{"id":2306996,"date":"2025-03-03T00:05:16","date_gmt":"2025-03-02T23:05:16","guid":{"rendered":"https:\/\/puntocritico.com\/ausajpuntocritico\/?p=2306996"},"modified":"2025-03-03T13:32:25","modified_gmt":"2025-03-03T12:32:25","slug":"wittgenstein-y-la-filosofia-de-la-matematica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/puntocritico.com\/ausajpuntocritico\/2025\/03\/03\/wittgenstein-y-la-filosofia-de-la-matematica\/","title":{"rendered":"WITTGENSTEIN Y LA FILOSOF\u00cdA DE LA MATEM\u00c1TICA, por Silvio Pinto"},"content":{"rendered":"

WITTGENSTEIN Y LA FILOSOF\u00cdA DE LA MATEM\u00c1TICA<\/span><\/p>\n\n

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\u00bfQu\u00e9 es lo que empez\u00f3?<\/span><\/h2>\n

\u00abEn la actualidad la estructura t\u00e9cnica del poder es casi un poder absoluto que ejerce funciones de \u2018naturaleza\u2019 y exige unos relatos que el arte ya no puede dar\u00bb<\/span><\/em><\/strong><\/p>\n

Por F\u00e9lix de Az\u00faa<\/a>, 26 FEBRERO 2025<\/span><\/p>\n

\"\"
Georg Wilhelm Friedrich Hegel retratado por Julius Ludwig Sebbers.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

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Hacia 1820, es decir, hace doscientos a\u00f1os, comenz\u00f3 un cambio profundo en la conciencia europea (quiz\u00e1s mundial<\/em>) que todav\u00eda hoy est\u00e1 sin explicar. Los primeros en advertirlo, como las liebres advierten los temblores de tierra, fueron artistas y\u00a0fil\u00f3sofos.\u00a0Por el lado del pensamiento quien inaugura (y expone<\/em>) la teor\u00eda de ese terremoto que se avecinaba fue G. F. Hegel\u00a0<\/strong>en un conjunto de ensayos descomunal, tanto en tama\u00f1o como en profundidad.<\/span><\/p>\n

Pero junto a su discurso, comenzaron tambi\u00e9n las desazones art\u00edsticas, el derrumbe de las artes seg\u00fan hab\u00edan existido hasta entonces.\u00a0Miles de a\u00f1os se vieron suprimidos cuando comenzaron a aparecer pinturas, m\u00fasicas y poemas enigm\u00e1ticos para la poblaci\u00f3n y los cr\u00edticos<\/strong>. Al principio fue un enorme esc\u00e1ndalo, como la exposici\u00f3n de la\u00a0Olympia\u00a0<\/em>de Manet<\/strong> en 1863 que puso en pie de guerra a la entera poblaci\u00f3n de\u00a0Par\u00eds<\/em>, pero no mucho m\u00e1s tarde aparecieron los paisajes y ba\u00f1istas de C\u00e9zanne<\/strong> que nunca salieron de su estudio, y luego el cubismo de Gris<\/strong>, Braque<\/strong> y Picasso<\/strong> seguido poco despu\u00e9s por la ya caudalosa cascada de Kandinsky<\/strong> hasta desembocar en Beuys<\/strong>.<\/span><\/p>\n

Todo esto es muy conocido, s\u00ed, pero no ha sido reflexionado suficientemente, a pesar de la enorme bibliograf\u00eda acumulada.\u00a0Hegel avanz\u00f3 que las artes iban hacia su fin y se hab\u00edan convertido \u00aben una forma de pasado\u00bb<\/strong>. Hasta entonces, hasta la\u00a0Revoluci\u00f3n Industrial digamos, hab\u00edan florecido como aparatos de significar y cada obra de arte, fuera pintura, m\u00fasica o poes\u00eda, abr\u00eda una ventana sobre el cosmos a cuyo panorama deb\u00edamos acomodarnos. A veces el mundo tomaba los tonos dorados de Rembrandt<\/strong> y a veces las tormentas din\u00e1micas de Beethoven, otras las perfectas armon\u00edas polif\u00f3nicas o las atormentadas espirales de Tintoretto<\/strong>. Debilitada la religi\u00f3n, y la ciencia a\u00fan no convertida en el \u00fanico discurso sobre la verdad del mundo, el arte segu\u00eda siendo entonces una s\u00f3lida explicaci\u00f3n del cosmos.<\/span><\/p>\n

Y de repente todo se vino abajo. Ya en 1820 anunciaba Hegel<\/strong> a sus alumnos de la universidad de Berl\u00edn que llegaba el fin del arte y que este iba a desaparecer, pero s\u00f3lo lo supieron sus alumnos, claro. Era demasiado inteligente Hegel<\/strong> como para divulgarlo, o creer que le iban a prestar atenci\u00f3n fuera de las aulas. Pero su exposici\u00f3n era impecable:\u00a0el arte hab\u00eda sido la ilustraci\u00f3n humana de la Naturaleza, hasta que dej\u00f3 de existir la vieja Naturaleza (la\u00a0physis\u00a0griega<\/em>), sustituida por el mundo t\u00e9cnico que se estaba adue\u00f1ando del universo<\/strong>. Las artes eran ya conscientes de sus l\u00edmites.<\/span><\/p>\n

En la actualidad pocos negar\u00edan que la estructura t\u00e9cnica del poder es casi un poder absoluto que ejerce funciones de \u00abnaturaleza\u00bb y exige unas explicaciones (unos relatos<\/em>) que el arte ya no puede proporcionar<\/strong>. Naturalmente sigue habiendo pintores y m\u00fasicos, como sigue habiendo artistas que exponen en algunos museos sus ingenios, casi todos financiados por el Estado que sabe el escaso peligro que suponen. \u00bfPor qu\u00e9 los subvenciona como si fueran sindicatos? Por inercia y para completar el panorama que ofrecen las agencias de viajes, junto a la gastronom\u00eda y el deporte.<\/span><\/p>\n

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\u00abAhora es m\u00e1s importante que te reconozcan como artista a que reconozcan como \u2018arte\u2019 alguno de tus productos\u00bb<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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\u00bfExplican algo del mundo estas extravagantes exposiciones?\u00a0Casi todas usan un t\u00f3pico pol\u00edtico u otro, digamos una \u00abrebeld\u00eda\u00bb, para que parezcan obedecer a un deseo de explicaci\u00f3n<\/strong>. Aunque una enorme cantidad de excedente art\u00edstico expone tan solo comentarios sobre la vida privada de los artistas a modo de \u00e1lbum de fotos. Ahora es m\u00e1s importante que te reconozcan como artista a que reconozcan como \u00abarte<\/em>\u00bb alguno de tus productos, los cuales vienen a ser tan s\u00f3lo la prueba de que sus autores son unos artistas. As\u00ed como el polic\u00eda lleva una placa que le permite detener a un delincuente, as\u00ed tambi\u00e9n el artista lleva sus obras como garant\u00eda de que puede exponer en tanto que \u00abartista<\/em>\u00bb.<\/span><\/p>\n

