sino que \u00e9stas se vuelven significativas en la medida en que son \u00fatiles<\/strong> y son \u00fatiles cuando son empleadas en conexi\u00f3n con alguna actividad socialmente discernible<\/strong>, esto es, con una forma de vida<\/em><\/strong>.<\/span><\/p>\n

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El significado proviene del uso de las palabras y \u00e9ste es de lo m\u00e1s variado, por la sencilla raz\u00f3n de que las actividades humanas son de lo m\u00e1s variado<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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El significado proviene del uso de las palabras y \u00e9ste es de lo m\u00e1s variado<\/strong>, por la sencilla raz\u00f3n de que las actividades humanas son de lo m\u00e1s variado. De ah\u00ed que un juego de lenguaje sea b\u00e1sicamente un conjunto de palabras y la actividad en conexi\u00f3n con la cual son empleadas<\/strong>. <\/span><\/p>\n

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Un juego de lenguaje b\u00e1sicamente es un conjunto de palabras, y la actividad en conexi\u00f3n con la cual son empleadas (su significado no puede estar pre-establecido<\/em>)<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

As\u00ed contempladas las cosas, resulta obvio que el significado no puede estar, por as\u00ed decirlo, pre-establecido<\/strong>. Quiz\u00e1 valga la pena ilustrar esto r\u00e1pidamente.\u00a0<\/span>Consideremos una expresi\u00f3n simple como \u2018La ciudad de M\u00e9xico est\u00e1 sobrepoblada<\/em>\u2019. \u00bfQu\u00e9 quiere decir esto?<\/strong> <\/span><\/p>\n

En la concepci\u00f3n tradicional<\/strong><\/em> habr\u00eda que decir que la oraci\u00f3n tiene como sentido una proposici\u00f3n, la cual se compone de un sujeto, a saber, la ciudad de M\u00e9xico, del cual predicamos una propiedad particular, viz., la de estar sobrepoblada. Esto, obviamente, no es m\u00e1s que una transcripci\u00f3n del lenguaje coloquial a la jerga filos\u00f3fica y no explica absolutamente nada<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Adoptando la perspectiva wittgensteiniana<\/strong><\/em>, pregunt\u00e9monos nosotros: \u00bfqu\u00e9 significa esa oraci\u00f3n?<\/strong> La respuesta es simple: no lo podemos determinar de antemano<\/strong>. Necesitamos conocer su aplicaci\u00f3n<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Por ejemplo<\/em>, podemos conferirle, en funci\u00f3n de la actividad desplegada por los hablantes que la emplean, por lo menos los siguientes sentidos<\/strong>: <\/span><\/p>\n

\n

1. Es una descripci\u00f3n que un lugare\u00f1o le da a un turista.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

2. Es parte de una respuesta de un alumno durante un examen.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

3. Es una advertencia que alguien le hace a un pol\u00edtico que pretende tomar una determinada decisi\u00f3n.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

4. Es una insinuaci\u00f3n para los ejecutivos de un laboratorio que quiere probar ciertos medicamentos en un centro urbano con determinadas caracter\u00edsticas.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

5. Puede ser la oraci\u00f3n inicial de un novela cuyo tema se desarrolla en o es la ciudad de M\u00e9xico.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

6. Puede ser una informaci\u00f3n en clave que un esp\u00eda le proporciona a otro.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

y as\u00ed indefinidamente.\u00a0<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Lo m\u00e1s absurdo, por consiguiente, que podr\u00eda hacerse ser\u00eda pretender determinar el sentido de la oraci\u00f3n apelando a clasificaciones puramente formales<\/strong>. Una vez que se entiende c\u00f3mo se conectan palabras y acciones, semejante aspiraci\u00f3n resulta simplemente risible.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

No hay cabida en la concepci\u00f3n wittgensteiniana del lenguaje para la noci\u00f3n tradicional (fregeano-russelliana<\/em>) de proposici\u00f3n (Gedanke<\/em>). <\/strong><\/span><\/p>\n

\u00bfCon qu\u00e9 la remplaza Wittgenstein? Con la idea de movimiento en el juego de lenguaje.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Como era de esperarse, no hay cabida en la concepci\u00f3n wittgensteiniana del lenguaje para la noci\u00f3n tradicional (fregeano-russelliana<\/em>) de proposici\u00f3n (Gedanke<\/em>)<\/strong>. <\/span><\/p>\n

