{"id":2306992,"date":"2025-02-18T00:05:39","date_gmt":"2025-02-17T23:05:39","guid":{"rendered":"https:\/\/puntocritico.com\/ausajpuntocritico\/?p=2306992"},"modified":"2025-02-19T20:32:35","modified_gmt":"2025-02-19T19:32:35","slug":"kant-y-frege","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/puntocritico.com\/ausajpuntocritico\/2025\/02\/18\/kant-y-frege\/","title":{"rendered":"KANT Y FREGE: LOS FUNDAMENTOS DE LA ARITM\u00c9TICA, de Gottlob Frege (Parte 1)"},"content":{"rendered":"

KANT Y FREGE<\/span><\/p>\n\n

 <\/p>\n

\n

Gottlob Frege:\u00a0El contexto filos\u00f3fico<\/span><\/h2>\n

Por Francisco Manuel Saur\u00ed-Mercader<\/span><\/p>\n

\"KANT<\/a><\/p>\n

La muerte de Hegel<\/strong><\/a> en 1831 no solo es el final de la vida de este fil\u00f3sofo sino del fin del poder del Idealismo alem\u00e1n en la cultura alemana<\/em><\/strong> (Sluga, 1980<\/em>). Con ello terminaba la hegemon\u00eda de una tradici\u00f3n que hab\u00eda comenzado con Leibniz<\/strong><\/a>. <\/span><\/p>\n

La tradici\u00f3n filos\u00f3fica alemana que gener\u00f3 una figura como la de Leibniz<\/strong><\/a> estuvo marcada por un aristotelismo conservador y el propio Leibniz<\/strong> no vio los defectos de la l\u00f3gica de Arist\u00f3teles<\/strong><\/a>. Los intereses del Idealismo alem\u00e1n<\/strong><\/a> desviaron la atenci\u00f3n a otros menesteres m\u00e1s especulativos y la l\u00f3gica se mantuvo, desde los est\u00e1ndares actuales, en la indigencia t\u00e9cnica. <\/span><\/p>\n

Los cambios econ\u00f3micos, sociales y culturales barrieron la estructura cultural imperante a principios del siglo XIX y la ca\u00edda en desgracia del Idealismo alem\u00e1n<\/strong><\/a> arrastr\u00f3 con \u00e9l a la filosof\u00eda en general. S\u00f3lo en el \u00faltimo tercio del siglo XIX volvi\u00f3 a recuperarse y lo hizo como investigaci\u00f3n de la estructura l\u00f3gica de la ciencia, la matem\u00e1tica y el lenguaje mediante el Neokantismo<\/em><\/strong>. Mientras tanto imper\u00f3 un naturalismo cientificista<\/em> poco s\u00f3lido. En filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas<\/strong>, los partidarios de este \u00faltimo pudieron ver un aliado en el empirismo<\/em> de John Stuart Mill<\/strong><\/a>. <\/span><\/p>\n

El Neokantismo<\/strong> <\/em>domin\u00f3 la filosof\u00eda alemana hasta el fin del primer tercio del siglo XX. Su centro de origen fue la Universidad de Jena<\/em>, donde Frege<\/strong><\/a> hab\u00eda desarrollado su carrera acad\u00e9mica anteriormente. El Neokantismo<\/strong> <\/em>dio origen al Empirismo L\u00f3gico<\/strong><\/em>, as\u00ed como a la Fenomenolog\u00eda<\/strong> <\/em>de Husserl<\/strong> y Heidegger<\/strong><\/a>. Ortega y Gasset<\/strong><\/a> se form\u00f3 en el Neokantismo<\/em><\/strong>. <\/span><\/p>\n

A la par que las matem\u00e1ticas se desarrollaban vertiginosamente a lo largo del siglo XIX, la filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas<\/strong> ten\u00eda como referencia a Kant<\/strong><\/a> de tal manera que cualquier planteamiento debi\u00f3 realizarse en sus t\u00e9rminos a lo largo del siglo XIX.<\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Dibujo de Chagall y texto de Kant <\/span><\/figcaption><\/figure>\n

*******<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

\u00abLos fundamentos de la aritm\u00e9tica\u00bb, de Gottlob Frege<\/span><\/h2>\n

Por Francisco Manuel Saur\u00ed-Mercader<\/a><\/span><\/p>\n

\"LOS<\/p>\n

 <\/p>\n

KANT Y FREGE<\/span><\/h3>\n

El vocabulario kantiano<\/em><\/strong> era el punto de referencia para hablar de filosof\u00eda de las matem\u00e1ticas<\/strong> en el siglo XIX. Frege<\/strong> entra dentro de esta corriente principal y comparte los intereses meta-te\u00f3ricos<\/em> de otros matem\u00e1ticos. En Los fundamentos<\/strong><\/em> la figura de Kant<\/strong> aparece por primera vez en la secci\u00f3n 3, de las cuatro que preceden al cap\u00edtulo I<\/em>, y que est\u00e1n fuera de la \u00abIntroducci\u00f3n<\/em>\u00ab. <\/span><\/p>\n

Ah\u00ed Frege<\/strong> se hace eco de las distinciones entre juicios a priori y a posteriori<\/em><\/strong> y juicios anal\u00edticos y sint\u00e9ticos<\/strong><\/em>. Frege<\/strong> afirma: <\/span><\/p>\n

\n

\u00abSu objetivo [el de la pregunta por cu\u00e1l es la raz\u00f3n \u00faltima en que est\u00e1 basada la justificaci\u00f3n de tener un enunciado por verdadero<\/em>], pues, es encontrar la prueba y retrotraerla hasta las verdades originarias. Si por este camino se llega a leyes l\u00f3gicas generales y a definiciones, entonces se tiene una verdad anal\u00edtica<\/em>, para lo cual se presupone que tambi\u00e9n se toman en consideraci\u00f3n los enunciados en los que se basa la admisibilidad de una definici\u00f3n. <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

Si, por el contrario, no es posible llevar a t\u00e9rmino la demostraci\u00f3n sin utilizar verdades que no son de naturaleza l\u00f3gica general, sino que est\u00e1n relacionadas con un campo particular del saber, entonces el enunciado ser\u00e1 sint\u00e9tico<\/em>. <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

Para que una verdad sea a posteriori<\/em> se exige que su prueba no pueda ser validada sin alguna apelaci\u00f3n a los hechos; es decir, a verdades indemostrables y sin universalidad, que contienen aseveraciones sobre objetos particulares. <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

Si, por el contrario, es posible llevar a cabo la prueba partiendo de leyes generales \u00fanicamente, que no pueden ni precisan ser demostradas, entonces la verdad es a priori<\/em>.\u00bb<\/span> <\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