El caso es que despu\u00e9s de Hegel<\/strong> la aportaci\u00f3n de la filosof\u00eda a este agudo problema ha sido casi nula, si exceptuamos a dos grandes pensadores, Nietzsche<\/strong> y Heidegger<\/strong>, que vieron perfectamente c\u00f3mo era el agujero negro que se estaba formando y trataron de aportar alguna luz. En nuestros d\u00edas\u00a0se acaba de publicar un libro bastante \u00fatil, de Robert B. Pippin (Despu\u00e9s de la belleza<\/em>, Editorial La Balsa de Medusa), que puede resultar \u00fatil a quienes sigan interesados por este enigma con seriedad.<\/strong>\u00a0Pippin<\/strong> es un hegeliano<\/em> (aunque lo corrige con cortes\u00eda<\/em>) y es respetuoso con dos cr\u00edticos que son de lo mejor que ha dado el siglo XX, T.J. Clark <\/strong>y M. Fried<\/strong>, aunque no oculta que el primero se ha suicidado con un sociologismo rancio en los \u00faltimos libros, defecto casi general entre los expertos de su especie. Por cierto, no es despreciable la intuici\u00f3n de Ortega y Gasset<\/strong> en su\u00a0Deshumanizaci\u00f3n del arte<\/em>\u00a0de 1925.<\/span><\/p>\n

Pippin<\/strong>, por supuesto, es demasiado timorato como para dar el paso que os\u00f3 dar\u00a0A. Danto en 1982, otro hegeliano, cuando afirm\u00f3 que el mundo del arte se hab\u00eda terminado como discurso relevante sobre el mundo<\/strong>. Danto<\/strong> sigui\u00f3 con rigor el dictamen de Hegel<\/strong> (\u00abel arte es una forma de pasado<\/em>\u00bb) a pesar de que todas las instituciones art\u00edsticas se le echaron encima con sus inmensos caudales de dinero p\u00fablico y el apoyo de la izquierda analfabeta. Pero eso \u00e9l ya lo sab\u00eda. Pippin<\/strong> es m\u00e1s prudente, aunque se advierte que por lo menos no se enga\u00f1a sobre eso que seguimos llamando \u00abarte<\/em>\u00bb.<\/span><\/p>\n

Pero no sufran los que se dedican a esta profesi\u00f3n.\u00a0Sigue teniendo vida comercial y poco a poco se va desviando hacia las artesan\u00edas t\u00e9cnicas<\/strong>\u00a0que, a mi entender, est\u00e1n llamadas a cubrir todas las necesidades \u00abart\u00edsticas<\/em>\u00bb.<\/span><\/p>\n

En todo caso, como dije al principio, a\u00fan no est\u00e1 claro lo que ha sucedido en estos doscientos a\u00f1os, ese movimiento profundo que ha producido un efecto devastador.\u00a0Heidegger lo llamaba, simplemente, \u00abla t\u00e9cnica<\/em>\u00bb, seguramente porque no hemos encontrado otro nombre\u00a0<\/strong>y las instituciones s\u00f3lo mueren cuando su nombre se extingue.<\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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WITTGENSTEIN Y LA FILOSOF\u00cdA DE LA MATEM\u00c1TICA<\/span><\/h2>\n

EI inter\u00e9s del fil\u00f3sofo vien\u00e9s Ludwig Wittgenstein (1889-1951) por la naturaleza y los fundamentos de la matem\u00e1tica fue muy temprano en \u00e9l y se extendi\u00f3 a lo largo de toda su vida. Wittgenstein hab\u00eda estudiado ingenier\u00eda en una escuela t\u00e9cnica de Berl\u00edn y realiz\u00f3 una estancia de investigaci\u00f3n en Manchester en 1908. <\/strong><\/span><\/em><\/p>\n

Ah\u00ed se interes\u00f3 por la aeron\u00e1utica y m\u00e1s espec\u00edficamente por el dise\u00f1o de h\u00e9lices. El estudio de la forma de las h\u00e9lices requer\u00eda un tratamiento matem\u00e1tico complicado y pudo haber sido esto lo que le llevo a profundizar sobre las teor\u00edas matem\u00e1ticas relevantes para su proyecto en aeron\u00e1utica y a preguntarse acerca de los propios fundamentos de estas teor\u00edas.<\/strong><\/span><\/em><\/p>\n

Por Silvio Pinto<\/span><\/p>\n

Universidad Aut\u00f3noma Metropolitana (UAM)<\/span><\/a><\/p>\n

\"WITTGENSTEIN<\/a>
Ludwig Wittgenstein<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

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A finales del siglo XVIII e inicios del XIX, y coincidentemente con el movimiento de rigorizaci\u00f3n de la matem\u00e1tica, se pod\u00eda notar una tendencia reduccionista en algunos matem\u00e1ticos para encontrar la teor\u00eda m\u00e1s b\u00e1sica a partir de la cual toda la matem\u00e1tica podr\u00eda ser generada<\/strong>. Un ejemplo de tal tendencia en los siglos XVI y XVII fue el descubrimiento de la geometr\u00eda cartesiana<\/em>. <\/span><\/p>\n

Con esta nueva teor\u00eda es posible representar cualquier figura geom\u00e9trica en t\u00e9rminos de conjuntos de n-uplas<\/em> ordenadas de n\u00fameros reales. Como resultado del movimiento reduccionista, la aritm\u00e9tica fue tomada como el fundamento de toda la matem\u00e1tica<\/strong>. Pero los matem\u00e1ticos con inclinaciones filos\u00f3ficas no quedaron satisfechos con esto; era necesario encontrar una teor\u00eda m\u00e1s fundamental sobre la cual pudiera descansar la aritm\u00e9tica.<\/span><\/p>\n

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Debemos al fil\u00f3sofo y matem\u00e1tico alem\u00e1n Gottlob Frege el primer gran intento de buscar un fundamento m\u00e1s s\u00f3lido para la aritm\u00e9tica de los n\u00fameros naturales. <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

Seg\u00fan Frege, tal fundamento s\u00f3lo podr\u00eda ser algo tan general y tan seguro como la l\u00f3gica.<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Debemos al fil\u00f3sofo y matem\u00e1tico alem\u00e1n Gottlob Frege<\/strong><\/a> (1848-1925) el primer gran intento de buscar un fundamento m\u00e1s s\u00f3lido para la aritm\u00e9tica de los n\u00fameros naturales. Seg\u00fan Frege<\/strong><\/a>, tal fundamento s\u00f3lo podr\u00eda ser algo tan general y tan seguro como la l\u00f3gica<\/strong>. <\/span><\/p>\n