\u00c9sta es, sin embargo, una noci\u00f3n filos\u00f3ficamente muy socorrida.\u00a0<\/span>\u00bfCon qu\u00e9 la remplaza Wittgenstein<\/strong>? Con la idea de movimiento<\/strong> en el juego de lenguaje<\/em><\/strong>. <\/span><\/p>\n

Adem\u00e1s de los ejercicios filos\u00f3ficos, de los an\u00e1lisis, etc., el contraste del lenguaje con el juego de ajedrez result\u00f3 aqu\u00ed particularmente ilustrativo<\/strong>. <\/span><\/p>\n

En efecto, la noci\u00f3n de jugada<\/em><\/strong>, que es el movimiento que se hace durante el juego, ayuda a entender la idea de movimiento esta vez no con piezas sino con palabras.<\/strong> <\/span><\/p>\n

As\u00ed como no hay un cielo plat\u00f3nico<\/em> poblado por \u201cjugadas<\/em>\u201d de ajedrez, as\u00ed tampoco hay \u201cproposiciones<\/em>\u201d en un mundo ideal, esperando a ser pensadas. No se requiere ya \u201cpostular<\/em>\u201d nada (entidades abstractas, trascendentales, etc.<\/em>): con los signos, las actividades, las circunstancias, los objetivos de los hablantes bastan<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

As\u00ed como no hay un cielo plat\u00f3nico<\/em> poblado por \u201cjugadas<\/em>\u201d de ajedrez, as\u00ed tampoco hay \u201cproposiciones<\/em>\u201d en un mundo ideal, esperando a ser pensadas. <\/span><\/strong><\/p>\n

No se requiere ya \u201cpostular<\/em>\u201d nada (entidades abstractas, trascendentales, etc.<\/em>): con los signos, las actividades, las circunstancias, los objetivos de los hablantes bastan<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

Obviamente, los juegos de lenguaje<\/em><\/strong> son un sinf\u00edn, es decir, son anum\u00e9ricos<\/em><\/strong>, como lo eran las formas l\u00f3gicas en el Tractatus<\/strong><\/em>. No tiene el menor sentido, y denota una grotesca incomprensi\u00f3n, preguntar \u2018\u00bfcu\u00e1ntos juegos de lenguaje hay?<\/strong><\/em>\u2019. La respuesta a una pregunta as\u00ed tendr\u00eda que ser: tantos como actividades humanas se reconozcan<\/strong>. O sea: un sinf\u00edn.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

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\u00bfCu\u00e1ntos juegos de lenguaje hay?<\/em>\u00a0Tantos como actividades humanas se reconozcan. O sea: un sinf\u00edn. <\/span><\/strong><\/p>\n

Hay una gama abierta de juegos de lenguaje<\/em>, que podemos distinguir unos de otros y que en general todos est\u00e1n unificados por las convenciones de la gram\u00e1tica superficial.<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Lo que en cambio s\u00ed sabemos es que hay una gama abierta de juegos de lenguaje<\/em><\/strong>, que podemos distinguir unos de otros<\/strong> y que en general todos est\u00e1n unificados por las convenciones de la gram\u00e1tica superficial<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Es obvio que la diferenciaci\u00f3n entre juegos de lenguaje<\/em><\/strong> no se efect\u00faa por diferencias f\u00edsicas entre los signos<\/strong><\/em>, es decir, no tiene nada que ver con categor\u00edas formales o con reglas de formaci\u00f3n, sino por los usos a los que est\u00e1n sometidas las palabras y las clases de acciones con las que est\u00e1n asociados<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

No es el signo <\/em>en s\u00ed mismo lo que importa para determinar su significado, sino c\u00f3mo entra en conexi\u00f3n<\/em> con otros signos\u00a0<\/em><\/span>y la clase de movimientos ling\u00fc\u00edsticos que permite realizar<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Por ejemplo<\/em>, es claro que el espa\u00f1ol pod\u00eda haber incluido un signo<\/strong> <\/em>como \u2018\u05d0\u2019 y que \u00e9ste habr\u00eda podido estar en lugar de \u2018Z\u2019. O sea, no es el signo<\/strong> <\/em>en s\u00ed mismo lo que importa para determinar su significado, sino c\u00f3mo entra en conexi\u00f3n<\/em> con otros signos\u00a0<\/strong><\/em><\/span>y la clase de movimientos ling\u00fc\u00edsticos que permite realizar.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