En la primera nota de la secci\u00f3n 3<\/em>, Frege<\/strong> pretende que sus definiciones se ajustan a Kant<\/strong>, pero en realidad se distancia de \u00e9ste, y Frege<\/strong> es consciente de este distanciamiento, pese a utilizar su terminolog\u00eda. Como Frege<\/strong> dice en la secci\u00f3n 87, segunda de la \u00abConclusi\u00f3n<\/em>\u00ab<\/strong>: <\/span><\/p>\n

\n

\u00abParece que Kant cree que el concepto viene definido por las caracter\u00edsticas que se le asocian; pero \u00e9ste es uno de los modos menos fruct\u00edferos de formar conceptos. Si se echa una ojeada a las definiciones dadas m\u00e1s arriba [a lo largo de Los fundamentos<\/em>], apenas se hallar\u00e1 ninguna de este tipo.\u00bb<\/strong> <\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

El diagn\u00f3stico de Frege es certero pero exige explicaci\u00f3n<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Veamos cu\u00e1l era el pensamiento de Kant<\/strong> en los aspectos relevantes aqu\u00ed. Kant<\/strong> identifica lo racional de las ciencias con los conocimientos a priori<\/em> que \u00e9stas incluyen<\/strong>. La l\u00f3gica<\/strong> es meramente formal<\/strong> y, consiguientemente, es completamente a priori<\/em>. Pero Kant<\/strong> se\u00f1ala que hay conocimientos sobre el mundo de la experiencia, sobre el mundo emp\u00edrico, que son a priori<\/em> y no tienen nada de emp\u00edrico (no solo son a priori sino puros a priori)<\/em>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Kant se\u00f1ala que hay conocimientos sobre el mundo de la experiencia, sobre el mundo emp\u00edrico, que son a priori<\/em> y no tienen nada de emp\u00edrico (no solo son a priori sino puros a priori)<\/em><\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Por tanto, para Kant<\/strong> tenemos conocimientos sobre la experiencia que no se obtienen de la experiencia<\/strong>: son los juicios sint\u00e9ticos a priori<\/em><\/strong>. <\/span>Es el caso de la totalidad de la matem\u00e1tica<\/strong>; en la f\u00edsica esto s\u00f3lo ocurre en parte. <\/span><\/p>\n

Para entender estas tesis, debemos entender c\u00f3mo Kant<\/strong> articula las relaciones entre tres pares de tipos de juicios<\/strong>: los juicios singulares y universales<\/strong>, necesarios y contingentes<\/strong>, anal\u00edticos y sint\u00e9ticos<\/strong> y, finalmente, a priori y a posteriori<\/strong><\/em>. <\/span><\/p>\n

Cuando se hable de \u00abjuicios<\/em><\/strong>\u00bb se toma en el sentido objetivo de la palabra equivalente a \u00abproposici\u00f3n<\/em><\/strong>\u00bb (para los ejemplos y los t\u00f3picos de filosof\u00eda de la ciencia, D\u00edez, 1999<\/em>).<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"
Inmanuel Kant<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

*******<\/span><\/strong><\/p>\n

Juicios singulares y juicios universales<\/span> <\/span><\/h4>\n

Establecer regularidades siempre se ha considerado un conocimiento deseable del mundo<\/strong> porque nos permiten saber a qu\u00e9 atenernos, prever<\/strong> c\u00f3mo se comportan las cosas. Ejemplos de regularidades son<\/strong>: <\/span><\/p>\n

\n

1. A la noche le sigue el d\u00eda; 2. Los objetos s\u00f3lidos no atraviesan paredes si no las rompen; 3. Juan fuma; 4. Los p\u00e1jaros son aves que vuelan; 5. Tu perro muerde; 6. La velocidad media de un cuerpo es el espacio recorrido dividido por el tiempo transcurrido; 7. Mi gato es cari\u00f1oso; 8. La longitud de la hipotenusa de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo es la ra\u00edz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos (teorema de Pit\u00e1goras<\/em>); 9. Pedro y Sandra se aman; 10. El pez grande se come al chico; 11. Esta mesa de la derecha es mayor que esta otra de enfrente; 12. Este muro es alto; 13. El yeso sin aditivos es blanco.<\/strong> <\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Las regularidades anteriores nos permiten saber que no debo intentar salir de la habitaci\u00f3n si no es por la puerta, que m\u00e1s vale no acercarse al perro de Fulano, mientras que acercarse a mi gato no ofrece peligro, que si cog\u00ed el coche a las tres y llegu\u00e9 a las seis e hice 300 Km., la velocidad media de mi coche fue de 100 Km\/h, etc. <\/span><\/p>\n

Las regularidades de nuestra lista, podemos dividirlas en dos clases<\/strong>. Por un lado, tenemos aquellas regularidades que se refieren a cosas concretas<\/strong> (3, 5, 7, 9, 11, 12<\/em>). Esas cosas concretas, individuos, objetos o particulares<\/strong>: a una o varias personas (Pedro y Sandra, Juan<\/em>), a animales (mi gato, tu perro<\/em>) o a cosas (la mesa de la derecha y la mesa de enfrente, este muro, etc.<\/em>); por el otro, est\u00e1n las regularidades que se refieren a tipos de cosas<\/strong> (1, 2, 4, 6, 8, 10, 13<\/em>). <\/span><\/p>\n

En el caso de estas \u00faltimas, cuando decimos \u201cLos p\u00e1jaros vuelan<\/em>\u201d, no hablamos de ese o aquel p\u00e1jaro sino de todos los p\u00e1jaros, de todo aquello que es un p\u00e1jaro; y lo mismo pasa con los d\u00edas y las noches, y los objetos s\u00f3lidos y las paredes. Al hablar del yeso puro, estamos hablando de todos los trozos de yeso puro. En el caso 10<\/em>, no estamos hablando de un pez grande y otro chico, sino de los peces grandes y peque\u00f1os en general. Podemos denominar a estas regularidades<\/strong> \u00abregularidades generales<\/em><\/strong>\u00ab.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Las regularidades generales se formulan en juicios universales y las regularidades sobre cosas concretas se formulan en juicios singulares<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Las regularidades generales se formulan en juicios universales y las regularidades sobre cosas concretas se formulan en juicios singulares. Por supuesto, que si tenemos que resolver un problema nos interesan las cosas concretas y no solo las regularidades generales<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Por ejemplo<\/em>, podemos querer resolver el problema de la medida que debe tener un tabl\u00f3n de madera de modo que apoy\u00e1ndolo sobre un muro nos permita subir a \u00e9l empujando una carretilla.\u00a0<\/span>Pero el que la resoluci\u00f3n sea r\u00e1pida y sencilla depender\u00e1 de que quien debe resolverlo sepa un poco de geometr\u00eda y sepa cu\u00e1l es la inclinaci\u00f3n \u00f3ptima para poder empujar una carretilla cuesta arriba. <\/span><\/p>\n