El programa logicista<\/em> fregeano<\/em> involucraba dos tesis<\/strong>: 1)<\/strong> los conceptos b\u00e1sicos de la aritm\u00e9tica (el cero, el n\u00famero natural y el sucesor<\/em>) deben ser definidos en t\u00e9rminos de conceptos estrictamente l\u00f3gicos; 2)<\/strong> las verdades m\u00e1s b\u00e1sicas de la aritm\u00e9tica (los axiomas de Peano<\/strong><\/em>), deben poder ser demostrados a partir de verdades puramente l\u00f3gicas y definiciones.<\/span><\/p>\n

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George Boole<\/a> (1815-1864), fue un matem\u00e1tico y l\u00f3gico brit\u00e1nico. Como inventor del \u00e1lgebra de Boole, que marca los fundamentos de la aritm\u00e9tica computacional moderna, Boole es considerado como uno de los fundadores del campo de las ciencias de la computaci\u00f3n. En 1854 public\u00f3 An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities, donde desarroll\u00f3 un sistema de reglas que le permit\u00edan expresar, manipular y simplificar problemas l\u00f3gicos y filos\u00f3ficos cuyos argumentos admiten dos estados (verdadero o falso) por procedimientos matem\u00e1ticos. Se podr\u00eda decir que es el padre de los operadores l\u00f3gicos simb\u00f3licos y que gracias a su \u00e1lgebra hoy en d\u00eda es posible operar simb\u00f3licamente para realizar operaciones l\u00f3gicas.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

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El logicismo<\/em> de Frege<\/strong> da sus primeros pasos con la publicaci\u00f3n, en el a\u00f1o de 1879, de la Conceptograf\u00eda<\/em><\/strong><\/a>, y alcanza su madurez entre 1893 y 1903 con la publicaci\u00f3n de los dos primeros vol\u00famenes de las Leyes B\u00e1sicas de la Aritm\u00e9tica<\/em><\/strong>. Ir\u00f3nicamente, la consecuci\u00f3n del logicismo<\/em> fregeano<\/em> coincide con el descubrimiento, por el fil\u00f3sofo ingl\u00e9s Bertrand Russell<\/strong><\/a> (1872-1970), de la contradicci\u00f3n que vino a fulminar el programa fundacionista fregeano<\/em>: la contradicci\u00f3n de la clase de todas las clases que no se pertenecen a s\u00ed mismas<\/em><\/strong>.<\/span><\/p>\n

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El fil\u00f3sofo ingl\u00e9s Bertrand Russell fue el autor de la contradicci\u00f3n que vino a fulminar el programa fundacionista fregeano<\/em>: la contradicci\u00f3n de la clase de todas las clases que no se pertenecen a s\u00ed mismas<\/em>.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Un ejemplo de una clase que se pertenece a s\u00ed misma es la clase de todas las clases<\/strong><\/em>. Normalmente una clase no es un elemento de s\u00ed misma: la clase de los planetas del sistema solar no es un planeta; por lo tanto, no se pertenece a s\u00ed misma. <\/span><\/p>\n

La contradicci\u00f3n<\/strong> est\u00e1 en que si suponemos que la clase de todas las clases que no se pertenecen a s\u00ed mismas se pertenece a s\u00ed misma, entonces estamos obligados a concluir que ella no se pertenece a s\u00ed misma, ya que si pertenece a s\u00ed misma entonces tiene que satisfacer a la propiedad de no pertenecerse a s\u00ed misma<\/em><\/strong>.\u00a0<\/span><\/p>\n

Por otro lado, si suponemos que tal clase no se pertenece a s\u00ed misma, entonces estamos forzados a concluir que ella s\u00ed pertenece a s\u00ed misma, una vez que por no pertenecerse a s\u00ed misma debe ser un miembro de la clase de todas las clases que no se pertenecen a s\u00ed mismas<\/strong><\/em> y, por lo tanto, un miembro de s\u00ed misma.<\/span><\/p>\n

La contradicci\u00f3n de Russell<\/strong> llev\u00f3 a Frege<\/strong> a desistir del programa logicista<\/em> pero tuvo un efecto opuesto sobre el mismo Russell<\/strong>. La contradicci\u00f3n se deriva de la famosa ley V del sistema de las Leyes B\u00e1sicas<\/em><\/strong>, la cual afirma que cualquier propiedad determina una clase<\/em>. Por ejemplo, la propiedad de no pertenecerse a s\u00ed mismo determina una clase, la constituida por todas las cosas que no se pertenecen a s\u00ed mismas. Si esta clase existe, entonces tiene sentido preguntar si satisface la propiedad que la define.<\/span><\/p>\n

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Russell se dedic\u00f3 a la tarea de reconstruir el programa logicista<\/em> de manera consistente<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Russell<\/strong> se dedic\u00f3 a la tarea de reconstruir el programa logicista<\/em> de manera consistente. Para evitar la contradicci\u00f3n que lleva su nombre, se hizo necesario, seg\u00fan \u00e9l, proponer una teor\u00eda de los tipos de cosas<\/strong>. Hay objetos que son cosas del primer tipo; hay clases de objetos del primer tipo las cuales son cosas del segundo tipo; hay clases de objetos del segundo tipo las cuales son cosas del tercer tipo, etc\u00e9tera. <\/span><\/p>\n

Esta tipolog\u00eda impide la aplicaci\u00f3n de la relaci\u00f3n de pertenencia a cosas del mismo tipo. La propiedad de pertenecerse a s\u00ed mismo es un sinsentido, de acuerdo con la teor\u00eda de tipos, pero tambi\u00e9n lo es la negaci\u00f3n de esta propiedad<\/em>. Por to tanto, ninguna de ellas determina una clase<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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El logicismo russelliano<\/em> no satisfizo en absoluto a Wittgenstein<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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El logicismo russelliano<\/strong><\/em> no satisfizo en absoluto a Wittgenstein<\/strong>. Russell<\/strong> hab\u00eda publicado en 1910 el primer volumen de los monumentales P<\/em>rincipia <\/strong>Mathematica<\/em><\/strong>, obra que fue duramente criticada por Wittgenstein<\/strong>, para quien algunos de los axiomas de la l\u00f3gica utilizada por Russell<\/strong> para fundar toda la matem\u00e1tica simplemente no pose\u00edan la caracter\u00edstica de una proposici\u00f3n de la l\u00f3gica: la de ser una tautolog\u00eda<\/strong>.\u00a0<\/span>Este era el caso del axioma de infinitud que afirma la existencia de infinitos objetos<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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Charles Sanders Peirce<\/strong><\/a> (1839-1914), fue un fil\u00f3sofo, l\u00f3gico y cient\u00edfico estadounidense. Es considerado el fundador del pragmatismo y el padre de la semi\u00f3tica l\u00f3gica moderna o teor\u00eda de los signos, junto con Ferdinand de Saussure<\/strong><\/a>, padre la semi\u00f3tica estructuralista o semiolog\u00eda. Precursor, en 1880, de la Tabla de Verdad que introdujo Ludwig Wittgenstein<\/strong> en su Tractatus logico-philosophicus<\/strong><\/em>, publicado en 1921.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