No es el signo <\/em>en s\u00ed mismo lo que importa para determinar su significado, sino c\u00f3mo entra en conexi\u00f3n<\/em> con otros signos\u00a0<\/em><\/span>y la clase de movimientos ling\u00fc\u00edsticos que permite realizar. <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

Eso que llamamos \u2018matem\u00e1ticas<\/em>\u2019 va a estar compuesto por un sinn\u00famero de juegos de lenguaje<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Con base en lo expuesto, podemos quiz\u00e1 ya adivinar que en realidad eso que llamamos \u2018matem\u00e1ticas<\/em>\u2019 va a estar compuesto por un sinn\u00famero de juegos de lenguaje<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Como veremos posteriormente, esto aunado a otras consideraciones hace ver que no hay tal cosa como \u201cla matem\u00e1tica<\/em>\u201d<\/strong>, sino que m\u00e1s bien lo que hay es un conglomerado abierto de juegos de lenguaje<\/em><\/strong> (los juegos de lenguaje de la aritm\u00e9tica, de la aritm\u00e9tica transfinita, de la geometr\u00eda euclidiana, del c\u00e1lculo, de la trigonometr\u00eda, del \u00e1lgebra y as\u00ed indefinidamente<\/em>), de pr\u00e1cticas simb\u00f3licas agrupadas por diversas clases de semejanzas<\/strong> y que conforman eso que llamamos \u2018matem\u00e1ticas<\/em>\u2019.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

No hay tal cosa como \u201cla matem\u00e1tica<\/em>\u201d, sino que m\u00e1s bien lo que hay es un conglomerado abierto de juegos de lenguaje <\/em><\/span><\/strong>(<\/em><\/span>los juegos de lenguaje de la aritm\u00e9tica, de la aritm\u00e9tica transfinita, de la geometr\u00eda euclidiana, del c\u00e1lculo, de la trigonometr\u00eda, del \u00e1lgebra y as\u00ed indefinidamente<\/em><\/span>)<\/em><\/span>, de pr\u00e1cticas simb\u00f3licas agrupadas por diversas clases de semejanzas y que conforman eso que llamamos \u2018matem\u00e1ticas\u2019<\/em><\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Ciertamente, la filosof\u00eda wittgensteiniana<\/em> de las matem\u00e1ticas es, entre otras cosas, una reflexi\u00f3n sobre los juegos de lenguaje matem\u00e1ticos pero, como veremos, no se agota en ello<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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La filosof\u00eda wittgensteiniana<\/em> de las matem\u00e1ticas es, entre otras cosas, una reflexi\u00f3n sobre los juegos de lenguaje matem\u00e1ticos pero, como veremos, no se agota en ello<\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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\"\"<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

Gram\u00e1tica y proposici\u00f3n gramatical<\/strong><\/span><\/h4>\n

La noci\u00f3n de gram\u00e1tica es la sucesora de la noci\u00f3n de l\u00f3gica<\/strong>, por lo que es innegable que hay ciertas similitudes<\/strong> entre ellas, pero es igualmente obvio que hay tambi\u00e9n entre ellas inmensas diferencias<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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La noci\u00f3n de gram\u00e1tica es la sucesora de la noci\u00f3n de l\u00f3gica, por lo que es innegable que hay ciertas similitudes entre ellas.<\/span><\/strong><\/p>\n

Pero es igualmente obvio que hay tambi\u00e9n entre ellas inmensas diferencias.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Para empezar, la l\u00f3gica es formal<\/strong><\/em>, en tanto que las reglas gramaticales no son formales.<\/strong><\/span><\/p>\n

En segundo<\/strong> <\/em>lugar, la l\u00f3gica<\/strong> <\/em>para el autor del Tractatus<\/em> es<\/em><\/strong> trascendental<\/strong><\/em>, en el sentido de que sobre su naturaleza \u00faltima no se puede decir nada<\/strong>, en tanto que de las reglas de la gram\u00e1tica podemos tener una representaci\u00f3n perspicua, enunciarlas y contrastarlas<\/strong> con, por ejemplo, las aseveraciones filos\u00f3ficas de manera que podamos detectar y se\u00f1alar d\u00f3nde y c\u00f3mo se produjo un error conceptual.<\/strong><\/span><\/p>\n