Y saber geometr\u00eda implica conocer ciertas verdades generales sobre rectas, c\u00edrculos, tri\u00e1ngulos, etc. que aplicaremos en el caso concreto que nos interesa<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Escultura de Edith Breckwoldt. La prueba. Ning\u00fan hombre en todo el mundo puede cambiar la verdad. S\u00f3lo se puede buscar la verdad, encontrarla y servirla. La verdad est\u00e1 en todos los lugares. Cita de Dietrich Bonhoeffer.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

*******<\/span><\/strong><\/p>\n

Juicios necesarios y juicios contingentes<\/span> <\/span><\/h4>\n

Adem\u00e1s la ciencia y la filosof\u00eda se fijan en un tipo concreto de regularidades<\/strong>: las regularidades necesarias<\/strong>. Durante milenios, las explicaciones del mundo estuvieron ligadas a los mitos<\/em> con dioses, esp\u00edritus y otras entidades m\u00e1s o menos personales que act\u00faan caprichosamente<\/em>. <\/span><\/p>\n

Descartada la intervenci\u00f3n de aqu\u00e9llos, la Naturaleza<\/em> aparece como estructurada en regularidades necesarias, las cuales se formulan mediante juicios necesariamente verdaderos<\/strong> (juicios necesarios para abreviar<\/em>). <\/span><\/p>\n

Son ejemplos de regularidades necesarias de la Naturaleza<\/em><\/strong>: <\/span><\/p>\n

\n

19.Todos los metales se dilatan al calentarlos; 20. Todos los cuerpos cargados el\u00e9ctricamente con cargas del mismo signo se repelen con una fuerza proporcional al producto de sus cargas; 21. Nadie puede levantarse tir\u00e1ndose de los cordones de los zapatos; 22. Todas las esferas de uranio tienen menos de 1m de radio.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Estas regularidades necesarias de la Naturaleza<\/em> se denominan regularidades n\u00f3micas<\/strong> o, tambi\u00e9n, leyes de la Naturaleza<\/strong><\/em>. Igualmente se dice que las leyes de la Naturaleza<\/em> son n\u00f3micamente necesarias. <\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

Estas regularidades necesarias de la Naturaleza<\/em> se denominan regularidades n\u00f3micas o, tambi\u00e9n, leyes de la Naturaleza<\/em>. Igualmente se dice que las leyes de la Naturaleza<\/em> son n\u00f3micamente necesarias<\/span><\/strong><\/p>\n

 <\/p>\n

Aqu\u00ed \u00abnecesario<\/em>\u00bb significa que no puede ser cambiado, que siempre es as\u00ed y no puede ser de otra manera, que no hay alternativas, no hay otras posibilidades<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Observemos nuestro ejemplo<\/strong> (22)<\/strong>: \u00abTodas las esferas de uranio tienen menos de 1m de radio<\/em>\u00ab. No puede ser de otra manera, nunca podr\u00e1 haber una esfera de uranio de m\u00e1s de un metro de radio, es algo permanente<\/strong>. Porque cuando se acumula cierta cantidad de uranio se produce una reacci\u00f3n nuclear. <\/span><\/p>\n

Por eso, desde un punto de vista l\u00f3gico<\/strong>, \u00abes necesario que p<\/em>\u00bb (p<\/strong> es una proposici\u00f3n<\/em>) se define como \u00abno es posible que no<\/em> p<\/em><\/strong>\u00ab, es decir, p no puede no ser verdadera<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Por tanto, un juicio es n\u00f3micamente necesario cuando y s\u00f3lo cuando su negaci\u00f3n implica una contradicci\u00f3n, evidentemente suponiendo que las leyes naturales que creemos conocer lo son<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Un juicio es n\u00f3micamente necesario cuando y s\u00f3lo cuando su negaci\u00f3n implica una contradicci\u00f3n. <\/strong><\/span><\/p>\n

A diferencia de lo necesario, que no tiene alternativas, lo contingente es aquello que puede o no ocurrir. Son los casos de regularidades accidentales o accidentes.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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\"\"<\/a>
Los conceptos y las cosas. Evoluci\u00f3n y alcance de la teor\u00eda vitalista del concepto, por Axel Cherniavsky <\/span><\/a><\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

Por otra parte, necesario se opone a contingente<\/strong>. A diferencia de lo necesario, que no tiene alternativas, lo contingente es aquello que puede o no ocurrir<\/strong>. Son los casos de regularidades accidentales o accidentes<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Por ejemplo<\/em>, son regularidades accidentales<\/strong>: <\/span><\/p>\n

\n

23.Todas las esferas de oro tienen menos de 1m de radio; 24. Todos los b\u00edpedos implumes son humanos; 25. Todos los cuervos son negros; 26. Siempre que voy a ver al Levante UD<\/em>, \u00e9ste pierde.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Esta distinci\u00f3n que hacemos entre leyes cient\u00edficas y accidentes es muy evidente en el caso de las esferas de oro y uranio<\/strong>, ejemplos<\/em> (22) <\/em><\/strong>y (23)<\/strong><\/em>. <\/span><\/p>\n

\n

El que no exista una esfera de oro de 1m es algo accidental: si tuvi\u00e9semos el tiempo, dinero y paciencia para reunir todo ese oro, bien pudiera ocurrir que construy\u00e9semos tal esfera. Sin embargo, eso no podr\u00eda ocurrir con la esfera de uranio porque las leyes naturales lo impiden: como ya sabemos, cuando se re\u00fane cierta cantidad de uranio, \u00e9ste comienza una reacci\u00f3n nuclear.<\/strong> <\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Por tanto, hay en las regularidades n\u00f3micas algo que no hay en las regularidades accidentales<\/strong>. Eso es lo que intenta recoger el concepto de necesidad<\/strong>. <\/span><\/p>\n

As\u00ed, en el ejemplo (26)<\/strong><\/em> nadie dir\u00e1 en serio que el Levante UD<\/em><\/strong> perder\u00e1 siempre que vaya a verlo. Por eso \u00abes contingente que p<\/em>\u00bb (p representa una proposici\u00f3n<\/em>) se define como \u00abni es necesario que no p ni es necesario que p<\/em>\u00ab, esto es, puede ocurrir tanto que p como que no p.<\/span><\/p>\n

Los conceptos como necesario o contingente se denominan conceptos modales, pues se refieren al modo en que los juicios son verdaderos o falsos<\/strong>. <\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Los conceptos como necesario o contingente se denominan conceptos modales, pues se refieren al modo en que los juicios son verdaderos o falsos<\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