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Russell<\/strong> necesitaba este axioma<\/em> para garantizar la existencia de toda la secuencia de n\u00fameros naturales, ya que en su sistema los n\u00fameros son definidos como clases de clases de objetos<\/strong>. El n\u00famero 3<\/em>, por ejemplo, es definido como la clase de todas las ternas de objetos<\/em>. <\/span><\/p>\n

Si el n\u00famero de objetos fuera finito, entonces no habr\u00eda manera de generar dentro de la concepci\u00f3n russelliana<\/em> el conjunto infinito de los n\u00fameros naturales<\/strong>. Imag\u00ednese que el mundo poseyera 10<\/em> objetos; todos los n\u00fameros a partir del 11<\/em> ser\u00edan id\u00e9nticos entre si o no existir\u00edan.<\/span><\/p>\n

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Para Wittgenstein, sin embargo, las proposiciones de la l\u00f3gica no pueden hacer afirmaciones sobre el mundo en que vivimos; la l\u00f3gica tiene que ser compatible con todos los mundos posibles<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Para Wittgenstein<\/strong><\/a>, sin embargo, las proposiciones de la l\u00f3gica no pueden hacer afirmaciones sobre el mundo en que vivimos; la l\u00f3gica tiene que ser compatible con todos los mundos posibles<\/strong>. La caracter\u00edstica de las proposiciones de la l\u00f3gica no es, como pensaban Frege<\/strong> y Russell<\/strong>, su generalidad<\/em> (el hecho de que hablen de la totalidad de las cosas<\/em>) sino m\u00e1s bien, seg\u00fan el autor del Tractatus Logico-Philosophicus<\/strong><\/em>, su no decir nada<\/em>, la ausencia de contenido informacional sobre cualquier mundo en particular<\/em>.<\/span><\/p>\n

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Las proposiciones de la l\u00f3gica son, para el Tractatus <\/em>de Wittgenstein<\/span>, tautolog\u00edas<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Una proposici\u00f3n como \u201cllueve o no llueve<\/em>\u201d es una proposici\u00f3n de la l\u00f3gica a pesar de no ser general. Las proposiciones de la l\u00f3gica son, seg\u00fan la doctrina del Tractatus<\/em><\/strong>, tautolog\u00edas<\/strong>.<\/span><\/p>\n

Russell<\/strong> le hab\u00eda encargado a Wittgenstein<\/strong> reescribir los Principia<\/strong><\/em>, pero \u00e9ste hab\u00eda encontrado tantos errores que decidi\u00f3 escribir su propio libro. Este fue el Tractatus Logico-Philosophicus<\/strong><\/em>, concluido mientras Wittgenstein<\/strong> luchaba por el Imperio Austroh\u00fangaro<\/em> en la primera guerra mundial<\/em>. Las divergencias entre este libro y los Principia<\/strong> <\/em>con relaci\u00f3n a la naturaleza de la l\u00f3gica y la matem\u00e1tica<\/strong> son enormes. Quiz\u00e1 la m\u00e1s importante es que, en el Tractatus<\/strong><\/em>, ni la l\u00f3gica ni la matem\u00e1tica hacen afirmaciones sobre la realidad<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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En oposici\u00f3n a Frege<\/strong> y a Russell<\/strong>, Wittgenstein<\/strong> sosten\u00eda que no hay objetos l\u00f3gicos ni matem\u00e1ticos<\/strong>, y esto fue algo que mantuvo durante toda su obra. La otra divergencia fundamental entre el autor del Tractatus<\/strong> <\/em>y Russell<\/strong> es que, tanto la l\u00f3gica como la aritm\u00e9tica, dejan de ser para el primero dos sistemas de los enunciados m\u00e1s generales sobre el mundo<\/strong> en que vivimos. <\/span>En el Tractatus<\/strong><\/em>, l\u00f3gica y matem\u00e1tica constituyen reglas de sintaxis del lenguaje.<\/span><\/p>\n

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En el Tractatus<\/em>, l\u00f3gica y matem\u00e1tica constituyen reglas de sintaxis del lenguaje. <\/span><\/strong><\/p>\n

As\u00ed, una tautolog\u00eda como el principio de doble negaci\u00f3n es, en verdad, una regla de transformaci\u00f3n de s\u00edmbolos en otros s\u00edmbolos expresada como una proposici\u00f3n.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

As\u00ed, una tautolog\u00eda<\/strong> como el principio de doble negaci\u00f3n<\/strong> es, en verdad, una regla de transformaci\u00f3n de s\u00edmbolos<\/strong> en otros s\u00edmbolos expresada como una proposici\u00f3n<\/strong>. De esta forma, lo que estar\u00eda diciendo es que, de un s\u00edmbolo proposicional negado dos veces, se puede inferir el s\u00edmbolo proposicional sin las dos negaciones. Tal regla estar\u00eda explorando las propiedades sem\u00e1nticas del s\u00edmbolo de negaci\u00f3n<\/strong> (la propiedad de invertir el sentido o las condiciones de verdad del s\u00edmbolo proposicional al cual se aplica<\/em>). <\/span><\/p>\n

La concepci\u00f3n tractariana<\/em> <\/strong>sobre las conectivas l\u00f3gicas<\/strong> es que su significado no reside en su referirse a algo sino que denotan operaciones de verdad sobre s\u00edmbolos proposicionales<\/strong>. Por ejemplo<\/em>, la conjunci\u00f3n opera sobre dos s\u00edmbolos proposicionales, \u201cp<\/em>\u201d y \u201cq<\/em>\u201d, produciendo un s\u00edmbolo proposicional cuyas condiciones de verdad dependen de las condiciones de verdad de \u201cp<\/em>\u201d y \u201cq<\/em>\u201d de la siguiente manera: \u201cp<\/em> y q<\/em>\u201d es verdadera cuando \u201cp<\/em>\u201d es verdadera y \u201cq<\/em>\u201d es verdadera, y es falsa en todos los dem\u00e1s casos.<\/span><\/p>\n