Tercero<\/strong><\/em>, las leyes de la l\u00f3gica son<\/strong><\/em> a priori<\/strong><\/em>, en tanto que hay un sentido al menos en el que las reglas de la gram\u00e1tica no lo son<\/strong>: no lo son en el sentido de que, aunque nosotros no podamos visualizar lo que ser\u00eda que nuestro lenguaje estuviera regido por otra gram\u00e1tica<\/strong>, la posibilidad de que lo estuvieran no es l\u00f3gicamente imposible<\/strong>. En ese sentido no son a priori<\/em><\/strong>. <\/span><\/p>\n

Pudiera haber un lenguaje en el que \u2018yo<\/em>\u2019 operara de un modo diferente a como funciona el pronombre tal como lo conocemos, pero c\u00f3mo ser\u00eda un lenguaje as\u00ed no tenemos la menor idea<\/strong>. Sin embargo, hay otro sentido en el que tambi\u00e9n las reglas de la gram\u00e1tica son a priori<\/em> para nosotros, los usuarios de este que es nuestro lenguaje, puesto que son necesarias, pero s\u00f3lo contingentemente<\/strong>, por lo que acabamos de decir. <\/span><\/p>\n

En<\/strong> cuarto<\/strong> <\/em>lugar, la l\u00f3gica fija los l\u00edmites de la significatividad en tanto que la gram\u00e1tica m\u00e1s bien constituye la significatividad<\/strong><\/em>. Para expresar la idea metaf\u00f3ricamente: las leyes de la l\u00f3gica son como diques proposicionales, en tanto que las reglas gramaticales est\u00e1n entremezcladas con ellas.<\/span><\/p>\n

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Las leyes de la l\u00f3gica son como diques proposicionales, en tanto que las reglas gramaticales est\u00e1n entremezcladas con ellas<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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\"\"<\/a>
Gottlob Frege<\/a> dio un vuelco a la filosof\u00eda del lenguaje y puso las bases para el posterior desarrollo de la sem\u00e1ntica.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

Finalmente, las leyes de la l\u00f3gica son eternas<\/strong><\/em>, en tanto que las reglas gramaticales son en principio mutables<\/strong>, puesto que son reglas de uso<\/strong> y es un hecho que los usos se van modificando con el tiempo<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Cuando hablo de \u201cusos<\/em>\u201d no hablo\u00a0<\/span><\/strong>de fen\u00f3menos ling\u00fc\u00edsticos superficiales<\/strong>, como por ejemplo lo ser\u00eda que una determinada comunidad ling\u00fc\u00edstica decidiera expulsar el \u2018usted<\/em>\u2019 y quedarse exclusivamente con el \u2018t\u00fa<\/em>\u2019. Tengo en mente m\u00e1s bien las reglas que rigen la significatividad de nuestras aseveraciones<\/strong>, como por ejemplo las reglas de acuerdo con las cuales tiene sentido decir \u2018me robaste mi diente<\/em>\u2019, pero no tiene sentido decir \u2018me robaste mi recuerdo<\/em>\u2019.<\/span><\/p>\n

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Las matem\u00e1ticas son b\u00e1sicamente sistemas de reglas gramaticales<\/strong>. <\/span><\/p>\n

En matem\u00e1ticas se articulan conceptos en un sistema que se expande indefinidamente.<\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Estas aclaraciones sirven para ir acotando nuestro terreno porque, como veremos, las matem\u00e1ticas son b\u00e1sicamente sistemas de reglas gramaticales<\/strong>. En matem\u00e1ticas se articulan conceptos en un sistema que se expande indefinidamente<\/strong>. <\/span><\/p>\n

El que ello sea as\u00ed es lo que va a explicar su car\u00e1cter normativo<\/strong> y, algo muy importante, su car\u00e1cter sint\u00e9tico<\/strong> porque, como veremos, las mal llamadas \u2018proposiciones matem\u00e1ticas<\/strong><\/em>\u2019 son, como bien lo vislumbr\u00f3 Kant<\/strong>, sint\u00e9ticas a priori<\/strong><\/em><\/a>.\u00a0<\/span><\/p>\n

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Las (mal llamadas<\/em>) \u2018proposiciones matem\u00e1ticas<\/em>\u2019 son, como bien lo vislumbr\u00f3 Kant, sint\u00e9ticas a priori<\/em>.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Criterio<\/strong><\/span><\/h4>\n