As\u00ed, cuando un juicio es necesariamente verdadero<\/strong>, su verdad tiene una \u00abfuerza<\/em>\u00bb especial de la que carece el juicio contingente<\/strong>. El problema con la distinci\u00f3n entre juicios necesarios y juicios contingentes, en el contexto en el que se han introducido, es c\u00f3mo saber que un juicio es necesario<\/strong>. <\/span><\/p>\n

En los ejemplos anteriores hemos dado por sabido que tales o cuales juicios eran necesarios porque as\u00ed lo podemos inferir<\/strong> de lo que nos han dicho los cient\u00edficos al establecer que son leyes de la Naturaleza<\/strong><\/em>. Aunque qu\u00e9 es una ley de la Naturaleza<\/em> no es un problema peque\u00f1o en filosof\u00eda; pero no es ahora nuestro objetivo. <\/span><\/p>\n

Los conceptos modales, necesidad y contingencia, los hemos introducido atendiendo a la necesidad que muchos fil\u00f3sofos suponen que existe en el mundo f\u00edsico<\/strong>. Pero tambi\u00e9n existen otras nociones de la necesidad<\/strong>. <\/span><\/p>\n

En lo que aqu\u00ed nos interesa conviene tratar la necesidad conceptual<\/strong>, lo que vamos a hacer a continuaci\u00f3n.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Los conceptos modales, necesidad y contingencia, los hemos introducido atendiendo a la necesidad que muchos fil\u00f3sofos suponen que existe en el mundo f\u00edsico<\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

*******<\/span><\/strong><\/p>\n

Juicios anal\u00edticos y juicios sint\u00e9ticos<\/span><\/h4>\n

Consideremos ahora algunos ejemplos de nuestras regularidades entre tipos de cosas, formuladas en juicios universales, junto a algunas formulaciones alternativas que seguramente consideraremos que tienen un significado equivalente<\/strong>: <\/span><\/p>\n

\n

2.Un objeto s\u00f3lido no atraviesa una pared si no la rompe; 2bis. Los objetos s\u00f3lidos no atraviesan paredes si no las rompen 4. Un p\u00e1jaro es un ave que vuela; 4bis. Los p\u00e1jaros son aves que vuelan 10. El pez grande se come al chico; 10bis. Los peces grandes se comen a los peces chicos 13. El yeso sin aditivos es blanco; 13bis. Los trozos de yeso sin aditivos son blancos 14. Un ave es un animal; 14bis. Las aves son animales; 15. Un soltero no est\u00e1 casado; 15bis. Los solteros no est\u00e1n casados; 16. Ser hermano de alguien es tener el mismo padre y la misma madre; 16bis. Los hermanos tienen el mismo padre y la misma madre 17. Lo verde est\u00e1 coloreado; 17bis. Las superficies verdes son coloreadas.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Tanto las formulaciones de los ejemplos 2-17<\/em>, como las formulaciones alternativas 2bis, 4bis, etc,<\/em> podemos interpretarlas f\u00e1cilmente como que dicen, m\u00e1s o menos, lo mismo. Sin embargo, otras interpretaciones pueden introducir dos matices distintos<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Consideremos los ejemplos 4 y 4bis<\/em><\/strong>. Cuando digo que los p\u00e1jaros son aves que vuelan o que un p\u00e1jaro es un ave que vuela, puedo querer destacar que los individuos que se clasifican como p\u00e1jaros hay que incluirlos en el conjunto de aquellos animales que se denominan aves pero que tienen la peculiaridad de volar, frente a otras aves que no vuelan, como por ejemplo, los ping\u00fcinos o las avestruces. Sin embargo, tambi\u00e9n puedo querer destacar cu\u00e1les son los rasgos que hacen que algo sea un p\u00e1jaro o que podamos aplicarle el nombre com\u00fan \u00abp\u00e1jaro<\/em>\u00ab<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Pensemos que (4)<\/strong> es la respuesta correcta a la pregunta \u00bfQu\u00e9 es un p\u00e1jaro?<\/em> para alguien que habla en castellano. Igualmente, a la pregunta \u00bfQu\u00e9 es ser soltero?<\/em> parte de la respuesta correcta es no estar casado.\u00a0<\/span>Habitualmente, cuando hacemos preguntas del tipo \u00bfQu\u00e9 es un X? en el caso de que X es un caso de t\u00e9rmino general, preguntamos por la descripci\u00f3n o caracterizaci\u00f3n de las cosas a las que puede aplicarse el t\u00e9rmino general X<\/em>. Pero tambi\u00e9n podemos decir que preguntamos por la definici\u00f3n o significado del t\u00e9rmino general X<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Como es habitual referirse al significado de un t\u00e9rmino general como un concepto<\/strong>, que es lo que Frege<\/strong> hace, entonces la respuesta a \u00bfQu\u00e9 es un X? nos proporciona el concepto de algo<\/strong>: el concepto de pared, de fumar, de solidez, de amar, de gato, de velocidad, de mesa, de morder, de noche, de cuadrado, etc. <\/span><\/p>\n

No son conceptos Pedro<\/strong>, Sandra<\/strong> y Juan<\/strong>; y tampoco lo son mi gato, ni este muro, ni tu perro o esta mesa; son personas, animales o cosas concretos<\/strong>, es decir, individuos o cosas particulares. El conjunto de las cosas a las que puede aplicarse un concepto se denomina \u00abextensi\u00f3n<\/em>\u00bb del concepto correspondiente<\/strong>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

El conjunto de las cosas a las que puede aplicarse un concepto se denomina \u00abextensi\u00f3n<\/em>\u00bb del concepto correspondiente. <\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

Mientras que la caracterizaci\u00f3n del significado del t\u00e9rmino general o la definici\u00f3n del concepto se denomina la \u00abintensi\u00f3n<\/em>\u00bb o \u00abcomprensi\u00f3n<\/em>\u00bb del concepto.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Mientras que la caracterizaci\u00f3n del significado del t\u00e9rmino general o la definici\u00f3n del concepto se denomina la \u00abintensi\u00f3n<\/em>\u00bb o \u00abcomprensi\u00f3n<\/em>\u00bb del concepto<\/strong>; mediante ella formulamos el contenido del concepto analiz\u00e1ndolo en otros conceptos<\/strong> (que se pueden denominar \u00abrasgos\u00bb, \u00abnotas\u00bb, \u00abcaracter\u00edsticas\u00bb o \u00abmarcas\u00bb<\/em>). <\/span><\/p>\n