Este tipo de dependencia entre los valores de verdad de \u201cp<\/em>\u201d y \u201cq<\/em>\u201d y el valor de verdad de s\u00edmbolos proposicionales complejos vale para todas las otras conectivas l\u00f3gicas proposicionales<\/strong>. Estas conectivas<\/strong> <\/em>denotan reglas para la formaci\u00f3n de s\u00edmbolos proposicionales m\u00e1s complejos a partir de s\u00edmbolos proposicionales menos complejos.<\/span><\/p>\n

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Estas conectivas <\/em>denotan reglas para la formaci\u00f3n de s\u00edmbolos proposicionales m\u00e1s complejos a partir de s\u00edmbolos proposicionales menos complejos<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

An\u00e1logamente, una ecuaci\u00f3n num\u00e9rica como 2 + 2 = 4<\/em> corresponder\u00eda a una regla para la sustituci\u00f3n del s\u00edmbolo \u201c2 + 2<\/em>\u201d por el s\u00edmbolo \u201c4<\/em>\u201d en cualquier otro s\u00edmbolo proposicional en que el primero apareciera. En este sentido, las ecuaciones tambi\u00e9n ser\u00edan reglas de inferencia<\/em><\/strong>. Los s\u00edmbolos para n\u00fameros (el \u201c2\u201d, el \u201c4\u201d, el \u201c2 + 2\u201d, entre otros<\/em>), que Frege<\/strong> hab\u00eda tomado como nombres propios (s\u00edmbolos que se refieren a los n\u00fameros<\/em>), son considerados en el Tractatus<\/strong> <\/em>como contadores de las reiteraciones de las aplicaciones de una operaci\u00f3n<\/strong>.<\/span><\/p>\n

Como dice Wittgenstein<\/strong>, las operaciones son transformaciones de s\u00edmbolos proposicionales en otros s\u00edmbolos proposicionales<\/strong>. La negaci\u00f3n y todas las otras conectivas proposicionales son quiz\u00e1 los ejemplos m\u00e1s comunes de operaciones. Es esencial a las operaciones tractarianas<\/strong> <\/em>que ellas se pueden aplicar al resultado de la aplicaci\u00f3n anterior de la primera operaci\u00f3n o de otras operaciones aplicadas a un grupo de s\u00edmbolos proposicionales. <\/span><\/p>\n

Supongamos entonces que a un s\u00edmbolo proposicional \u201cp<\/em>\u201d al cual le hab\u00edamos aplicado la negaci\u00f3n, le aplicamos la negaci\u00f3n una vez m\u00e1s. Podemos expresar esto de la siguiente manera: \u00ac(\u00acp)<\/em>. Esto es equivalente en la notaci\u00f3n del Tractatus<\/strong> a \u00ac 2<\/sup> p<\/em>. De ah\u00ed la tesis de que los n\u00fameros son exponentes de operaciones<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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Todos los operadores sobre los n\u00fameros naturales, tales como el sucesor, la suma, la multiplicaci\u00f3n, la exponenciaci\u00f3n, entre otros, tendr\u00edan que ser interpretados como operadores sobre los exponentes de operaciones sobre proposiciones<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Todos los operadores sobre los n\u00fameros naturales, tales como el sucesor, la suma, la multiplicaci\u00f3n, la exponenciaci\u00f3n, entre otros, tendr\u00edan que ser interpretados como operadores sobre los exponentes de operaciones sobre proposiciones. Y de hecho toda la aritm\u00e9tica de las ecuaciones e inecuaciones num\u00e9ricas<\/strong>, con todas las propiedades de la suma, la multiplicaci\u00f3n, la exponenciaci\u00f3n, se aplica a los exponentes de las operaciones tractarianas<\/em><\/strong>.<\/span><\/p>\n

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\"\"<\/a><\/p>\n

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El problema de la concepci\u00f3n tractariana<\/strong> <\/em>de la matem\u00e1tica es que parece demasiado estrecha. Aunque el problema filos\u00f3fico acerca de la naturaleza de la matem\u00e1tica fuera simplemente dar cuenta de la aritm\u00e9tica, se podr\u00eda decir que el Tractatus<\/em> <\/strong>no lo ha logrado. Lo que llamamos aritm\u00e9tica de primer orden con identidad est\u00e1 lleno de proposiciones cuantificadas<\/strong> como, por ejemplo, las proposiciones \u201chay infinitos n\u00fameros primos<\/em>\u201d (la proposici\u00f3n de Euclides<\/strong><\/em>) o \u201cno hay ternas (x, y, z) de n\u00fameros naturales que satisfagan a la ecuaci\u00f3n x n<\/sup> + y n<\/sup> = z n<\/sup> para n mayor que 2<\/em>\u201d (el \u00faltimo teorema de Fermat<\/strong><\/em>).<\/span><\/p>\n

Wittgenstein<\/strong> ten\u00eda una raz\u00f3n para excluir de la aritm\u00e9tica tractariana proposiciones cuya cuantificaci\u00f3n fuera de tipo ilimitado<\/strong>; \u00e9l cre\u00eda que la generalidad propia de las proposiciones aritm\u00e9ticas es la que se relaciona con la noci\u00f3n de la reiteraci\u00f3n indefinida de una operaci\u00f3n, es decir, la generalidad que se asocia a la recursividad<\/strong>.<\/span><\/p>\n

Pero de todas maneras, uno querr\u00eda incluir tambi\u00e9n estas proposiciones generales, como las arriba mencionadas, cuya generalidad no se reduce a aquella de la aritm\u00e9tica recursiva (la aritm\u00e9tica de las ecuaciones num\u00e9ricas, sus funciones de verdad proposicionales y las proposiciones con cuantificadores limitados, es decir, cuantificaciones que son equivalentes a una conjunci\u00f3n o disyunci\u00f3n finita de proposiciones<\/em>). Adem\u00e1s, si uno no es un reduccionista en matem\u00e1tica, puede querer dar cuenta de la naturaleza de las proposiciones matem\u00e1ticas que no pertenecen a la aritm\u00e9tica<\/strong>.<\/span><\/p>\n

Wittgenstein<\/strong> llega a una concepci\u00f3n menos estrecha sobre la matem\u00e1tica en su etapa intermedia, a saber, en sus escritos que van desde 1929, cuando regresa a Cambridge<\/em>, hasta m\u00e1s o menos 1934, cuando empieza a preparar el material para las Investigaciones Filos\u00f3ficas<\/em><\/strong>. En esta etapa conserva la idea tractariana<\/em> <\/strong>de que las proposiciones matem\u00e1ticas son reglas de la sintaxis del lenguaje<\/strong>.\u00a0Lo que s\u00ed cambia es la tesis de que hay un \u00fanico sistema de reglas gramaticales que muestran la forma com\u00fan del lenguaje y del mundo.<\/span><\/p>\n