La filosof\u00eda del Wittgenstein<\/strong> de la madurez no se presta al f\u00e1cil juego de la elucubraci\u00f3n filos\u00f3fica. Wittgenstein<\/strong>, por ejemplo, no habr\u00eda podido quedar contento con una \u201chip\u00f3tesis plausible<\/em>\u201d referente al significado o a los estados mentales de otros. Por lo que all\u00ed donde otros especulan, teorizan o infieren, Wittgenstein aplica su importante noci\u00f3n de criterio y el misterio se desvanece<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Esta noci\u00f3n no es una noci\u00f3n epistemol\u00f3gica<\/strong>, una noci\u00f3n que apliquemos cuando queremos justificar nuestras pretensiones de conocimiento. Es una noci\u00f3n de gram\u00e1tica en profundidad y por lo tanto es una noci\u00f3n que apunta a conexiones conceptuales, al sentido de nuestras expresiones<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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Es una noci\u00f3n de gram\u00e1tica en profundidad y por lo tanto es una noci\u00f3n que apunta a conexiones conceptuales, al sentido de nuestras expresiones<\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Por ejemplo<\/em>, nadie puede ver lo que pasa dentro del cuerpo de otra persona, pero podemos leg\u00edtimamente decir \u2018\u00e9l tiene un dolor inmenso en el o\u00eddo<\/em>\u2019. \u00bfPor qu\u00e9 podemos hacer aseveraciones como esa? Porque gozamos de criterios<\/strong>: lo que la persona dice, su comportamiento f\u00edsico, sus quejas, la enfermedad que le diagnosticaron, las medicinas que toma, etc., y todo ello nos autoriza a hablar significativamente<\/strong> de lo que en general se toma como sus \u201cestados internos<\/em>\u201d. <\/span><\/p>\n

Estos criterios est\u00e1n debidamente contextualizados y recurrimos a ellos de diferente modo, jerarquiz\u00e1ndolos de manera diferente seg\u00fan las circunstancias<\/strong>. Tambi\u00e9n un mentiroso puede tener un terrible dolor de muelas, pero podemos no creerle si lo \u00fanico que est\u00e1 en juego es lo que nos lo dice<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Claro que si adem\u00e1s de lo que dice lo vemos que trata de arrancarse la muela, que pide a gritos que lo lleven con un dentista, etc., entonces podremos adscribirle un dolor, puesto que su conducta es para nosotros el criterio que nos permite adscribirle un dolor<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Podr\u00edamos entonces decir lo siguiente: all\u00ed donde los fil\u00f3sofos adivinan e inventan, los hablantes normales simplemente se sirven de criterios y en general eso basta para la comunicaci\u00f3n<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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All\u00ed donde los fil\u00f3sofos adivinan e inventan, los hablantes normales simplemente se sirven de criterios y en general eso basta para la comunicaci\u00f3n<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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\"\"<\/p>\n

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La noci\u00f3n de criterio es de una inmensa utilidad y tiene una obvia aplicaci\u00f3n en el contexto de la filosof\u00eda de la mente, pero tambi\u00e9n es de gran ayuda en el terreno de la filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Por ejemplo<\/em>, para hablar de la correcci\u00f3n de una inferencia o de secuencia de las transiciones que hay que efectuar para resolver una ecuaci\u00f3n disponemos de criterios. <\/span><\/p>\n

En este como en cualquier otro contexto, el recurso a \u201clo interno<\/em>\u201d es inservible<\/strong>. La correcci\u00f3n de un razonamiento no es un asunto de inspiraci\u00f3n, divina u otra, sino que simplemente disponemos de criterios para determinar si una regla fue aplicada o no correctamente.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

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La correcci\u00f3n de un razonamiento no es un asunto de inspiraci\u00f3n, divina u otra, sino que simplemente disponemos de criterios para determinar si una regla fue aplicada o no correctamente<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

As\u00ed, aunque por s\u00ed sola es insuficiente para ello, la noci\u00f3n de criterio ciertamente contribuye a crear el marco de objetividad que cualquier filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas sana requiere para dar cuenta de la verdad matem\u00e1tica<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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La noci\u00f3n de criterio ciertamente contribuye a crear el marco de objetividad que cualquier filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas sana requiere para dar cuenta de la verdad matem\u00e1tica<\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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\"\"<\/p>\n

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Semejanzas de familia<\/strong><\/span><\/h4>\n