As\u00ed por ejemplo<\/em>, en el caso de la intensi\u00f3n<\/strong>, si queremos explicar qu\u00e9 es ser soltero diremos que es alguien que no est\u00e1 casado<\/em>; o si nuestro primito, que es de corta edad e hijo \u00fanico, nos pregunta qu\u00e9 quiere decir que Fulanito<\/strong> <\/em>es hermano de Sotanito<\/strong><\/em>, le diremos que Fulanito<\/strong> <\/em>y Sotanito<\/strong> <\/em>tienen los mismos pap\u00e1 y mam\u00e1. Igualmente en el caso de los p\u00e1jaros como aves que vuelan. <\/span><\/p>\n

Volvamos a Kant<\/strong>. Tal como \u00e9l lo formula, un juicio es anal\u00edtico cuando el predicado est\u00e1 incluido en el sujeto<\/strong>. En un juicio anal\u00edtico, el predicado despliega alguna de las caracter\u00edsticas del sujeto.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Para Kant, en un juicio anal\u00edtico, el predicado despliega alguna de las caracter\u00edsticas del sujeto<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

\u00a0<\/p>\n

\"\"<\/a>
Henri-Louis Bergson<\/strong><\/a> (1859-1941), conocido como Henri Bergson<\/strong><\/a>, fue un fil\u00f3sofo y escritor franc\u00e9s, ganador del Premio Nobel de Literatura en 1927.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

Por ejemplo<\/em>, si digo que los p\u00e1jaros son aves que vuelan, entonces estoy diciendo algo que es un rasgo del concepto p\u00e1jaro: ser ave<\/strong>. Porque hay otros animales que vuelan pero no son aves. Por ejemplo, los murci\u00e9lagos<\/em>. Si, por el contrario, yo dijese que un murci\u00e9lago<\/em> es un ave estar\u00eda haciendo un juicio falso<\/strong> porque los murci\u00e9lagos<\/em> son mam\u00edferos. De la misma manera, una ballena no es un pez, sino un mam\u00edfero marino, un cet\u00e1ceo. <\/span><\/p>\n

Como Kant<\/strong> se\u00f1ala, en un juicio anal\u00edtico averiguo su verdad o falsedad aplicando el principio de no contradicci\u00f3n<\/strong>. Pongamos el caso del murci\u00e9lago<\/em>; se extraen todas las caracter\u00edsticas del concepto ave y las comparamos con el concepto correspondiente a la especie zool\u00f3gica del murci\u00e9lago<\/em> y vemos que hay contradicciones. Algunas de las caracter\u00edsticas anat\u00f3micas, fisiol\u00f3gicas y gen\u00e9ticas de un murci\u00e9lago contradicen las de un ave. <\/span><\/p>\n

De este modo, los juicios anal\u00edticos verdaderos son conceptualmente necesarios<\/strong>, su negaci\u00f3n es contradictoria. Veamos el ejemplo de Kant<\/strong>. \u00abTodos los cuerpos son extensos<\/em>\u00bb es un juicio anal\u00edtico porque el concepto de cuerpo en f\u00edsica tiene los rasgos de extensi\u00f3n, impenetrabilidad, figura, etc. <\/strong><\/span><\/p>\n

Pero el juicio \u00abTodos los cuerpos son pesados<\/em>\u00bb no es un juicio anal\u00edtico. No entra dentro del concepto de cuerpo el que sea pesado.<\/strong> Los f\u00edsicos nos pueden decir que un cuerpo no pesa si no es bajo la acci\u00f3n de un campo gravitatorio; si est\u00e1 fuera del alcance de cualquier otro cuerpo no pesar\u00e1, aunque tenga masa (recordemos la distinci\u00f3n entre masa y peso de la f\u00edsica<\/em>).<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

El ejemplo anterior puede resultar poco clarificador sin el trasfondo de la definici\u00f3n kantiana<\/em> de juicio anal\u00edtico. La definici\u00f3n de juicio anal\u00edtico de Kant est\u00e1 calcada de la concepci\u00f3n del juicio en general de la filosof\u00eda de Wolff que tiene su origen en Leibniz<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

El ejemplo anterior puede resultar poco clarificador sin el trasfondo de la definici\u00f3n kantiana<\/em> de juicio anal\u00edtico<\/strong>. La definici\u00f3n de juicio anal\u00edtico<\/strong> de Kant<\/strong> est\u00e1 calcada de la concepci\u00f3n del juicio en general de la filosof\u00eda de Wolff<\/strong> que tiene su origen en Leibniz<\/strong> (Anderson, RL 2015<\/em>).<\/span><\/p>\n

Para esta tradici\u00f3n, lo que Kant llama juicio anal\u00edtico es la que caracteriza todo juicio verdadero, si no fuera por la limitaci\u00f3n de nuestro intelecto<\/strong>; Dios puede ver todos juicios como anal\u00edticos tal como los ha definido Kant<\/strong>. Para estos autores, los juicios anal\u00edticos verdaderos describen correctamente la articulaci\u00f3n de los conceptos y las consecuencias que podemos extraer l\u00f3gicamente<\/strong> (mediante la silog\u00edstica<\/strong><\/em>).<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Para estos autores, los juicios anal\u00edticos verdaderos describen correctamente la articulaci\u00f3n de los conceptos y las consecuencias que podemos extraer l\u00f3gicamente (mediante la silog\u00edstica<\/em>)<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

\"\"
Kant y Wittgenstein<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

Partimos de la verdadera articulaci\u00f3n de los conceptos y sacamos consecuencias. Si lo hacemos bien, las proposiciones resultantes ser\u00e1n verdaderas. Si no, dar\u00e1n como resultado juicios contradictorios<\/strong>. Evidentemente, para esta tradici\u00f3n filos\u00f3fica, la articulaci\u00f3n de los conceptos y sus caracter\u00edsticas es algo que existe objetivamente<\/em> <\/strong>y el proceso por el que se descubre la verdadera articulaci\u00f3n de los conceptos es un proceso que requiere esfuerzo cient\u00edfico. <\/span><\/p>\n

Adem\u00e1s esos conceptos est\u00e1n organizados sistem\u00e1ticamente en t\u00e9rminos de la concepci\u00f3n de la definici\u00f3n y de la l\u00f3gica aristot\u00e9lica<\/em><\/strong>. Respecto a la definici\u00f3n<\/strong>, hay que usar los t\u00e9rminos \u00abg\u00e9nero pr\u00f3ximo<\/em><\/strong>\u00bb y \u00abespecie<\/em><\/strong>\u00ab. Son t\u00e9rminos relativos que designan la relaci\u00f3n de subordinaci\u00f3n l\u00f3gica<\/strong><\/em> del segundo concepto, la especie, al primero, el g\u00e9nero.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