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En esta etapa Wittgenstein conserva la idea tractariana<\/em> de que las proposiciones matem\u00e1ticas son reglas de la sintaxis del lenguaje.\u00a0<\/strong><\/span><\/p>\n

Lo que s\u00ed cambia es la tesis de que hay un \u00fanico sistema de reglas gramaticales que muestran la forma com\u00fan del lenguaje y del mundo.<\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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De acuerdo con el Wittgenstein<\/strong> de esta etapa, hay varios sistemas aut\u00f3nomos de reglas gramaticales<\/strong>: la l\u00f3gica, la aritm\u00e9tica, la geometr\u00eda euclideana<\/strong><\/em>, la gram\u00e1tica de los colores, entre otros. Esto implica un claro rechazo al reduccionismo matem\u00e1tico del Tractatus <\/em>y a su respectiva tesis de que lo estrictamente matem\u00e1tico se limita al conjunto de las ecuaciones num\u00e9ricas<\/strong>.<\/span><\/p>\n

Otro cambio interesante del Wittgenstein<\/strong> de esta etapa, y que tambi\u00e9n tiene que ver con una concepci\u00f3n m\u00e1s \u201cliberal<\/em>\u201d, se refiere al contenido de las proposiciones matem\u00e1ticas. Para el autor del Tractatus<\/strong><\/em>, la noci\u00f3n de prueba en l\u00f3gica o en matem\u00e1tica no tiene importancia, ya que todas las proposiciones l\u00f3gicas y matem\u00e1ticas est\u00e1n en el mismo nivel; no hay unas proposiciones m\u00e1s b\u00e1sicas (los axiomas<\/em>) que otras que se deriven de ellas por medio de reglas de inferencia<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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\"\"<\/a><\/p>\n

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En los casos de las tautolog\u00edas<\/strong> y ecuaciones complicadas<\/strong>, Wittgenstein<\/strong> cre\u00eda, en el Tractatus<\/strong><\/em>, que para todos los casos hab\u00eda procedimientos mec\u00e1nicos para reconocerlas.<\/span><\/p>\n

Con la tesis de los sistemas aut\u00f3nomos de reglas gramaticales<\/strong>, la noci\u00f3n de prueba<\/em> <\/strong>pasa a desempe\u00f1ar un papel central para Wittgenstein<\/strong> como aquello que da el contenido de una proposici\u00f3n matem\u00e1tica<\/strong>: su significado se identifica con una prueba de ella o, por lo menos, con la existencia de un m\u00e9todo para encontrar alguna prueba<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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Con la tesis de los sistemas aut\u00f3nomos de reglas gramaticales, la noci\u00f3n de prueba<\/em> pasa a desempe\u00f1ar un papel central para Wittgenstein como aquello que da el contenido de una proposici\u00f3n matem\u00e1tica: su significado se identifica con una prueba de ella o, por lo menos, con la existencia de un m\u00e9todo para encontrar alguna prueba<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Esta tesis aproxima el verificacionismo<\/strong> <\/em>de la etapa intermedia de Wittgenstein<\/strong> a la tesis seg\u00fan la cual el contenido de cualquier proposici\u00f3n est\u00e1 dado por su m\u00e9todo de verificaci\u00f3n<\/strong>; en el caso de la matem\u00e1tica, la verificaci\u00f3n<\/em> <\/strong>se traduce en t\u00e9rminos de una prueba de la proposici\u00f3n<\/em><\/strong> en cuesti\u00f3n.<\/span><\/p>\n

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La concepci\u00f3n de la etapa intermedia sobre el contenido de las proposiciones matem\u00e1ticas permite incluir dentro de la aritm\u00e9tica m\u00e1s proposiciones que las ecuaciones num\u00e9ricas<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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La concepci\u00f3n de la etapa intermedia sobre el contenido de las proposiciones matem\u00e1ticas permite incluir dentro de la aritm\u00e9tica m\u00e1s proposiciones que las ecuaciones num\u00e9ricas<\/strong>; se incluyen ah\u00ed todas las proposiciones para las cuales hay un m\u00e9todo mec\u00e1nico<\/strong> para decidir sobre su correcci\u00f3n o incorrecci\u00f3n, adem\u00e1s de las proposiciones indecidibles<\/strong> (Una proposici\u00f3n indecidible<\/strong> es aquella para la cual no hay un algoritmo que nos permita determinar su valor de verdad en un n\u00famero finito de pasos. Por ejemplo, todas las proposiciones aritm\u00e9ticas que contienen cuantificadores ilimitados son indecidibles en este sentido<\/em>) para las cuales hay una prueba<\/strong>; por ejemplo, el \u00faltimo teorema de Fermat<\/strong>.<\/span><\/p>\n

Sin embargo, tal concepci\u00f3n es todav\u00eda insatisfactoria en la medida en que excluye de la matem\u00e1tica todas aquellas proposiciones indecidibles para las cuales no tenemos una prueba<\/strong>, como las conjeturas matem\u00e1ticas. Un ejemplo de \u00e9stas es la conjetura de Goldbach<\/strong>, que afirma que todo n\u00famero natural par es la suma de dos n\u00fameros primos.<\/span><\/p>\n

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Una concepci\u00f3n m\u00e1s satisfactoria de la matem\u00e1tica fue alcanzada por Wittgenstein \u00fanicamente hasta su etapa de madurez, es decir, a partir de 1934<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Una concepci\u00f3n m\u00e1s satisfactoria de la matem\u00e1tica fue alcanzada por Wittgenstein<\/strong> \u00fanicamente hasta su etapa de madurez, es decir, a partir de 1934. La tesis<\/em> tractariana<\/em> <\/strong>de que las proposiciones matem\u00e1ticas son reglas de sintaxis del lenguaje se conserva a\u00fan en esta etapa<\/strong>, cuando cobra m\u00e1s importancia la idea de que la matem\u00e1tica es una actividad gobernada por reglas que se expresan por medio de proposiciones<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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Esto significa que las reglas matem\u00e1ticas<\/strong> ya no son vistas meramente como instrucciones para la manipulaci\u00f3n de s\u00edmbolos, como ocurr\u00eda en el Tractatus<\/strong> <\/em>sino m\u00e1s bien como la forma de establecer una conexi\u00f3n entre ciertos s\u00edmbolos y determinadas acciones<\/strong>. <\/span><\/p>\n