La cr\u00edtica wittgensteiniana<\/strong> <\/em>en contra de la idea tradicional de los predicados y las relaciones culmina en un violento ataque en contra del esencialismo<\/strong>. <\/span><\/p>\n

A trav\u00e9s de ejemplos, Wittgenstein<\/strong> hace ver que nuestro uso normal tanto de nombres comunes como de adjetivos o expresiones relacionales de hecho nunca depende de que en todos los casos de aplicaci\u00f3n est\u00e9 presente uno y el mismo elemento<\/strong>, sea el que sea.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

A trav\u00e9s de ejemplos, Wittgenstein hace ver que nuestro uso normal tanto de nombres comunes como de adjetivos o expresiones relacionales de hecho nunca depende de que en todos los casos de aplicaci\u00f3n est\u00e9 presente uno y el mismo elemento, sea el que sea<\/span><\/strong><\/p>\n

 <\/p>\n

M\u00e1s bien, la situaci\u00f3n es la siguiente<\/strong>: <\/span><\/p>\n

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se introduce un t\u00e9rmino en relaci\u00f3n con algo que funciona como el caso paradigm\u00e1tico (de tigre, de mango, de auto, etc.<\/em>) y posteriormente el rango de aplicaci\u00f3n del t\u00e9rmino en cuesti\u00f3n se va ampliando en funci\u00f3n no de un elemento que est\u00e9 presente en todos los casos, sino porque se van dando relaciones de semejanza entre los objetos de modo tal que nos permiten seguir aplicando el mismo t\u00e9rmino.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Naturalmente, quien fija hasta d\u00f3nde se da dicha semejanza (esto es, semejanza en relaci\u00f3n con la aplicaci\u00f3n del t\u00e9rmino<\/em>) somos nosotros, los hablantes<\/strong> pero, y esto es importante, lo hacemos con base en consideraciones de orden pr\u00e1ctico<\/strong>: <\/span><\/p>\n

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cuando ya un determinado objeto no nos resulta lo suficientemente semejante a otros a los que s\u00ed se aplica el t\u00e9rmino en cuesti\u00f3n o cuando seguir llam\u00e1ndolo as\u00ed tiene implicaciones ling\u00fc\u00edsticas contraproducentes, entonces sencillamente dejamos de llamarlo o calificarlo de ese modo e introducimos un nuevo t\u00e9rmino. \u2018Coyote<\/em>\u2019, \u2018lobo<\/em>\u2019 y \u2018perro<\/em>\u2019, por ejemplo, podr\u00edan servir para ilustrar este fen\u00f3meno ling\u00fc\u00edstico.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

El concepto de semejanzas de familia es obviamente \u00fatil en el contexto de la filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas<\/strong>, porque nos permitir\u00e1 comprender por qu\u00e9 Wittgenstein<\/strong> habla de los n\u00fameros como unidos entre s\u00ed por semejanzas de familia<\/strong>. O sea, llamamos a algo \u2018un n\u00famero<\/em>\u2019 si se conduce de manera lo suficientemente similar a eso que llamamos \u2018n\u00fameros<\/em>\u2019.<\/span><\/p>\n

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El concepto de semejanzas de familia nos permitir\u00e1 comprender por qu\u00e9 Wittgenstein habla de los n\u00fameros<\/em> como unidos entre s\u00ed por semejanzas de familia<\/em>. <\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

Llamamos a algo \u2018un n\u00famero<\/em>\u2019 si se conduce de manera lo suficientemente similar a eso que llamamos \u2018n\u00fameros<\/em>\u2019<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

El concepto de n\u00famero del segundo<\/em> Wittgenstein<\/strong> es, en este sentido, un concepto abierto<\/strong>. <\/span><\/p>\n

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As\u00ed, llamamos a \u05d00 un \u201cn\u00famero<\/em>\u201d\u00a0<\/span>porque \u2018\u05d00<\/em> \u2019 entra en los juegos de lenguaje matem\u00e1ticos de una manera muy similar (mas no id\u00e9ntica<\/em>) a como lo hace, digamos, el 3 (o \u20183\u2019<\/em>).<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

As\u00ed, pues, la utilidad explicativa de esta noci\u00f3n wittgensteiniana<\/em> <\/strong>salta a la vista.<\/span><\/p>\n