Respecto a la definici\u00f3n, hay que usar los t\u00e9rminos \u00abg\u00e9nero pr\u00f3ximo<\/em>\u00bb y \u00abespecie<\/em>\u00ab. <\/span><\/strong><\/p>\n

Son t\u00e9rminos relativos que designan la relaci\u00f3n de subordinaci\u00f3n l\u00f3gica del segundo concepto, la especie, al primero, el g\u00e9nero<\/span><\/strong><\/p>\n

 <\/p>\n

La definici\u00f3n se genera citando la diferencia espec\u00edfica <\/strong>(un concepto A<\/em>) y su g\u00e9nero pr\u00f3ximo, esto es, el concepto P que abarca la diferencia espec\u00edfica en cuesti\u00f3n <\/strong>(el concepto A<\/em>) y otras <\/strong>(conceptos B, C, D, etc.<\/em>) que caen bajo P y que dan lugar a otras especies de P<\/strong>. <\/span><\/p>\n

\n

Cada especie de P tiene el contenido de P m\u00e1s el concepto A , B o C, etc, seg\u00fan la especie correspondiente. De este modo, cada g\u00e9nero pr\u00f3ximo contiene sus especies adem\u00e1s de su extensi\u00f3n y los concepto A, B, C, etc est\u00e1n subordinados al concepto P<\/em>.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Las especies<\/strong> (los conceptos l\u00f3gicamente subordinados<\/em>) que forman cada g\u00e9nero lo agotan<\/strong> y todas las especies de un g\u00e9nero son disjuntas<\/strong>. <\/span><\/p>\n

El resultado es un sistema conceptual articulado dicot\u00f3micamente que tiene una estructura jer\u00e1rquica que culmina hacia arriba en los g\u00e9neros supremos<\/strong> (categor\u00edas aristot\u00e9licas<\/em>) y hacia abajo en las m\u00faltiples especies en las que se agrupar\u00edan los individuos del mundo<\/strong>.<\/span><\/p>\n

Con la precisi\u00f3n de que para Leibniz<\/strong>, a los ojos de Dios, los individuos (los objetos fregeanos<\/em>) no son diferentes l\u00f3gicamente de los conceptos<\/strong>. Somos nosotros, intelectualmente imperfectas criaturas, quienes hacemos la distinci\u00f3n.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Para Leibniz, a los ojos de Dios, los individuos (los objetos fregeanos<\/em>) no son diferentes l\u00f3gicamente de los conceptos. Somos nosotros, intelectualmente imperfectas criaturas, quienes hacemos la distinci\u00f3n<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Respecto a la l\u00f3gica<\/strong>, desde este punto de vista, se interpreta la silog\u00edstica aristot\u00e9lica<\/em><\/strong> como una manera de conectar dos conceptos<\/strong> y mediante esto se relacionan varios juicios<\/strong>. <\/span><\/p>\n

La inferencia silog\u00edstica compara conceptos que carecen de una obvia o inmediata relaci\u00f3n entre sus contenidos al encontrar una relaci\u00f3n indirecta mediante el uso del t\u00e9rmino medio<\/strong>, que es un concepto que se relaciona con los conceptos de partida.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

La inferencia silog\u00edstica compara conceptos que carecen de una obvia o inmediata relaci\u00f3n entre sus contenidos al encontrar una relaci\u00f3n indirecta mediante el uso del t\u00e9rmino medio, que es un concepto que se relaciona con los conceptos de partida<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

El papel fundamental de la l\u00f3gica aristot\u00e9lica<\/strong><\/em> conlleva que, dado lo dicho sobre ella, este enfoque carece de los recursos para establecer relaciones entre los conceptos m\u00e1s all\u00e1 de la de subordinaci\u00f3n de un concepto a otro o tener un g\u00e9nero com\u00fan con otro<\/strong>, as\u00ed como la incapacidad de expresar la cuantificaci\u00f3n m\u00faltiple, las inferencias ligadas a los operadores l\u00f3gicos y la instanciaci\u00f3n existencial<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Evidentemente, Kant<\/strong> no pod\u00eda formularlo de esta manera, pero no deja de ser relevante tambi\u00e9n para lo que se dir\u00e1 a continuaci\u00f3n.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

*******<\/span><\/strong><\/p>\n

Analiticidad y matem\u00e1ticas en tiempos de Kant<\/span><\/h4>\n

Kant<\/strong> introduce la distinci\u00f3n entre juicios anal\u00edticos <\/em>y juicios sint\u00e9ticos<\/em> porque, en primer lugar, se encuentra que no todo el conocimiento puede formularse en juicios anal\u00edticos<\/em><\/strong>, esto es, no todo conocimiento puede formularse en juicios que respondan a las caracter\u00edsticas con las que los describen los fil\u00f3sofos de la tradici\u00f3n de Leibniz<\/strong> y Wolff<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Adem\u00e1s, en segundo lugar, Kant<\/strong> ofrece otro tipo de juicios que tienen unas caracter\u00edsticas diferentes de los anal\u00edticos<\/strong> y que permiten explicar los que se resisten a ser anal\u00edticos<\/em><\/strong> y que Kant<\/strong> denomina juicios sint\u00e9ticos<\/strong><\/em>.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Wolff intent\u00f3 demostrar que las matem\u00e1ticas eran formulables en los juicios que Kant llam\u00f3 anal\u00edticos<\/em>. <\/span><\/strong><\/p>\n

Kant piensa que Wolff no lo consigue. <\/span><\/strong><\/p>\n

Por tanto, si un conocimiento como el matem\u00e1tico en el que todos piensan como modelo de conocimiento no es posible formularlo en juicios anal\u00edticos, la filosof\u00eda de Wolff queda en entredicho.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Las matem\u00e1ticas juegan aqu\u00ed un papel importante (Anderson, RL 2015<\/em>), porque el propio Wolff<\/strong> intent\u00f3 demostrar que las matem\u00e1ticas eran formulables en los juicios que Kant<\/strong> llam\u00f3 anal\u00edticos<\/strong><\/em>. <\/span><\/p>\n

Kant<\/strong> piensa que Wolff<\/strong> no lo consigue. Por tanto, si un conocimiento como el matem\u00e1tico en el que todos piensan como modelo de conocimiento no es posible formularlo en juicios anal\u00edticos<\/strong>, la filosof\u00eda de Wolff<\/strong> queda en entredicho.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Christian von Wolff<\/strong><\/a>, tambi\u00e9n conocido como Christian Freiherr von Wolff<\/strong> (1679-1754), fue un fil\u00f3sofo alem\u00e1n, creador de la Philosophia Naturalis Universalis<\/strong><\/em>, que tuvo una destacada influencia en los presupuestos racionalistas de Kant<\/strong>. No obstante, su racionalismo est\u00e1 m\u00e1s cerca de Descartes<\/strong> que de Leibniz<\/strong><\/span><\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