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Las reglas matem\u00e1ticas ya no son vistas meramente como instrucciones para la manipulaci\u00f3n de s\u00edmbolos, como ocurr\u00eda en el Tractatus <\/em>sino m\u00e1s bien como la forma de establecer una conexi\u00f3n entre ciertos s\u00edmbolos y determinadas acciones<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Las reglas matem\u00e1ticas corresponden a ciertas pr\u00e1cticas<\/strong> -por ejemplo, la pr\u00e1ctica de calcular- que tienen un papel fundamental en el conjunto de nuestras actividades<\/strong>. Lo que constituye a una proposici\u00f3n como matem\u00e1tica en la etapa de madurez de Wittgenstein<\/strong> deja de ser en primer t\u00e9rmino su prueba o la posibilidad de encontrar alguna; as\u00ed, una proposici\u00f3n es matem\u00e1tica, por una parte, en tanto su aplicaci\u00f3n o su uso corresponde a ciertas pr\u00e1cticas, como la antes mencionada, y por otra, en la medida en que funciona como una regla para la evaluaci\u00f3n de estas pr\u00e1cticas<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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Lo que constituye a una proposici\u00f3n como matem\u00e1tica en la etapa de madurez de Wittgenstein deja de ser en primer t\u00e9rmino su prueba o la posibilidad de encontrar alguna<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Por ejemplo, la ecuaci\u00f3n num\u00e9rica 25 x 25 = 625<\/em> nos podr\u00eda servir para juzgar si al empacar objetos en cajas de exactamente 25<\/em> objetos cada una, no nos falta ni nos sobra ning\u00fan objeto. Similarmente, la proposici\u00f3n \u201cla suma de los cuadrados de las dimensiones de los catetos de un tri\u00e1ngulo plano rect\u00e1ngulo es igual al cuadrado de la dimensi\u00f3n de su hipotenusa<\/em>\u201d podr\u00eda ser utilizada para decidir si un determinado tri\u00e1ngulo es plano o no. Es esencial a la proposici\u00f3n matem\u00e1tica el ejemplificar una norma que gobierna determinadas actividades<\/strong> que, por falta de un t\u00e9rmino m\u00e1s general, denominamos como \u201ct\u00e9cnicas de calcular<\/em>\u201d.<\/span><\/p>\n

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Es esencial a la proposici\u00f3n matem\u00e1tica el ejemplificar una norma que gobierna determinadas actividades que, por falta de un t\u00e9rmino m\u00e1s general, denominamos como \u201ct\u00e9cnicas de calcular<\/em>\u201d<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Esta nueva concepci\u00f3n del contenido de las proposiciones matem\u00e1ticas implica una disminuci\u00f3n en la importancia de la noci\u00f3n de prueba<\/strong>. Hay que recordar que en el periodo intermedio<\/em> de Wittgenstein<\/strong> la prueba consist\u00eda en la cadena que liga la proposici\u00f3n matem\u00e1tica con su respectivo sistema.<\/span><\/p>\n

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La conexi\u00f3n entre proposici\u00f3n y c\u00e1lculo se da en la concepci\u00f3n de la etapa de madurez no solamente a trav\u00e9s de su respectiva prueba sino tambi\u00e9n por medio de los t\u00e9rminos constituyentes de la proposici\u00f3n que, de acuerdo con lo que hemos visto, tambi\u00e9n expresan reglas matem\u00e1ticas<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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La conexi\u00f3n entre proposici\u00f3n y c\u00e1lculo<\/strong> se da en la concepci\u00f3n de la etapa de madurez no solamente a trav\u00e9s de su respectiva prueba sino tambi\u00e9n por medio de los t\u00e9rminos constituyentes de la proposici\u00f3n que, de acuerdo con lo que hemos visto, tambi\u00e9n expresan reglas matem\u00e1ticas. Esto es importante porque permite incluir tambi\u00e9n conjeturas dentro del dominio matem\u00e1tico<\/strong>. <\/span><\/p>\n

As\u00ed, la conjetura de Goldbach<\/strong><\/em> es una proposici\u00f3n matem\u00e1tica, ya que todos sus conceptos constituyentes corresponden a reglas l\u00f3gicas o matem\u00e1ticas (los conceptos de \u201cn\u00famero par\u201d o \u201cn\u00famero primo\u201d, por ejemplo<\/em>) a pesar de que no hay una prueba de ella.<\/span><\/p>\n

Estas son algunas de las ideas de Wittgenstein<\/strong> sobre la naturaleza de la matem\u00e1tica. Se tuvo que dejar de lado varios aspectos importantes de su concepci\u00f3n como, por ejemplo, las cuestiones de la objetividad matem\u00e1tica, su car\u00e1cter a priori<\/em> y la relaci\u00f3n entre la matem\u00e1tica y su aplicaci\u00f3n. Sin embargo, es importante subrayar la tesis, que Wittgenstein<\/strong> defendi\u00f3 durante toda su vida, de que la matem\u00e1tica no habla de objetos sino que nos ofrece parte de las reglas que nos permiten hablar con sentido de la realidad.<\/span><\/p>\n

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Es importante subrayar la tesis, que Wittgenstein defendi\u00f3 durante toda su vida, de que la matem\u00e1tica no habla de objetos sino que nos ofrece parte de las reglas que nos permiten hablar con sentido de la realidad<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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Tautolog\u00eda<\/span><\/h2>\n

MATEMATICAS DISCRETAS – TAUTOLOGIAS<\/a><\/span><\/p>\n

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Tautolog\u00eda<\/strong>\u00a0(del\u00a0griego:\u00a0\u03c4\u03b1\u03c5\u03c4\u03bf\u03bb\u03bf\u03b3\u00ed\u03b1<\/strong>, discurso o razonar autoexplicativo<\/em>) es una\u00a0redundancia\u00a0\u00abexplicativa<\/em>\u00ab<\/strong> debida a una calificaci\u00f3n superflua; por ejemplo: \u00abuna novedosa innovaci\u00f3n<\/em>\u00ab, o como \u00abexplicaban<\/em>\u00bb los pseudo-maestros a M. Jordan<\/em><\/strong> en\u00a0El burgu\u00e9s gentilhombre<\/em><\/strong><\/a>\u00a0de\u00a0Moli\u00e8re<\/strong><\/a>: \u00abEl calor es producido por una substancia llamada\u00a0cal\u00f3ricum<\/a>\u00ab.<\/em><\/span><\/p>\n<\/div>\n

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Tautolog\u00eda ret\u00f3rica<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

En la <\/span>ret\u00f3rica<\/span>\u00a0espa\u00f1ola, la redundancia<\/strong> suele entenderse como una falta de estilo, aunque a veces se utiliza intencionadamente para dar \u00e9nfasis, por ejemplo \u00abLe voy a entregar un obsequio gratis<\/em>\u00ab, \u00ablo vi con mis propios ojos<\/em>\u00ab. En este sentido, tambi\u00e9n se puede llamar\u00a0<\/span>pleonasmos<\/span><\/strong>. Cuando la tautolog\u00eda ret\u00f3rica pretende ser una explicaci\u00f3n, y esa explicaci\u00f3n es evidentemente redundante sin aportar m\u00e1s conocimiento, se denomina\u00a0perogrullada<\/em><\/strong>: \u00abel ser es lo que es<\/em>\u00ab. En ocasiones, el pleonasmo<\/strong> tiene, como la\u00a0<\/span>rima<\/span><\/strong>, una funci\u00f3n instructiva para reforzar la\u00a0<\/span>memoria<\/span>\u00a0de un tema.<\/span><\/p>\n<\/div>\n