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\"\"<\/p>\n

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Antes de abordar propiamente hablando nuestro tema, quisiera hacer una aclaraci\u00f3n derivada de un recordatorio. Como todos sabemos, para Wittgenstein la filosof\u00eda no puede, tanto porque no est\u00e1 en su naturaleza como porque no tiene la capacidad para ello, alterar ning\u00fan aspecto de la realidad del cual se ocupe.<\/strong><\/span><\/p>\n

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Para Wittgenstein la filosof\u00eda no puede alterar ning\u00fan aspecto de la realidad del cual se ocupe; <\/span><\/strong><\/span>la filosof\u00eda deja todo tal como est\u00e1.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

La filosof\u00eda de la m\u00fasica puede hacernos entender lo que es la m\u00fasica<\/strong>, la composici\u00f3n musical, la relaci\u00f3n entre la m\u00fasica y las matem\u00e1ticas, la m\u00fasica y los sentimientos, etc., pero no puede modificar las corrientes musicales, la creaci\u00f3n musical<\/strong>. <\/span><\/p>\n

En palabras de Wittgenstein<\/strong>, la filosof\u00eda deja todo tal como est\u00e1<\/strong> (Wittgenstein<\/strong>, 1974<\/em>). <\/span><\/p>\n

Ahora bien, esto se aplica por igual a la filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas y tiene una implicaci\u00f3n interesante<\/strong> que bloquea multitud de malos entendidos en relaci\u00f3n con Wittgenstein<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Me refiero al hecho de que si hay algo declaradamente absurdo es calificar a Wittgenstein como un \u201crevisionista<\/em>\u201d en matem\u00e1ticas, como si \u00e9l estuviera interesado en interferir en la investigaci\u00f3n matem\u00e1tica, poner en cuesti\u00f3n resultados matem\u00e1ticos, demostrar nuevos teoremas, etc<\/strong>. Sostener algo as\u00ed es dar claras muestras de no haber entendido en lo m\u00e1s m\u00ednimo la perspectiva wittgensteiniana<\/em>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

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Kurt G\u00f6del y Albert Einstein fotografiados paseando hacia el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton, en 1954.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

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Wittgenstein dice que no es su funci\u00f3n determinar la validez o invalidez del teorema mismo, sino cuestionar lo que los matem\u00e1ticos dicen sobre el resultado de la prueba<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

El teorema de<\/strong><\/em> G\u00f6del<\/strong><\/a>, por ejemplo<\/em>, ilustra bien el caso: Wittgenstein<\/strong> expl\u00edcitamente dice que no es su funci\u00f3n determinar la validez o invalidez del teorema mismo, sino cuestionar lo que los matem\u00e1ticos (G\u00f6del <\/a>incluido<\/em>) dicen sobre el resultado de la prueba<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

Son dos cosas distintas y l\u00f3gicamente independientes. Se puede aceptar la prueba y rechazar su interpretaci\u00f3n usual, inclusive si es del autor de la prueba<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

Son dos cosas distintas y l\u00f3gicamente independientes. Se puede aceptar la prueba y rechazar su interpretaci\u00f3n usual, inclusive si es del autor de la prueba<\/strong>. <\/span><\/p>\n

De hecho, la historia parece darle la raz\u00f3n a Wittgenstein<\/strong> dado que si hay algo en lo que los cient\u00edficos se equivocan es en dar cuenta de sus propios resultados, en su interpretaci\u00f3n de sus propios resultados<\/strong>. Sobre esto quiz\u00e1 digamos algo posteriormente. <\/span><\/p>\n

Con esto terminamos nuestra presentaci\u00f3n elemental de algunos de algunas de las nociones que posteriormente utilizaremos. Debemos ahora pasar ya a la tarea de reconstruir los puntos de vista m\u00e1s importantes y representativos de la filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas del segundo<\/strong> <\/em>Wittgenstein<\/strong> desde luego teni\u00e9ndolas presente.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

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Debemos ahora pasar ya a la tarea de reconstruir los puntos de vista m\u00e1s importantes y representativos de la filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas del segundo <\/em>Wittgenstein<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (Parte 2)<\/span><\/strong><\/a><\/p>\n

LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (y Parte 3)<\/span><\/strong><\/a><\/p>\n

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RELACIONADOS:<\/span><\/h2>\n

LA FILOSOF\u00cdA DE LAS MATEM\u00c1TICAS DEL SEGUNDO WITTGENSTEIN, por Alejandro Tomasini Bassols (y Parte 3)<\/a><\/p><\/blockquote>\n