Veamos como Kant<\/strong> argumenta contra la posibilidad de expresar en t\u00e9rminos de juicios anal\u00edticos<\/em> la aritm\u00e9tica<\/strong>. <\/span><\/p>\n

En primer lugar, en las igualdades de la aritm\u00e9tica<\/strong>, nos encontramos que cualquier n\u00famero natural puede ser igualado a un infinito n\u00famero de operaciones aritm\u00e9ticas<\/strong>:<\/span><\/p>\n

\n

7=4+3 \u00f3 7=12-5 \u00f3 7=14\/2, etc<\/em><\/strong>.<\/span> <\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Por tanto, cabe preguntarse cu\u00e1l es el concepto que corresponde a 7<\/em> de toda esa infinitud de posibilidades o si lo ser\u00e1n todos esos conceptos<\/em><\/strong>.<\/span><\/p>\n

Adem\u00e1s, en segundo lugar, cuando la igualdad tiene como t\u00e9rminos dos operaciones aritm\u00e9ticas diferentes<\/strong> (por ejemplo, 5+3=12-4<\/em>) tenemos un dilema<\/strong>. <\/span><\/p>\n

\n

O las maneras de calcular el n\u00famero a cada lado del signo \u00abigual<\/em>\u00ab, los dos t\u00e9rminos, son conceptualmente diferentes o no son diferentes; si son diferentes, entonces los dos t\u00e9rminos no pueden ser conceptualmente equivalentes, por lo que la igualdad matem\u00e1tica no es una verdad anal\u00edtica; si no son diferentes la igualdad matem\u00e1tica no est\u00e1 logrando representar la equivalencia de diferentes procedimientos para calcular el n\u00famero y, por tanto, no tienen una expresi\u00f3n puramente conceptual, una expresi\u00f3n mediante juicios anal\u00edticos.<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

En tercer lugar, Kant<\/strong> hubiera podido alegar tambi\u00e9n contra la forma de Leibniz<\/strong> de demostrar las igualdades aritm\u00e9ticas, lo cual es relevante por lo que luego veremos en Frege<\/strong> (secci\u00f3n 6 de Los fundamentos<\/strong><\/em>). <\/span><\/p>\n

En los Nuevos Ensayos<\/strong><\/em>, Leibniz<\/strong> justifica mediante un caso que las igualdades num\u00e9ricas son demostrables<\/strong>.<\/span><\/p>\n

\n

Podemos demostrar, por ejemplo, que no es una verdad autoevidente que 2 y 2 son 4<\/em>. Para ello, supongamos que 4 significa 3 y 1<\/em>. Y las siguientes definiciones: (1) 2 <\/em>es 1 y 1, (2) 3 <\/em>es 2 y 1, (3) 4 <\/em>es 3 <\/em>y 1<\/em> (\u00abes\u00bb debe interpretarse como \u00abes igual a\u00bb<\/em>).<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Y el axioma<\/strong><\/em>: si se reemplaza una cosa por otra igual, la igualdad se mantiene<\/strong>.\u00a0<\/span><\/p>\n

\n

La demostraci\u00f3n ser\u00eda as\u00ed: <\/span>2+2=2+1+1=3+1=4<\/em>, donde cada igual es justificado sucesivamente por las definiciones (1)<\/em>, (2)<\/em> y (3)<\/em>.<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

\u00a0<\/p>\n

Por el axioma<\/strong><\/em>, tenemos: 2+2=4<\/em><\/strong>, que es la conclusi\u00f3n que quer\u00edamos obtener<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Se puede suponer que Kant<\/strong> ve\u00eda las definiciones como no anal\u00edticas porque no consiguen representar las relaciones de subordinaci\u00f3n l\u00f3gica entre dos n\u00fameros<\/strong>, pongamos, el concepto <1><\/em> y el concepto <2><\/em>. <\/span><\/p>\n

Veamos<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Para responder a las preguntas \u00bfCu\u00e1ntos? o \u00bfCu\u00e1nto? hace falta partir de la representaci\u00f3n de lo que los objetos sobre los que se pregunta tienen en com\u00fan<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Ni m\u00e1s ni menos esto es lo que hacemos con los conceptos<\/strong>: cuando una serie de cosas caen bajo el mismo concepto podemos contarlos o medirlos<\/strong>. Podemos preguntar cuantas naranjas o cuantos pl\u00e1tanos hay en el frutero, pero tambi\u00e9n cu\u00e1ntos frutos; o cuantas moscas posadas sobre \u00e9l.\u00a0<\/span><\/p>\n

Igualmente, no es lo mismo medir longitudes de paredes o su altura o su anchura, por no hablar de caminos y carreteras, pero todos son longitudes. Sin embargo, a la hora de medir o contar, eso s\u00f3lo es la primera parte<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Porque una vez se consigue separar los objetos pertinentes<\/strong> (unidades, longitudes, superficies, etc.<\/em>) hay que excluir las diferencias espec\u00edficas, conceptuales<\/strong> (peras y manzanas o longitud del camino y largo de pared<\/em>) sin eliminar la diferencia num\u00e9rica para as\u00ed poder obtener una cantidad<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Y es que cuando a\u00f1adimos una cantidad<\/em> a otra se suman<\/strong>: dos peras y tres peras son cinco peras. Pero cuando a\u00f1adimos una cualidad<\/em> a otra, un concepto a otro, no pasa lo mismo<\/strong>.\u00a0<\/span>O bien tenemos otro concepto o tenemos el mismo concepto<\/strong>. <\/span><\/p>\n

\n

Si al concepto de animal le a\u00f1adimos el concepto racional tenemos el concepto de animal racional, un tipo de animal que no es ni una vaca, ni un cangrejo. Pero sin al concepto animal racional le a\u00f1ado otra vez el concepto de animal, no tenemos un ser humano doblemente animal (a no ser que estemos hablando en sentido figurado<\/em>). <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

Las cantidades<\/em> y las cualidades<\/em> no se componen igual. <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

Las cantidades<\/em> se suman: 1<\/em> y 1<\/em> son 2<\/em>. <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

A un concepto C<\/em> al que se a\u00f1ade otro concepto, le pueden pasar dos cosas: o bien se le a\u00f1ade un concepto D<\/em> diferente de los que componen C<\/em> y, entonces, tenemos un concepto diferente a C<\/em>, o bien se le a\u00f1ade un concepto D’<\/em> igual a alguno de los que componen C<\/em>, con lo que nada ha cambiado, seguimos teniendo el concepto C<\/em>. <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