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La Tautolog\u00eda en la l\u00f3gica<\/span><\/strong><\/h3>\n

Sin embargo, en\u00a0l\u00f3gica\u00a0se entiende por tautolog\u00eda aquella\u00a0proposici\u00f3n\u00a0<\/strong>cuya\u00a0tabla de verdad<\/a><\/strong>\u00a0da siempre el valor de verdad V en todos los casos posibles de los valores de verdad (V, F) de cada una de las proposiciones que la integran, o de un modo m\u00e1s sencillo: la supuesta explicaci\u00f3n de algo mediante una\u00a0perogrullada<\/em><\/strong>, la \u00abexplicaci\u00f3n<\/em>\u00bb o definici\u00f3n de algo mediante una ligera variaci\u00f3n de palabras que tienen en conjunto el mismo significado ya conocido de lo supuestamente explicado<\/strong> (Ej.: \u00abexiste el calor porque lo provoca el cal\u00f3rico<\/a>\u00ab<\/em>).\u00a0<\/span><\/p>\n<\/div>\n

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Tautolog\u00eda: <\/span><\/strong><\/p>\n

En todos los casos la forma del argumento ofrece un resultado verdadero, por lo que el argumento es v\u00e1lido.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

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T<\/strong><\/span>autolog\u00eda<\/strong>: en todos los casos la forma del argumento ofrece un resultado verdadero, por lo que el argumento es v\u00e1lido.<\/span><\/p>\n

Consideremos la proposici\u00f3n \"\"\u00a0 cuya tabla de verdad siempre ser\u00e1 verdadera. Es una tautolog\u00eda<\/strong>. Como cuando aseguramos como verdadero que \u201co llueve o no llueve<\/em>\u201d.<\/span><\/p>\n

Pero en l\u00f3gica<\/strong>, lo tautol\u00f3gico<\/strong> se convierte en la esencia del discurso deductivo, o mejor dicho de la\u00a0inferencia\u00a0deductiva.<\/span><\/p>\n<\/div>\n

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En l\u00f3gica, lo tautol\u00f3gico se convierte en la esencia del discurso deductivo, o mejor dicho de la inferencia deductiva<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

\u00a0<\/p>\n

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La\u00a0validez l\u00f3gica<\/a>\u00a0consiste precisamente en que no puede darse el caso de que\u00a0siendo verdad el antecedente, no lo sea el consecuente<\/em>.<\/span><\/p>\n

Dicho en otras palabras la\u00a0tabla de verdad<\/a><\/strong>\u00a0del\u00a0esquema de inferencia\u00a0que enlaza el antecedente y el consecuente da siempre el valor de verdad V, y en todos los casos posibles de los valores de verdad de las proposiciones que la integran<\/strong>. Es una\u00a0tautolog\u00eda<\/strong>.<\/span><\/p>\n

Sea el esquema de inferencia<\/strong> \"\"\u00a0\u00a0cuya tabla de verdad<\/strong> muestra ser una tautolog\u00eda<\/strong>. Un esquema que podr\u00eda modelizarse como: \u201cSi llueve el suelo est\u00e1 mojado y si el suelo est\u00e1 mojado entonces las ruedas de los coches patinan. Por tanto si llueve las ruedas de los coches patinan<\/em>\u201d. Un argumento f\u00e1cil de comprender.<\/span><\/p>\n

Lo que quiere decir que\u00a0todos los argumentos deductivos v\u00e1lidos son, por definici\u00f3n, tautolog\u00edas<\/strong>.<\/span><\/p>\n

Las tautolog\u00eda son infinitas en n\u00famero, pero, algunas pueden ser consideradas como\u00a0leyes l\u00f3gicas\u00a0es decir como modelos aplicables para las\u00a0inferencias, cuando operamos en un\u00a0c\u00e1lculo formal. (V\u00e9ase el art\u00edculo\u00a0c\u00e1lculo<\/a><\/em>).<\/span><\/p>\n

Cuando en un c\u00e1lculo<\/strong> se eligen algunas leyes l\u00f3gicas<\/strong> como el fundamento de todo, es decir, como axiomas<\/strong>, entonces el c\u00e1lculo es un\u00a0c\u00e1lculo axiom\u00e1tico<\/strong>.<\/span><\/p>\n

Cuando usamos tales esquemas de inferencia en el lenguaje estamos argumentando<\/strong>.<\/span><\/p>\n

Igual que la l\u00f3gica, las matem\u00e1ticas pueden ser consideradas como la ciencia de hacer tautolog\u00edas particularmente elaboradas de una forma rigurosa. Un\u00a0teorema\u00a0es un ejemplo de tautolog\u00eda \u00fatil<\/strong>.<\/span><\/p>\n

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Las matem\u00e1ticas pueden ser consideradas como la ciencia de hacer tautolog\u00edas particularmente elaboradas de una forma rigurosa. <\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

Un\u00a0teorema\u00a0es un ejemplo de tautolog\u00eda \u00fatil.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

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Para\u00a0Ludwig Wittgenstein<\/a>, la tautol\u00f3gica se trata de una\u00a0proposici\u00f3n\u00a0que necesariamente es verdadera (A<\/strong>\u00a0es igual a\u00a0A<\/strong><\/em>), con independencia de que represente un hecho real o no. De este modo se acepta \u00aba priori<\/em>\u00bb (previo a la experiencia<\/em>) y sirve de\u00a0premisa\u00a0obvia.<\/span><\/p>\n

Este tipo de verdades que no dependen de los hechos han sido consideradas de diversas maneras en la historia de la filosof\u00eda:\u00a0verdad necesaria,\u00a0verdad anal\u00edtica,\u00a0verdad de raz\u00f3n.<\/span><\/p>\n

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Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdades, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposici\u00f3n compuesta, para cada combinaci\u00f3n de verdad que se pueda asignar. Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce<\/strong> por los a\u00f1os 1880, pero el formato m\u00e1s popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein<\/strong> en su Tractatus logico-philosophicus<\/strong><\/em>, publicado en 1921.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

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RELACIONADOS:<\/strong><\/span><\/h2>\n

EL ENIGMA NO EXISTE, por Ludwig Wittgenstein<\/a><\/p><\/blockquote>\n

\"\"<\/a><\/p>\n