Si estipulo que el concepto <1 y 1><\/em> equivale al concepto <2><\/em>, la relaci\u00f3n con <1><\/em> no se manifiesta; si al concepto <1><\/em> le a\u00f1ado el concepto <1><\/em> obtengo de nuevo <1><\/em>.<\/span> <\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Por tanto, las definiciones de Leibniz<\/strong> interpretadas anal\u00edticamente no consiguen las relaciones de subordinaci\u00f3n l\u00f3gica que se supone deber\u00edan ofrecernos.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/a>
Gottfried Wilhelm Leibniz<\/span><\/a><\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

Por otra parte, y como Wolff<\/strong> es el fil\u00f3sofo embarcado en el proyecto antedicho, conviene remarcar que manten\u00eda que son las relaciones de contenido las que establecen la identidad y equivalencia para los conceptos<\/strong>; se trata, por tanto, de un enfoque intensional<\/em><\/strong>. <\/span><\/p>\n

Adem\u00e1s, para Wolff<\/strong>, la diferencia de contenido entre varios conceptos conlleva una extensi\u00f3n diferente para cada uno de dichos conceptos y viceversa<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Pero, as\u00ed las cosas, surgen<\/strong> problemas<\/strong>:<\/span><\/p>\n

\n

Si queremos llegar a 2<\/em> con 1+1<\/em>, no podemos tomar las ocurrencias de \u00ab1<\/em>\u00bb y \u00ab1+1<\/em>\u00bb como t\u00e9rminos cuyo papel sea mencionar o referirse al concepto <1><\/em>. Las dos ocurrencias de \u00ab1<\/em>\u00bb son id\u00e9nticas, por lo que la segunda no a\u00f1ade ning\u00fan contenido conceptual a la primera. <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

Combinando las dos podemos llegar a algo distinto de <1><\/em> solo porque \u00ab1<\/em>\u00bb est\u00e1 por un tipo distinto de representaci\u00f3n. Si esto es as\u00ed, se sigue que en \u00ab1+1=2<\/em>\u00bb los t\u00e9rminos de un lado de la igualdad no pueden tener el mismo contenido conceptual, el contenido de \u00ab1+1<\/em>\u00bb lo da el uso del concepto <1><\/em>, mientras 2<\/em> cae bajo <2><\/em>. <\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

Naturalmente, deben tener la misma extensi\u00f3n, pues de lo contrario la igualdad no lo ser\u00eda.<\/span> <\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Por tanto, de hecho, extensi\u00f3n e intensi\u00f3n est\u00e1n separadas: dos contenidos conceptuales distintos se\u00f1alan la misma extensi\u00f3n<\/strong>. Y con ello Wolff<\/strong> estaba equivocado.<\/span><\/p>\n

En conclusi\u00f3n<\/strong>, dado que la matem\u00e1tica es una ciencia de la que no cabe duda que obtiene conocimiento, ante estos argumentos en contra de que todos los juicios de la aritm\u00e9tica ser\u00edan anal\u00edticos, Kant<\/strong> rechaza tal posici\u00f3n y ofrece su concepci\u00f3n alternativa: la de los juicios sint\u00e9ticos para explicar el conocimiento matem\u00e1tico.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Dado que la matem\u00e1tica es una ciencia de la que no cabe duda que obtiene conocimiento, ante estos argumentos en contra de que todos los juicios de la aritm\u00e9tica ser\u00edan anal\u00edticos, Kant rechaza tal posici\u00f3n y ofrece su concepci\u00f3n alternativa: la de los juicios sint\u00e9ticos para explicar el conocimiento matem\u00e1tico<\/span><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n

 <\/p>\n

Para Kant<\/strong>, un juicio sint\u00e9tico<\/strong><\/em> exige captar particulares<\/strong> (individuos, objetos fregeanos<\/em>) y no solo conceptos<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Para Kant<\/strong>, podemos ser afectados por objetos<\/strong>, cuyo efecto se denomina sensaci\u00f3n<\/strong> y el objeto<\/strong><\/em> fen\u00f3meno<\/strong>; nuestra capacidad de ser afectados es la sensibilidad<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Para Kant<\/strong>, captar un particular y tener una experiencia sensible es lo mismo<\/strong>: tenemos experiencia sensible al captar particulares y captamos particulares solamente en la experiencia sensible. <\/span><\/p>\n

Adem\u00e1s, Kant<\/strong> denomina intuir<\/strong> <\/em>a captar una cosa individual<\/strong> y al resultado de intuir<\/strong> lo llama intuici\u00f3n<\/strong><\/em>. As\u00ed pues, es lo mismo decir captar particulares<\/em><\/strong> que tener una intuici\u00f3n<\/strong> <\/em>y, para Kant<\/strong>, eso ocurre siempre en la experiencia sensible<\/em>, en las percepciones en el sentido psicol\u00f3gico de la palabra<\/strong>. <\/span><\/p>\n

Por tanto, todas nuestras intuiciones son sensibles, pertenecen a la experiencia sensible, todas son intuiciones emp\u00edricas<\/strong>. Por ejemplo, ver este \u00e1rbol, o\u00edr la campana de la iglesia cercana, ver este capullo de rosa, etc. <\/span><\/p>\n

Un juicio sint\u00e9tico<\/strong><\/em> se formular\u00e1 bas\u00e1ndose en una intuici\u00f3n en el sentido t\u00e9cnico de Kant<\/strong>: un juicio es sint\u00e9tico cuando para hacerlo necesitamos acudir a la captaci\u00f3n un particular (un particular u objeto concreto<\/em>). Un juicio anal\u00edtico<\/strong><\/em> se formular\u00e1 bas\u00e1ndose solamente en conceptos. Queda pendiente comprobar si Kant<\/strong> tiene raz\u00f3n en que los juicios sint\u00e9ticos s\u00ed pueden explicar los juicios de las matem\u00e1ticas<\/strong>. Pero previamente debemos atender a otra distinci\u00f3n entre juicios.<\/span><\/p>\n

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Un juicio sint\u00e9tico<\/em> se formular\u00e1 bas\u00e1ndose en una intuici\u00f3n en el sentido t\u00e9cnico de Kant: un juicio es sint\u00e9tico cuando para hacerlo necesitamos acudir a la captaci\u00f3n un particular (un particular u objeto concreto<\/em>). <\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

Un juicio anal\u00edtico<\/em> se formular\u00e1 bas\u00e1ndose solamente en conceptos.<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

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FREGE Y KANT: LOS FUNDAMENTOS DE LA ARITM\u00c9TICA, de Gottlob Frege (y Parte 2)<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n<\/blockquote>\n

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RELACIONADOS:<\/strong><\/span><\/h2>\n

Gottlob Frege (1848-1925)<\/a><\/p><\/blockquote>\n

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